Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница8/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

2.8 Еще раз об общем случае дифференциальных уравнений первого порядка


Для уравнений общего вида (см. в Теме 2.1 данного Выпуска) не существует какого-либо единого, универсального метода их интегрирования (в квадратурах).

В учебной и справочной литературе можно найти рекомендации по преобразованию исходного уравнения с помощью различных действий над ним (замена переменных, дифференцирование, представление искомой функции в виде алгебраических комбинаций нескольких новых функций и т. п.). По утверждению авторов этих рекомендаций, подобные искусственные приемы иногда могут свести решение к интегрированию более простых (например, описанных выше в Темах 2.2 ÷ 2.7) разновидностей уравнений.

!Однако, как явствует из той же литературы (и из моего личного опыта), подобные "удачи" случаются крайне редко.
Из сказанного следует, что подробное изучение (тем более, – заучивание!) упомянутых приемов "загодя", вне связи с конкретными уравнениями, не имеет познавательного смысла и является пустой тратой времени.

  

Разумеется, из сказанного выше вовсе не следует, что каких-либо общих подходов к дифференцированию "не квадратурных" уравнений не существует и существовать не может.

Для решения подавляющего числа проблем в ходе общетеоретических и прикладных исследований с использованием соответствующих диффуравнений бывает необходимым не абсолютно точное решение этих уравнений, а наличие определенной вычислительной или аналоговой процедуры, гарантирующей получение сколь угодно близкого приближения к идеальному решению (за конечный промежуток времени).1 Такого рода процедуры могут быть основаны на использовании

  • операционного исчисления (см. Приложение 3);

  • представления искомой и известных функций в виде дискретной или непрерывной совокупности гармонических колебаний (см. Приложение 4);

  • приближенного представления искомой и известных функций в виде конечных или бесконечных степенных рядов (полиномов)2:

  • и т. п.

Выделенные выше замечания в равной мере относятся и к проблеме интегрирования диффуравнений порядка выше первого.

  


Глава 3






3Обыкновенные дифференциальные уравнения выше первого порядка


Общий вид дифференциального уравнения порядка выше первого:

.


В математической литературе любого уровня (от популярных учебных пособий до серьёзных справочников и монографий) утверждается, что решить это уравнение удается в исключительно редких случаях. Иногда удается понизить порядок уравнения, что может существенно облегчить его решение.

3.1 Примеры случаев понижения

порядка уравнения


  1. Уравнение не содержит явно искомую функцию y
    В данном случае достаточно ввести новую функцию ; при этом порядок уравнения понизится на единицу. Если же, кроме того, в уравнении отсутствуют производные от до , то после замены , порядок уравнения будет понижен на k единиц.

  2. Уравнение не содержит явно независимую переменную
    x
    В этом случае за новую независимую переменную принимается y, а за новую искомую функцию. В результате замен



порядок уравнения понизится на единицу, т. е.

.

  1. Уравнение, однородное относительно функции y и всех ее производных
    y', y", … , y(n)
    Положим y=ez. Тогда получим замены



которые подставим в исходное уравнение. Вследствие однородности этого уравнения (относительно y, y', y", … , y(n)) все члены уравнения будут содержать общий множитель ez; после сокращения на этот множитель новое диффуравнение уже не будет содержать в явном виде функцию z, т. е. примет вид (A), рассмотренный выше.

  1. Уравнение, однородное относительно
    x и dx
    Положим x=e-u. Тогда в исходном уравнении будут также осуществлены замены



Вследствие однородности исходного уравнения относительно x и dx все множители вида e-ku исчезнут. Новое диффуравнение не будет содержать в явном виде независимую переменную u, что соответствует ранее рассмотренному случаю (B).

! В справочной литературе можно найти описания и некоторых других разновидностей однородных дифференциальных уравнений1, которые с помощью остроумных замен сводятся к одному из рассмотренных случаев (A, B, C, D).
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org