Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета



страница3/6
Дата23.10.2012
Размер1.29 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6

Распределение . Пусть Xi (i=1,2,....,n) —независимые случай­ные величины, распределенные по гауссовскому закону, причем м. о. каждой из них равно нулю, а с. к . о. — единице. Тогда сумма квадра­тов этих величин

(4.2.13)распределена по закону (''хи квадрат") с k = n степенями свободы. Плотность этого распределения

где Г (х) = гамма-функция, в частности, Г(п+1)=п!

Распределение определяется одним параметром — числом степеней свободы k. С увеличением числа k распределение медленно приближается к гауссовому.

t - распределения Стьюдента. Пусть Z гауссовая случайная величина с м.о., равным нулю, и с. к. о., равным единице, а V неза­висимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. В этом случае величина

(4.2.14)имеет распределение, называемое t- распределением Стьюдента с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к гауссовому.

Распределение Фишера-Снедекора (F). Если U и V незави­симые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k1 и k2, то случайная величина

(4.2.15)имеет распределение, называемое F- распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы k1 и k2.

  1. Вероятность попадания в заданный интервал нормально

распределенной случайной величины. Функция Лапласа.
4.1. Нормированная случайная величина
Отклонение случайной величины от ее математического ожидания, иначе говоря, разность между случайной величиной и ее матема­тическим ожиданием называется центрированной случайной ве­личиной

4.1.1Центрированная случайная величина обладает двумя следующими важными свойствами.

  1. Математическое ожидание центрированной случайной величи­ны равно нулю:

  1. 4.1.2Дисперсия центрированной случайной величины равна дисперсии самой случайной величины:

4.1.3Нормированная случайная величина (z) есть центрированная случайная величина, измеренная в масштабе стандартных отклонений :

4.1.4

Нормированная случайная величина также отличается двумя свойствами:

4.1.
5Гауссово распределение с произвольными параметрами и определяемое формулой называется общим. Нормированным называют гауссово распределение с параметрами и .

Таким образом, общий гауссовый закон распределения можно записать как закон для нормированной случайной величины для которого функции

определяются формулами:
4.2. Функция Лапласа. Правило трех сигм
Вероятность попадания нормированной случайной величины Z в интервал (0; х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа

4.2.1Действительно,

4.2.2Учитывая, что функция f(z) является чётной и , легко получить:

4.2.3Функция Лапласа Ф(х) обладает следующими свойствами:

1)

2) (нечетная функция);

3) , следовательно .

Таблицы функции Лапласа Ф(х) можно найти практически в любом учебнике по теории вероятностей. С помощью этой функции вероятность попадания случайной величины X, распределенной по закону Гаусса и имеющей математическое ожидание и стандартное отклонение равное , в заданный интервал от выражается простой формулой:

4.2.4Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания гауссовой случайной величины Х на участок длиной , симметричный относительно своего математического ожидания , а именно, принимая во внимание нечетность функции Лапласа:

4.2.5Преобразуем формулу (4.2.5), положив . В итоге получим

Если и, следовательно, , то

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного стандартного отклонения, равна 0,9978. Это означает, что лишь в 0,27% случаев абсолютная величина отклонения превысит утроенное стандартное отклонение.

Такие события можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена по закону Гаусса, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного стандартного отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена по закону Гаусса. В противном случае таких оснований нет.

5. Статистические оценки параметров распределения.
5.1. Несмещенные и состоятельные оценки.
Пусть требуется изучить количественный признак ге­неральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распре­деление имеет признак. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распре­деление. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормаль­но, то необходимо оценить (приближенно найти) математи­ческое ожидание и стандартное отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормаль­ное распределение; если же есть основания считать, что признак имеет, например распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распреде­ление определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например, значения количественного признака , полученные в результате п наблю­дений (здесь и далее наблюдения предполагаются незави­симыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Рассматривая как независимые случайные величины можно сказать, что найти стати­стическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения — это значит найти функцию от наблюдае­мых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция (среднее ариф­метическое наблюдаемых значений признака)

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хоро­шие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Пусть есть статистическая оценка неизвестного па­раметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема п найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выбор­ку того же объема и по ее данным найдем оценку . Пов­торяя опыт многократно, получим числа , которые, вообще говоря, будут различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как слу­чайную величину, а числа — как ее воз­можные значения.

Представим себе, что оценка дает приближенное зна­чение с избытком; тогда каждое, найденное по данным выборок, число ( ) будет больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и математическое ожи­дание (среднее значение) случайной величины будет больше, чем , т. е. . Очевидно, что если дает оценку с недостатком, то .

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оценива­емому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни значения больше, а другие мень­ше ), однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто. Иными словами, соблюдение требований гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е.



Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

При рассмотрении выборок большого объема ( вели­ко!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оцен­ки при стремится к нулю, то такая оценка оказывает­ся и состоятельной.
5.2. Оценка математического ожидания случайной величины по выборочной средней
Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком Х) извлечена выборка объема со значениями признака . Пусть математическое ожидание случайной величины Х неизвестно и требуется оценить его по данным выборки. В качестве оценки примем выборочную среднюю



Покажем, что есть несмещенная оценка, т.е. покажем, что . Будем рассматривать как случайную величину , а , как независимые, одинаково распределённые случайные величины . Поскольку эти величины одинаково распределены, то они имеют одинаковые числовые характеристики, в частности одинаковое математическое ожидание. Приняв во внимание, что каждая из величин имеет то же распределение, что и генеральная совокупность (которую мы также рассматриваем как случайную величину Х), заключаем, что и числовые характеристики этих величин и генеральной совокупности одинаковы. В частности, математическое ожидание и дисперсия каждой из величин равно математическому ожиданию и дисперсии признака Х. Тогда имеем



Тем самым доказано, что выборочная средняя есть несмещенная оценка математического ожидания случайной величины.

Покажем, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой математического ожидания. Используя свойства дисперсии, известные по курсу теории вероятности, имеем



Легко видеть, что при дисперсия . Следовательно, выборочная средняя является еще и состоятельной оценкой математического ожидания.
5.3. Оценка дисперсии случайной величины по исправленной выборочной дисперсии
Сначала покажем, что выборочная дисперсия не является несмещённой оценкой дисперсии случайной величины Х.

Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком Х) извлечена выборка объема со значениями признака .

Будем рассматривать , как независимые, одинаково распределённые случайные величины. Поскольку эти величины одинаково распределены, то они имеют одинаковые числовые характеристики, в частности одинаковое математическое ожидание и дисперсию

Положим



Тогда



В силу независимости при



Имеем



Вычислим



Тогда



Математическое ожидание выборочной дисперсии не равно дисперсии исследуемой случайной величины Х, следовательно, выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии. Легко "исправить" выборочную дисперсию так, чтобы её математическое ожидание было равно дисперсии случайной величины. Для этого достаточно умножить на дробь . Сделав это, получим "исправленную" дисперсию, которую будем обозначать через :



Исправленная дисперсия является, конечно, несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности. Действительно,



Для оценки стандартного отклонения генеральной совокупности используют "исправленное" стандартное отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии: . "Исправленное" стандартное отклонение не является несмещенной оценкой.

Сравнивая формулы для выборочной дисперсии и "исправленной" дисперсии можно увидеть, что они отличаются друг от друга только знаменателями. Очевидно, что при достаточно больших значениях объёма выборки, выборочная и исправленная дисперсии различаются мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно .
5.4. Точечные и интервальные оценки.
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше - точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

Пусть найденная по данным выборки, статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом. Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако, статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0.95; 0.99 и 0.999.

Пусть вероятность того, что равна :



Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством или

,

имеем

.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр равна .

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие химки 2012 удк ббк
Учебное пособие предназначено для бакалавров: слушателей и студентов факультета заочного обучения и студентов гуманитарного факультета...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие «Политическая система кнр» для студентов специальностей «Регионоведение», «Международные отношения» Издательство
Олитическая система кнр обсуждена и одобрена на заседании кафедры востоковедения Алтайского государственного университета. Пособие...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов филологических факультетов государственных университетов Издательство Московского университета 1999
Охватывают все лексемы без соотносительных форм
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов очного и заочного обучения специальности 180404 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики»
Охватывают точку (–1, 0). В замкнутом состоянии эти системы устойчивы
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов, обучающихся по специальности «Культурология»
Пособие разработано: кандидатом педагогических наук, профессором кафедры теоретической физики и информационных технологий в обучении...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «История». / А. Г. Ситдиков. Казань: Издательство Казанского государственного университета, 2008. 33 с
В этногенез народов Поволжья и Приуралья. Часть I. Истоки этногенеза финских народов: учебно-методическое пособие для студентов,...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов и аспирантов отделений филологии и журналистики Новосибирск 2000
Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов-филологов и журналистов Новосибирского государственного университета, изучающих...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие Кемерово 2004 удк
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 271400 «Технология продуктов детского и функционального питания» всех форм...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconМетодическое пособие по курсу «Проблемы современной философии». Для студентов заочного отделения факультета пм-пу санкт-Петербургского государственного университета
Для студентов заочного отделения факультета пм-пу санкт-Петербургского государственного университета
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов всех форм обучения специальности 080801 Прикладная информатика в экономике Разработчик
Данное учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальности «Прикладная информатика в экономике»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org