Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница9/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

3.2 Линейные дифференциальные уравнения

n-го порядка (общие положения)


Напоминание (см. Тему 1.2),что

б) уравнение, представленное в виде

,
называется
неоднородным линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка.

Известно, что не существует никакого общего метода решения подобного уравнения при n >1 (в большинстве случаев решение уравнения не может быть выражено с помощью конечного набора элементарных функций).

Если правая часть (б) тождественно равна нулю, т. е. , то

в) уравнение вида

называется
однородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Доказано, что

  • если известны n частных интегралов y1, y2yn однородного линейного диффуравнения (в), то общий интеграл этого уравнения равен

y = C1y1+ C2y2+ … Cnyn;

  • если известен n частный интеграл u(x) неоднородного линейного диффуравнения (б), то общий интеграл этого уравнения равен

y = C1y1+ C2y2+ … Cnyn + u(x).


О методе (Лагранжа) вариации
произвольных постоянных
Если известны n частных интегралов y1, y2yn однородного линейного дифференциального уравнения (в), то можно попытаться определить частный интеграл неоднородного линейного дифференциального уравнения (б) с помощью набора функций v1(x), v2(x) … vn(x), таких, что

y = v1(x) y1, v2(x) y2, … vn(x) yn

будет решением указанного уравнения.

Возможности и технология такого подхода (см. в книге Андре Анго "Математика для электро- и радиоинженеров", пер. с франц., М.., Наука, 1964) здесь не рассматриваются.

Уравнение Эйлера
Это уравнение является частным случаем неоднородного линейного уравнения (б):

,

где A0, A1, … , An-1 – постоянные коэффициенты.

Уравнение Эйлера преобразуется в линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (см. Тему 3.3) с помощью введения новой независимой переменной u по правилу x=eu.

Об интегрировании линейных диффуравнений с помощью степенных рядов
В учебно-справочной литературе возможность интегри­рования линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов обычно поясняется на примере однородных уравнений1 не очень высокого порядка (например, – второго). Изучение примеров подобной технологии, на мой взгляд, должно носить ознакомительный характер, т. к. в настоящее время необходимые преобразования такого рода могут осуществляться (и для более общих случаев!) средствами современной вычислительной техники (см. Приложение) без участия профессионалов – математиков.

Математическая суть рассматриваемого метода заключается в том, что решение однородного линейного уравнения (в) представляется в виде конечного1 или бесконечного2 степенного ряда с неизвестными постоянными (константами) ν и aλ:

.

После подстановки такой функции в исходное диффуравнение, приведения подобных членов (по xλ) и приравнивания последних к нулю будет получена система (конечная или бесконечная) алгебраических уравнений, позволяющая определить искомые константы.

В случае неоднородного линейного уравнения (б) его правая часть (f(x))также представляется в виде степенного ряда1, но – уже с известными коэффициентами при соответствующих степенях аргумента x. После этого осуществляются действия, описанные выше для однородных уравнений.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org