Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница6/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

2.3 Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения
с разделенными переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид ,
называется уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл такого уравнения определяется простым правилом

,
которое иногда2 приводит к алгебраическому уравнению вида .

Общий случай

Дифференциальное уравнение первого порядка, называется уравнением с разделяющимися переменными, если его с помощью тождественных преобразований можно привести к определенному выше виду ().

К рассматриваемому здесь типу уравнений в частности относятся выражения:
и т.п.
þНетрудно заметить, что все уравнения рассмотренные в Теме 2.2, по существу, либо являются частными случаями уравнений с разделяющимися переменными, либо при их интегрировании правила решения упомянутых уравнений применяются к соответствующим параметрическим записям.

2.4 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка


Уравнение вида P(x,y) dy + Q(x,y) dx = 0 называется однородным1, если
P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одного и того же измерения n.

В учебной и справочной литературе можно встретить и другое определение, которое может быть получено с помощью замены :

Уравнение вида называется однородным, если
– однородная функция нулевого измерения (n=0).

По определению однородности с нулевым измерением, справедливо соотношение . Отсюда, выбрав , получим:

.

Таким образом, однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда может быть приведено к виду:

.


Последнее уравнение с помощью простых подстановок



легко преобразуется в уравнение с разделенными переменными (см. выше 2.3):

.

Общий интеграл этого уравнения может быть записан как

.

2.5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка


Уравнение вида
называется линейным уравнением первого порядка1.

После представления искомой функции y в виде произведения y = uv можно записать:

y' = u'v+ uv' и u'v+ uv' + f(x)uv = φ(x).

Таким образом, исходное уравнение приводится к виду:

u'v – φ(x)= – u(v' + f(x) v).

Очевидно, неизвестную функцию v(x) можно выбрать таким образом, что правая часть указанного равенства обратится в 0; для этого следует решить уравнение с разделяющимися переменными :



С учетом полученного результата функция u(x) определяется интегрированием соответствующего уравнения с разделяющимися переменными:

.

Итоговый результат:

.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org