Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики



Скачать 301.02 Kb.
страница1/5
Дата03.06.2013
Размер301.02 Kb.
ТипЭлективный курс
  1   2   3   4   5
Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»

Элективный курс по математике для учащихся 9 - ых классов
Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики.

Составитель:

Ермеев Валерий Александрович,

учитель математики МОУ «Цивильская

средняя общеобразовательная школа №1

им. М.В. Силантьева» Цивильского

района

Рецензент: Ярдухин А.К., канд. физ.-мат. наук,

доцент кафедры естественно-научных дисциплин

ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»

Чебоксары 2007

Пояснительная записка.

Программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования.

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный.

Основные цели:

1) развитие личности ребенка;

2) ) распознавание и раскрытие его способностей;

3) освоение системы знаний, необходимых для успешного получения профессионального образования и самообразования;

4) формирование ответа применения полученных знаний и умений для решения типичных задач в области математики.

5) знакомство учащихся с математикой как общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Учебно – тематический план.



№ n/n

Содержание курса

Количество часов

1

Делимости деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Делимость целых чисел.

2

2

Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

2

3

Деление многочлена на многочлен. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини – Горнера.

2

4

Формулы сокращенного умножения.

2

5

Разложение методом неопределенных коэффициентов.

2

6

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

6

7

Симметрическое, кососимметрическое и возвратные многочлены и уравнения.

4

8

Метод использования монотонности при решении уравнений.

2

9

Дробно – рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно – рациональных уравнений.

4

10

Дробно – рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов дробно – рациональных неравенств.

4

11

Однородные уравнения с двумя переменными. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Метод разложения при решении систем уравнений. Системы с тремя переменными.

4



Содержание курса.

1.Делимости деление многочленов с остатком.

Алгоритмы деления с остатком. Делимость целых чисел.

1. Определение и свойства делимости.

Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = bс.

Если а делится на b, то kа делится на b.

Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m.

Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.

. Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.

2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится на с.

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число аb кратно 28.

4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.
5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число 9а + 2b кратно 18.

6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число а2 – 2b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

8.Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.

9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число. 10. Докажите, что число вида аb(ab), где а и b – целые числа, четное.

11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.

12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.
Теорема о делении с остатком.

Для любого целого числа а и натурального числа b, существует единственная пара чиселq и r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; . . . , b – 1.

Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.
Задачи для самостоятельного решения.

1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток от деления числа а на 4?

Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде а = 8k + 6 = 4( 2k + 1) + 2.

2Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?

3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2

4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа

а2 – 3а ?

5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.

6. . Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.

7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а2 – 1 делится на 3.

8.Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?

9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?

10. Докажите, что число n3 – n кратно 6 при любом натуральном n.

11. Докажите, что число n3 – n кратно 24 при нечётном n.

12. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится на 49.

13. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и b кратно 3.
2. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу. Корни многочленов, следствия из теоремы Безу. Теорема о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

При делении P(х) на х - в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):

P(x) = (x - ) Q (x) + r. (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = . При этом двучлен х - обращается в нуль, получаем, что P () = r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х - равен P() (т.е. значению P(x) при х = ).

Пример 1. Докажем, что х4 – 6х3 + 7х + 18 делится без остатка на х – 2.

Решение. Подставляя в х4 – 6х3 + 7х + 18 вместо х значении 2, получаем 24 – 6 · 23 + 7 · 2 + 18, т.е. нуль.

Пример 2. Найдем остаток от деления хn + an на х + а.

Решение. В данном случае вместо х надо подставить – а. Получаем (- а)n + аn. Это выражение равно нулю, если n нечетно, и равно 2аn, если n четно. Значит, хn + an делится без остатка на х + а лишь в случае, когда n нечетно.

Определение 1. Число называют корнем многочлена P(x), если P() = 0 (т.е. если

- корень уравнения P(x) = 0).

Если многочлен P(x) делится на х - , то - корень этого многочлена. В самом деле, P(x) = (x - ) Q (x), и потому P() = ( - ) Q () = 0.

Справедливо и обратное утверждение. Оно вытекает из доказанной выше теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х - без остатка.

Теорема 3. Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни 1, 2, …, n, то он делится без остатка на произведение (х - 1)…(х - n).

Следствие. Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Если многочлен P(x) делится без остатка на (х - )k, но не делится без остатка на

(х - )k + 1, то говорят, что число является корнем кратности k для P(x). Например, при развертывании выражения (х + 4)2(х – 5)3(х + 1)(х + 2) получаем многочлен P(x), для которого число – 4 – корень кратности два, число 5 – корень кратности три, а – 1 и – 2 – корни кратности один.

Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень писать столько раз, какова его кратность. Например, если многочлен

ах2 + bx + c имеет корень а кратности два, то 2 = и 2 = .

Пример 3. Составим квадратное уравнение корнями которого являются квадраты корней уравнения х2 – 6х + 4 = 0.

Решение. Обозначим корни уравнения х2 – 6х + 4 = 0 через х1 и х2. Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа у1 = х12 и у2 = х22. Значит, это уравнение имеет вид: х2 + px + q = 0, где

p = - (у1 + у2) = - (х12 + х22) = - [(x1 + x2)2 – 2x1x2],

q = у1у2 = х12х22 = (х1х2)2.

Но по формулам Виета имеем: х1 + х2 = 6 и х1 · х2 = 4.

Отсюда находим, что q = (х1х2)2 = 42 = 16, а

p = - [(x1 + x2)2 – 2x1x2] = - (62 – 2 · 4) = - 28.

Итак, искомое уравнение имеет вид: х2 – 28х + 16 = 0.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найдите остаток при делении многочлена х6 – 4х4 + х3 – 2х2 + 5 на х + 3.

2. Напишите формулы Виета при n = 4.

3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х2 + 8х + 2 = 0.

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения

2 – 10х + 4 = 0.

5. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения

х2 – 7х + 1 = 0.

6. Составьте кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности два и корень – 2.

7. Определите a и b так, чтобы – 2 было корнем многочлена P(x) = x5 + ax2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два. Ответ: а = 32,25; b = 49.

8. Какую кратности имеет корень 5 для многочлена

P(x) = x5 – 15x4 + 76x3 – 140х2 + 75х – 125? Ответ: 3.

9. Какую кратности имеет корень 2 для многочлена

P(x) = x5 – 5x4 + 7x3 – 2х2 + 4х – 8? Ответ: 3.

10. 1) Составьте кубический многочлен, имеющий корни 7, - 2 и 3 и старший коэффициент – 5.

2) Составьте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена х3 – 6х2 + 11х – 6. Ответ: х 3 – 14х 2 + 49х – 36.

11. Докажите, что многочлен х2k + 1 + a2k + 1 делится без остатка на х + а.

12. Чему равен коэффициент а, если остаток от деления многочлена х4 – ах3 + 4х2 – х + 1 на х – 2 равен 7?

13. Докажите, что многочлен х2k + a2n при а 0 не делится ни на х – а, ни на х + а.

14. Разложите на множители:

1) х 6 – 1;

2) х 8 – 1;

3) х 4 – 18х 2 + 81;

4) х 12 – 2х 6 +1;

5) х 5 + х 3 – х 2 – 1;

6) х 4 + х 2 +1;

7) 2х 4 + х 3 + 4х 2 + х + 2;

8) (х 2 + х + 3) (х 2 + х + 4) – 12;

9) (х 2 + х -1) 2 + 3х (х 2 + х -1) + 2х 2.
  1   2   3   4   5

Похожие:

Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconРабочая программа элективных курсов по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства»
Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики....
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconРабочая программа по элективному курсу «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» III- ступени обучения
Общее количество часов по плану 35
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconРабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
Целью данного курса является повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа, а также углубление и расширение знаний учащихся...
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconРаспарин Владимир Николаевич, учитель математики высшей категории моу «Гимназия №1» г. Саратова пояснительная записка Предлагаемый двенадцатичасовой элективный курс
Элективный курс предназначен для учащихся 9-х классов, как курс по выбору в рамках предпрофильной подготовки. Рекомендуемое время...
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconЭлективный курс по математике "Этот симметричный мир" Автор программы: учитель математики Первутинская Любовь Сергеевна
Данный элективный курс предназначен для учащихся 8 – 9-х классов и направлен на систематизацию и расширение знаний учащихся. Материал...
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconЭлективный курс по математике для 11класса
Данный элективный курс предназначен для обучения учащихся 10-11 классов по естественно-математическому профилю
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconОткрытая математика Алгебра
Открытая математика Алгебра: полный интерактивный курс «Алгебра» для учащихся школ, лицеев, гимназий, колледжей, студентов технических...
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconЭлективный курс для 11 класса Преподаватель математики школы №853 Белов А. И
Предлагаемый курс предназначен для учащихся 11-ых классов, однако может быть использован и для 10-го класса, а отдельные элементы...
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconПрограмма дисциплины дпп. Ф. 06 Алгебра специальность 032100 (050201. 65) Математика Квалификация учитель математики
Алгебра является одной из важнейших математических дисциплин в профессиональной подготовке учителя математики. Курс алгебры преследует...
Элективный курс по математике для учащихся 9 ых классов Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики iconПрограмма симметрия в окружающем мире. Учебный курс предпрофильной подготовки для учащихся 9-х классов
Элективный курс «Симметрия в окружающем мире» адресован учащимся 9 классов и посвящен теоретическим и практическим вопросам занимательной...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org