Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница7/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13

2.6 Уравнения в полных дифференциалах


Если существует такая функция F(x,y), что
и , то уравнение вида
P(x,y) dy + Q(x,y) dy = 0
называется уравнением в полных дифференциалах.

В случае выполнения указанных условий выражение

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = dF
является полным дифференциалом функции двух переменных F(x,y).

Т. к. , то признаком существования функции F(x,y) является правило: .

При вычислении частной производной по аргументу x величина y остается неизменной, поэтому очевиден общий результат обратного действия:

,

где φ(y) – некоторая функция аргумента y, подлежащая дальнейшему уточнению:

.

С учетом того факта, что при dF = 0 F(x,y) = C, окончательный результат:

.

П 2.6.11. Пусть задано уравнение 1. Если обозначить , то , т. е. исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Из последнего следует:

.

Общий интеграл данного уравнения описывает искомую функцию y(x) в неявном виде.

2.7 Несколько примеров "именных" дифференциальных уравнений первого порядка


  • Уравнение Бернулли: .

Это уравнение с помощью замены z=y1-n сводится к линейному случаю. Действительно, с учетом данной замены получим gif" name="object119" align=absmiddle width=97 height=40> и, окончательно:
.

  • Уравнение Риккати: .

Если известен какой-либо частный интеграл этого уравнения y1, то после замены z=yy1 решение уравнения Бернулли: и будет общим интегралом исходного уравнения.

  • Уравнение Лагранжа: .

Если обе части уравнения продифференцировать по x и обозначить p=y', т. е. , то может быть получено уравнение, линейное относительно функции x(p):



Если общим интегралом этого уравнения является выражение вида x = F(p,C), то решение уравнения Лагранжа может быть представлено в параметрическом виде:

.

  • Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа, в котором

: .

Действия, подобные тем, что были использованы в предыдущем случае, приводят к уравнению . Для этого уравнения возможны два решения:

  1. .
    Т.е., общий интеграл является семейством прямых.

  2. – параметрические уравнения огибающей к семейству найденных выше прямых ( т. е., особое решение уравнения Клеро).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org