Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета



страница5/6
Дата23.10.2012
Размер1.29 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6

6.4. Отыскание правосторонней критической области
Начнем с нахождения правосторонней критической области, которая определяется неравенством

,

где .

Мы видим, что для отыскания правосторонней крити­ческой области достаточно найти критическую точку. С этой целью задаются достаточно малой вероятностью - уровнем значимости . Затем ищут критическую точку , исходя из требования, чтобы, при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К. при­мет значение, большее , была равна принятому уров­ню значимости:



Таким образом, вероятность совершить ошибку первого рода равна .

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяю­щую этому требованию.

Замечание. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что то нулевую гипотезу отвергают;

если же то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример. О некотором игральном кубике было высказано мне­ние, что при его бросании "шестерка" выпадает слишком часто. Тре­буется проверить, так ли это?

Понятно, что в такой формулировке задача поставлена не впол­не четко. Для уточнения определим сначала нулевую и альтерна­тивную гипотезы. Поскольку вероятность выпадания "шестерки" у правильного кубика составляет 1/6. то имеем нулевую гипотезу



Альтернативную гипотезу естественно выбрать следующим образом:



т. е. "шестерка" выпадает чаще, чем это должно быть. Такая аль­тернативная гипотеза называется правосторонней.

Другое обстоятельство, требующее уточнения: в чем будет состо­ять испытание, на основании которого нулевая гипотеза будет при­нята либо отвергнута? Предположим, что испытание состоит в 120-кратном бросании кубика. При этом фиксируется число выпаданий "шестерки", которое обозначим .

Далее, необходимо выбрать уровень значимости . Напомним, что это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу при условии, что она верна. Положим, например, а = 0.01.

В данном случае множество всевозможных результатов испыта­ний будет таким:

{0, 1,... ,120},

поскольку при 120-кратном бросании кубика "шестерка" может вы­пасть от 0 до 120 раз включительно.

Теперь осталось определить критическую область S. Эта задача уже формализована. Действительно, если "шестерка" выпала, ска­жем, 50 раз, то нулевую гипотезу следует отвергнуть. А если 40 раз? Или 30? Ясно, что критическая область S здесь имеет вид



где число, подлежащее определению.
Такая критическая об­ласть называется правосторонней, она как бы "прижата" к правой границе множества .

Для нахождения критической области воспользуемся тем, что чи­сло выпаданий "шестерки" в 120 испытаниях — биномиальная случайная величина, которая может быть приближена нормальной случайной величиной. Если р = 1/6 (верна гипотеза ), то



Найдем теперь число , для которого



где - критическое значение, которое разделяет критическую область и область принятия гипотезы.

Можно убедиться, что правостороннее критическое значение вычисляется по формуле



где - решение уравнения



Имеем:

,



Таким образом, если нулевая гипотеза верна, то вероятность выпадания "шестерки" более чем 29 раз очень мала. В итоге получаем

S = {30,31,....,100}

(т. е. =30). Соответственно область принятия нулевой гипотезы такова:

{0,1,...,29}.

6.5. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей
Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей сводится (так же, как и для правосторонней) к нахождению соответствующих критических точек.

Левосторонняя критическая область определяется неравенством , где - отрицательное число.

Критическую точку находят, исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий примет значение, меньшее , была равна принятому уровню значимости:



Двусторонняя критическая область определяется неравенствами .

Критические точки находят, исходя из требования, чтобы, при справедливости нулевой гипотезы, сумма ве­роятностей того, что критерий примет значение меньшее или большее , была равна принятому уровню значимости:

(6.6.1)Ясно, что критические точки могут быть выбраны бесчис­ленным множеством способов. Если же распределение кри­терия симметрично относительно нуля и имеются основа­ния выбрать сим­метричные относительно нуля точки и ( ), то

.

Учитывая (6.6.1), получим



Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.

Как уже было указано, критические точки находят по соответствующим таблицам.

В следующем примере критическая область двусторонняя.

Пример. О некоторой монете утверждается, что она правиль­ная, т. е. вероятности выпадания герба и цифры равны между со­бой. Монету подбросили 100 раз, при этом 70 раз выпал герб, а 30 раз - цифра. Проверить утверждение о правильности монеты на 5%-м уровне значимости (т. е. на уровне значимости =0.05).

Здесь нулевая и альтернативная гипотезы формулируются сле­дующим образом:





где р - вероятность выпадания герба. Здесь альтернативная гипоте­за, как и критическая область, является двусторонней. Это обусло­влено тем, что нет предположений относительно более частого либо более редкого выпадания герба.

Множество всевозможных результатов испытаний (в данном случае это количество выпаданий герба) составляют целые числа от 0 до 100:

= {0,1,..., 100}.

Число выпаданий герба - это биномиальная случайная вели­чина . Следовательно.



Критиче­ские значения и вычисляются по формулам

,

где решение уравнения



В данном случае получаем





Таким образом, критическую область составляют значения до 40 и больше 60:

= {0,1..... 40} {60, 61...., 100}.

Отметим, что при = 40 либо = 60 имеет смысл, по-видимому, не принимать окончательного решения о принятии либо отвержении нулевой гипотезы. Но в данном случае испытание дало результат = 70, поэтому гипотеза отвергается в пользу гипотезы . Окончательный вывод таков: монета правильной не является.

Пример. Производственная линия выпускала 5% бракован­ных товаров. Было предложено

усовершенствование, призванное снизить процент брака. После переналадки линии на осмотр посту­пило 300 единиц товара, из которых бракованными оказались 9 еди­ниц. Можно ли на 1%-м уровне значимости считать, что качество продукции производственной линии улучшилось?

Решение. Здесь нулевая гипотеза состоит в том, что линия по-преж­нему выпускает 5% брака:

: р = 0.05.

Альтернативная гипотеза - является левосторонней — процент брака уменьшился:

: р < 0.05.

Уровень значимости и объем выборки даны в условии: =0.01, =300

Если при проверке фиксируется число бракованных изделий , то эта величина может принимать значения из множества

={0, 1,..., 300}.

В случае истинности гипотезы величина является биноми­альной случайной величиной . Следовательно,



Найдем границу критической области по формуле:
,



Таким образом, критическая область может быть записана в виде

={0,1,..., 6}.

Область принятия нулевой гипотезы соответственно такова:

{ 7, 8,..., 300}.

Если в выборке бракованными оказались 9 единиц товара, то сле­дует принять нулевую гипотезу. Окончательный вывод: имеющиеся данные не дают оснований считать, что качество продукции улуч­шилось.
6.6. Критерий согласия (хи-квадрат) Пирсона
При проверке биномиальных гипотез требовалось проверить гипо­тезу о равенстве неизвестной вероятности некоторому числу. Под­черкнем, что речь шла об уточнении значения одного параметра-вероятности. Иной характер имеет ситуация, когда требуется про­верить гипотезу о равенстве определенным значениям нескольких вероятностей (иначе говоря, о законе распределения в целом). В та­ких случаях применяются так называемые критерии согласия, один из которых мы и рассмотрим.

Пусть в результате некоторого испытания может произойти одно из событий . Нулевая гипотеза имеет следующий вид:

, , … ,

где некоторые положительные числа, сумма которых равна 1. Альтернативной гипотезой является невыполнение хотя бы одного из этих равенств.

Исходными данными для проверки гипотезы являются резуль­таты п независимых испытаний. Пусть эти результаты следующие:

событие А1 произошло раз,

событие А2 произошло раз,

………………………………….

событие Аr произошло раз.

Очевидно, что



Подсчитаем величину (хи-квадрат) по формуле



Это значение будет решающим при проверке гипотезы. Величина показывает, насколько экспериментальные значения расходят­ся с теоретически наиболее вероятными значениями ,. Отметим, что величина может принимать лишь неотрицательные значения (отсюда и обозначение "хи-квадрат").

Сама проверка гипотезы осуществляется следующим образом. Выбирается уровень значимости = 0.05 либо = 0.01 (возможны, разумеется, и другие значения). Затем вычисляется

.

после чего находится по таблице критическое значение (зависящее от и ).

Если



то гипотеза отвергается, в противном случае — принимается.

Замечание. Критерий применяют тогда, когда все величины , достаточно велики, например при



Пример. При 4040 бросаниях монеты французский естество­испытатель Бюффон получил 2048 выпаданий герба и 1992 вьшадания цифры. На уровне значимости = 0,05 проверим гипотезу о том, что монета была правильной.

Решение. Здесь в результате испытания может произойти одно из двух событий — выпадание герба либо выпадание цифры. Поэтому имеем:

А1 = {выпадание герба}, А2 = {выпадание цифры},

п = 4040, m1 == 2048, m2 = 1992.

Нулевая гипотеза -

,

т. е.



Вычислим величину . Имеем:



Число степеней свободы k в данном случае равно - 1= 2 - 1 = 1. По известным значениям = 0.05, k= 1 находим в таблице



Так как



то нулевая гипотеза принимается - монета была правильной.

Пример. Некоторая фирма владеет тремя магазинами, рас­положенными недалеко друг от друга. Руководство фирмы реши­ло выяснить, посещают ли покупатели все три магазина одинако­во охотно либо имеется некоторое различие. (Это различие может быть. по мнению руководства, связано с более или менее выгодным расположением магазинов, разной квалификацией персонала и т. п.)

Для проверки была собрана информация о количестве покупате­лей, сделавших покупки в течение недели. Оказалось, что в первом магазине это число составляет 160 человек, во втором — 225. в тре­тьем —215.

Решение. Здесь нулевой гипотезой будет равенство вероятностей по­сещения покупателем первого (p1), второго (р2) и третьего (р3) ма­газинов:

.

В результате испытания получаем

m1=160, m2=225, m3=215, n=160+225+215=600

Вычислим величину



Обратимся теперь к таблице критических значений (при k = 2). Даже на уровне значимости = 0.01 имеем = 9.2. Таким обра­зом,



Поэтому, видимо, разницу в посещаемости магазинов в течение не­дели нельзя объяснить случайными колебаниями.
6.7. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

по -критерию согласия Пирсона.
Рассмотрим случай, когда эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих значений случайной величины и соответствующих им частот:

xix1x2xNnin1n2nNТребуется проверить, используя критерий Пирсона, гипотезу о том, что генеральная совокупность Х распределена нормально. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

  1. Вычислить выборочную среднюю и выборочное стандартное отклонение .

  2. Вычислить теоретические частоты по формуле

,

где - объем выборки;

- шаг (разность между соседними значениями случайной величины);

;



  1. Вычислить критерий Пирсона по формуле:



  1. По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ( -число групп выборки) находим критическую точку правосторонней критической области .

Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если , то гипотезу отвергают.

Рассмотрим теперь случай когда эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот . Теперь проверка гипотезы на нормальность распределения ведется в следующей последовательности:

  1. Вычисляются выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение , причем, в качестве значений случайной величины принимают среднее арифметическое концов интервала:



  1. Переходим к нормированной случайной величине для чего вычисляем новые концы интервалов по формулам:

,

причем, наименьшее значение , т.е. , полагаем равным , а наибольшее полагаем равным .

  1. Вычисляем теоретические частоты ,

где - объем выборки:

- вероятности попадания Х в интервалы ;

- функция Лапласа.

  1. Вычисляем критерий Пирсона по формуле:



  1. По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ( -число интервалов выборки) находим критическую точку правосторонней критической области .

Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если , то гипотезу отвергают.

Литература


  1. Перепелицкий С.Н. Экономико математические методы и модели в планировании и управлении на предприятиях лесной промышленности. Учебник для вузов,- М.: Лесная промышленность, 1989, 358 с.

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 6-е, стер.-М.: Высшая школа, 1998, 500 с.

  3. Теория статистики. Учебник/Под редакцией проф. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 1999, 553 с.

  4. Практикум по теории статистики. Учебное пособие /под редакцией проф. Р.А. Шмойловой.-М.: Финансы и статистика, 1999, 414 с.

  5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. Учебник.- М.: МГУ им. Ломоносова, издательство "ДИС", 1997, 384 с.

  6. Сурков А.В. Использование MS Excel для решения экономических задач методами математической статистики. Учебное пособие.-М.: МГУЛ, 2000,124 с.

  7. Чернышев А.В. Применение методов математической статистики для решения задач с использованием Excel. Учебное пособие.-М.: МГУЛ, 1999, 101 с.

  8. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах.-СПб.:БХВ - Санкт Петербург, 1999, 332 с.

  9. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика.Учебное пособие для студентов экономических специальностей. - М.: Издательство Высшей школы экономики, 1995, 212с.

  10. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г., Математические методы и модели в управлении. Учебное пособие для студентов управленческих специальностей вузов. - М.: Издательство "Дело", 2000, 440с.

  11. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. Краткий курс и научно методические замечания. - М.: Издательство Московского Университета, 1972, 232с.


Приложение 1

Задания для контрольной работы

  1. Первичная обработка статистических данных. Числовые характеристики выборки.

Для задач №1 и №2:

А. построить дискретный и интервальный вариационные ряды соответственно.

Б. Для задачи №1 построить полигон и кумулятивную кривую. Для задачи № 2 построить гистограмму и кумулятивную кривую;

В. Определить числовые характеристики выборки:

  1. Выборочную среднюю

  2. Выборочную геометрическую

  3. Моду

  4. Медиану

  5. Вариационный размах

  6. Выборочную дисперсию

  7. Выборочное стандартное отклонение

  8. Коэффициент вариации

  9. Асимметрию и коэффициент асимметрии

  10. Эксцесс и коэффициент эксцесса

Из таблиц выбрать три строки, соответствующие трем последним цифрам зачетки. Если цифры повторяются, то каждую повторяющуюся цифру увеличить соответственно на 1. Например, если три последние цифры зачетки равны 555, то из таблиц следует выбрать строки под номерами 5, 6, 7.

Задача №1

Требуется выявить картину успеваемости студентов, сдавших экзамен по курсу "Математическая статистика". На курсе 100 человек. В результате изучения отчетных документов была составлена следующая таблица оценок, полученных студентами по факультету (в порядке алфавитного списка студентов):

№ п/пОценки05345435424134334545342344455434533542545354455354334545544334254565445235454754543524448544523545495435345454Задача 2

Студенты некоторого факультета, состоящего из 100 человек, написали выпускную контрольную работу. Каждый студент набрал определенное количество баллов. Приведем эти баллы (в порядке алфавитного списка студентов):

№ п/пЧисло баллов, полученных студентами064591168976558765999417659783489429141994925966577965946710338683855178388743104495833453752867375098567183568588267577259865164670533256100576987826773774398437994711057968664672547547796111565967702473405878758751

  1. Равномерное распределение

2.1. Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f(x)=0. Найти значение постоянного параметра С.

2.2. Закон равномерного распределения задан плот­ностью вероятности f(x)=1/(bа) в интервале (а, b); вне этого интервала f(x)=0. Найти функцию распределе­ния F (х).

2.3. Найти математическое ожидание случайной вели­чины X, равномерно распределенной в интервале (а, b).

2.4. Найти математическое ожидание случайной вели­чины, X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

2.5. Найти дисперсию и стандартное откло­нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a, b).

2.6. Найти дисперсию и стандартное откло­нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

2.7. Равномерно распределенная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= 1/(2l) в интервале (а-1, а+l); вне этого интервала f(x)=0. Найти мате­матическое ожидание и дисперсию X.

2.8. Диаметр круга х измерен приближенно, причем а{а, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

2.9. Ребро куба х измерено приближённо, причём a
2.10. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

  1. Нормальное распределение

3.1. Математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероят­ность того, что в результате испытания Х примет значе­ние, заключенное в интервале (12, 14).

3.2. Математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероят­ность того, что в результате испытания Х примет значе­ние, заключенное в интервале (15, 25).

3.3. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математи­ческим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фак­тически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм.

3.4. Производится измерение диаметра вала без си­стематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со стандартным отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не пре­восходящей по абсолютной величине 15 мм.

3.5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со стандартным отклонением мм. Найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста из­готовленных.

3.6. Деталь, изготовленная автоматом, считается год­ной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нор­мальному закону со стандартным отклонением мм и математическим ожиданием . Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

3.7. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием . Вероятность попада­ния Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна веро­ятность попадания Х в интервал (0, 10)?

3.8. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием . Вероятность попа­дания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна веро­ятность попадания Х в интервал (35, 40)?

3.9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием и стандартным отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в кото­рый с вероятностью 0,9973 попадет величина Х в ре­зультате испытания.

3.10. Случайная величина Х распределена нормально со стандартным отклонением мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математи­ческого ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет Х в результате испытания.

  1. Показательное распределение и его числовые характеристики

4.1. Непрерывная случайная величина Х распреде­лена по показательному закону, заданному плотностью вероятности при ; при . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0.13, 0.7).

4.2. Непрерывная случайная величина Х распреде­лена по показательному закону, заданному при плотностью распределения ; при функцией . Найти вероятность того, что в резуль­тате испытания Х попадает в интервал (1, 2).

4.3. Непрерывная случайная величина Х распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения при ; при . Найти вероятность того, что в результате ис­пытания Х попадет в интервал (2, 5).

4.4. Найти математическое ожидание показательного распределения

при ; при .

4.5. Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при : а) плотностью ; б) функцией распределения .

4.6. Найти: а) дисперсию; б) стандартное отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: при ; при .

4.7. Найти дисперсию и стандартное от­клонение показательного распределения, заданного плот­ностью вероятности при .

4.8. Найти дисперсию и стандартное от­клонение показательного закона, заданного функцией распределения при .

4.9. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид при , при ; однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С.

4.10. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и стандартное от­клонение случайной величины Т - времени ожидания очередной машины контролером, если поток машин про­стейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показатель­ному закону .

  1. Интервальный метод оценок статистических характеристик генеральной совокупности

5.1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания нормально распределенного признака Х гене­ральной совокупности, если известны генеральное стандартное отклонение , выборочная средняя и объем выборки : а) , , ; б) , , .

5.2. Одним и тем же прибором со стандартным отклонением случайных ошибок измерений м произведено пять равноточных измерений рас­стояния от орудия до цели. Найти доверительный интер­вал для оценки истинного расстояния а до цели с на­дежностью , зная среднее арифметическое резуль­татов измерений м.

Предполагается, что результаты измерений распреде­лены нормально.

5.3. Выборка из большой партии электроламп содер­жит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборка оказалась равной 1000 ч. Найти с надеж­ностью 0,95 доверительный интервал для средней про­должительности а горения лампы всей партии, если известно, что стандартное отклонение про­должительности горения лампы ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нор­мально.

5.4. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точ­ность , с которой выборочная средняя оценивает мате­матическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их стандартное отклонение мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нор­мально.

5.5. Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче­ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч­ной средней равна , если известно стандартное отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

5.6. Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,925 точность оценки математиче­ского ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно стандартное отклонение генеральной совокупности .

5.7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
x-212345mx212221

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида­ние а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи дове­рительного интервала.

5.8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :
x-0.5-0.4-0.200.20.60.811.21.5mx1211111121

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной сово­купности с помощью доверительного интервала.

5.9. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены сред­нее арифметическое результатов измерений и «исправленное» стандартное отклонение . Оценить истинное значение измеряемой величины с по­мощью доверительного интервала с надежностью . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

5.10. По данным 16 независимых равноточных изме­рений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и «исправ­ленное» стандартное отклонение . Оце­нить истинное значение измеряемой величины с надеж­ностью .

  1. Проверка статистических гипотез


6.1. Ваш друг утверждает, что он умеет различать на вкус два близких сорта вина если и не всегда, то хотя бы в четырех случаях из пяти. Вы же склонны считать, что он просто угадывает.

Сформулируйте оба этих мнения в виде статистических гипотез и предложите какую-либо процедуру проверки. В чем состоят ошибки первого и второго рода?

6.2. Урна содержит большое количество белых и черных шаров, 100 раз производится следующее действие: из урны наугад достается шар, фиксируется его цвет, затем шар опускается обратно в урну, после чего шары перемешиваются. Оказалось, что 67 раз достали белый шар. 33 раза - черный. Можно ли на 5%-м уровне значимости принять гипотезу о том, что доля белых шаров в урне составляет 0,6?

6.3. Обычно применяемое лекарство снимает послеоперационные боли у 80% пациентов. Новое лекарство, применяемое для тех же целей, помогло 90 пациентам из первых 100 оперированных. Мож­но ли на уровне значимости = 0,05 считать, что новое лекарство лучше? А на уровне = 0,01?

6.4. Игральный кубик бросили 60 раз, при этом числа 1, 2, 3, 4,5, 6 выпали соответственно 12, 9, 13, 11, 8, 7 раз. Можно ли на 5%- м уровне значимости отвергнуть гипотезу о симметричности кубика?

6.5. Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце смены первый рабочий изготовил 60 деталей, второй - 80, третий -100 деталей. Можно ли на уровне значимости = 0,01 принять гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в 2 раза меньше производительности третьего рабочего?

6.6. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема = 200:

xi0.30.50.70.91.11.31.51.71.92.12.3ni692625302621242085

6.7. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.01 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами , которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Х:

8164072361810 618367639187

6.8. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема =100:

Верхняя граница интервала xi8131823283338Частота ni6815401687

6.9. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами , которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Х:

5102087 6141875

6.10. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки:

Верхняя граница интервала xi-1001020304050Частота ni2047808940168

1   2   3   4   5   6

Похожие:

Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие химки 2012 удк ббк
Учебное пособие предназначено для бакалавров: слушателей и студентов факультета заочного обучения и студентов гуманитарного факультета...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие «Политическая система кнр» для студентов специальностей «Регионоведение», «Международные отношения» Издательство
Олитическая система кнр обсуждена и одобрена на заседании кафедры востоковедения Алтайского государственного университета. Пособие...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов филологических факультетов государственных университетов Издательство Московского университета 1999
Охватывают все лексемы без соотносительных форм
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов очного и заочного обучения специальности 180404 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики»
Охватывают точку (–1, 0). В замкнутом состоянии эти системы устойчивы
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов, обучающихся по специальности «Культурология»
Пособие разработано: кандидатом педагогических наук, профессором кафедры теоретической физики и информационных технологий в обучении...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «История». / А. Г. Ситдиков. Казань: Издательство Казанского государственного университета, 2008. 33 с
В этногенез народов Поволжья и Приуралья. Часть I. Истоки этногенеза финских народов: учебно-методическое пособие для студентов,...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов и аспирантов отделений филологии и журналистики Новосибирск 2000
Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов-филологов и журналистов Новосибирского государственного университета, изучающих...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие Кемерово 2004 удк
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 271400 «Технология продуктов детского и функционального питания» всех форм...
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconМетодическое пособие по курсу «Проблемы современной философии». Для студентов заочного отделения факультета пм-пу санкт-Петербургского государственного университета
Для студентов заочного отделения факультета пм-пу санкт-Петербургского государственного университета
Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 0608. 00 Издательство Московского государственного университета iconУчебное пособие для студентов всех форм обучения специальности 080801 Прикладная информатика в экономике Разработчик
Данное учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальности «Прикладная информатика в экономике»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org