Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1»



Скачать 150.42 Kb.
Дата14.06.2013
Размер150.42 Kb.
ТипИсследовательская работа
XX городская конференция-фестиваль творчества молодёжи и школьников.

Исследовательская работа

Уравнение Пелля




Автор: Садовой Иван

Чувашская Республика


г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

8 «А» класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

преподаватель математики

МОУ «Гимназия №1»

Чебоксары - 2005 год.
Содержание

Введение …………………………………………………………………………… 3

  1. Постановка задачи …………………………………………………………….. 3

  2. Способы отыскания всех решений …………………………………………... 4

  3. Способы отыскания наименьшего решения ………………………………… 5

  4. Литература …………………………………………………………………….. 6

Приложение 1. Уравнение Пелля в древнегреческой литературе

Приложение 2. Пакет программ для компьютера

Введение

Уравнение Пелля имеет большое значение в теории диофантовых уравнений. Например, было доказано, что любое диофантово уравнение сводится к уравнению четвёртой степени, которое в частных случаях сводится к уравнением Пелля. Таким способом с помощью уравнения Пелля Ю.В. Мятиясевичем была решена десятая проблема Гильберта. С помощью решений уравнения Пелля легче приближать "чистые" иррациональности, чем другими методами. Стоит отметить, что точность приближения действительных чисел очень важна в производстве механических часов (точность часов пропорциональна качеству приближения). Так же в кристаллографии используют представление чисел квадратичной формой, частным случаем которой и является уравнение Пелля.

Изучением данной проблемы интересовался сам Архимед. Сохранился текст задачи, которую он послал своему оппоненту Эратосфену. Она сводилась к уравнению Пелля с коэффициентом a = 4729494. Дальнейшее изучение было произведено в Индии, где впервые был сформулирован метод (индийский) нахождения наименьшего решения для любого коэффициента. Позже в Англии Броункнером был разработан другой метод (английский), аналогичный предыдущему, но более удобный. Но у известного математика Леонарда Эйлера осталось впечатление, что решение принадлежит другому английскому математику Пеллю, поэтому он и назвал это уравнение уравнением Пелля. В XIX-XX веках выяснилось, что решения уравнения Пелля являются числителями и знаменателями подходящих дробей к "чистым" иррациональностям. С тех пор изучением проблемы стали заниматься многие знаменитые математики. А.В. Виноградовым были исследованы обобщённые уравнения Пелля, но проблема актуальна и сейчас. В настоящее время появилась возможность использования компьютера для дальнейших построений оптимальных алгоритмов решения уравнения Пелля. В связи с этим стала актуальна проблема поиска "быстрых" алгоритмов, чему и посвящена данная работа.
1.Постановка задачи

Определение 1.1.


Уравнение вида x2ay2 = 1 (1), где a – целое положительное число, не являющееся квадратом, называется уравнением Пелля или неопределённым уравнением Ферма.

Определение 1.2.

Каждое уравнение Пелля имеет решение (±1;0), которое называется тривиальным. Все остальные решения называются нетривиальными.

Наименьшим нетривиальным решением уравнения Пелля называется такое решение, при котором двучлен принимает наименьшее значение из всех возможных.

Ограничение на a является естественным. Если а - квадрат, то разность двух квадратов равна 1 только тогда, когда первый из них единица, а второй ноль. Если же a - отрицательное число, то решения очевидны: если a = -1, то решениями являются пары (±1;0) и (0;±1), если , то только (±1;0).

Решений уравнения Пелля бесконечно много. Доказывается это с помощью бинома Ньютона следующим образом. Двучлен , где x0,y0 - наименьшее нетривиальное решение, возводится в n-ую степень и раскладывается по биному Ньютона. Если привести подобные слагаемые, то получается выражение вида , где хn, уn -целые числа. Далее надо провести аналогичные операции для сопряжённого двучлена. В результате получается следующая система уравнений:



Далее следует перемножить эти равенства и свернуть по формуле разности квадратов, в результате получается уравнение с переменными хn и уn (1). Получается, пара чисел хn, уn тоже является решением. Т.к. число n может принимать бесконечное множество значений, то решений уравнения (1) тоже бесконечное множество.
2.Способы отыскания всех решений

Существует три метода нахождения "всех" решений уравнения (1).

Способ 1.

Первый способ основан на формулах (2). Доказывается, что все абсолютно все решения получаются в результате возведения в n-ую степень двучлена . Этот способ удобен при нахождении решения "вручную", так как надо работать с целыми числами, выполняется "мало" операций и не требуется никаких данных, кроме наименьшего решения. Но при компьютерной реализации возникают проблемы. Во-первых, сложность представления. Требуется создавать множество дополнительных переменных, вводить треугольник Паскаля и n+1 слагаемых, возводить в степени "большие" числа, для чего на многих языках программирования требуется создавать отдельную функцию. Во-вторых, надо работать с n+1 "большими" числами (в данной работе число a называется "большим", если a > 4294967295), для чего требуется создавать новый тип чисел и разрабатывать для них все необходимые операции (суммирование, умножение, разность, деление, хранение). К тому же требуется найти наименьшее решения, что является проблематичным. Этот вопрос рассмотрен в следующем пункте.

Способ 2.

Второй способ основан на операции "гиперболический поворот", переводящей одну целочисленную точку на графике в следующую. Он основан на следующих формулах:



Верность этих формул легко доказывается с помощью математической индукции.

Способ 3.

Третий способ разработан преподавателем Самарского медико-технического лицея М.А. Кривовым. Он основан на методе нахождения наименьшего решения, поэтому подробное описание приведено в следующем пункте. Конечный результат имеет следующий вид:



где P - числители подходящей цепной дроби, Pn=x, t -"шаг", k - период, rtk, stk - коэффициенты, получаемые при умножении неполных частных бесконечной цепной дроби, rtk~xt, stk~yt. С помощью этих коэффициентов можно установить "шаг". Например, можно находить только решения, индекс которых делится на 4 или любое другое число. Стоит заметить, что при "ручном" вычислении решений с небольшим индексом формулы (4) совершенно не подходят. Но всё обстоит иначе с компьютерной реализацией. Они требуют столько же операций, переменных, как и формулы (3), но гораздо быстрей работают. В этом алгоритме есть и недостатки: требуется "начальная подготовка", нахождение коэффициентов, но при нахождении "больших" n время "начальной подготовки" будет очень мало по сравнению с временем действия алгоритмов. Стоит заметить, что во многих частных случаях stk-2=1, и тогда скорость будет ещё выше.


3.Способы отыскания наименьшего решения

Индийский (или циклический) метод и английский с появлением теории цепных дробей перестали применяться и "ушли" в историю математики.

Индийский способ (способ 4).

Сначала берут два целых числа, подставляют в правую часть уравнения (1) и находят результат. Выбирают такие числа, чтобы правая часть была близка к единице. Далее получившееся уравнение умножается на уравнение (1). Скобки раскрывают, выделяют полные квадраты и подбирают новые числа, удовлетворяющие неравенству . Далее сокращают обе части равенства на НОД и опять умножают на уравнение (1) и т. д. пока в правой части не получится единица. Недостатки алгоритма огромны: требуется множество проверок, действий, переменных. Но самым проблематичным является первый этап. Оказывается, для приближения можно брать далеко не любые целые числа, поэтому при компьютерной реализации надо перебирать и проверять множество чисел, что занимает большую часть времени. При "ручном" нахождении наименьшего решения этим алгоритмом можно легко ошибиться.

Английский способ (способ 5).

Алгоритм, основанный на цепных дробях, выполняется следующим образом: раскладывается в цепную дробь, которая будет периодична со второго полного частного. Далее находится период k и вычисляется выражение kn, где n - такое наименьшее натуральное число, что kn чётно. Далее находится подходящая дробь с таким индексом, числитель и знаменатель которой и будут наименьшим решением. Доказательство несложно, но опять требует применения множества теорем из теории цепных дробей. Поэтому рассмотрим только этапы решения. Сначала требуется доказать, что все решения уравнения (1) являются числителями и знаменателями подходящих дробей. Вторым этапом находится индекс, при котором модуль правой части уравнения (1) равен 1. Далее находится окончательный индекс. Теперь вернёмся к нахождению "всех" решений и рассмотрим вывод формул (4).

Если в вышеприведённом доказательстве рассматривать все частные, то легко доказать, что все решения уравнения (1) будут числителями и знаменателями подходящих дробей с индексом kn. Теперь рассмотрим процесс образования подходящих дробей. Известны формулы:



где Pn и Qn числитель и знаменатель n-ной подходящей дроби, an - n-ое неполное частное. Если Pn-1 и Qn-1 разложить опять, перегруппировать и продолжать этот процесс, то коэффициенты будут иметь следующий вид:



т.к. через период k все полные частные начинают повторяться, то и коэффициенты будут зависеть только от остатка деления индекса дроби на k. Стоит заметить, что эти коэффициенты универсальны: с их помощи можно ускорить компьютерное нахождение любой подходящей дроби к иррациональности (не только решения уравнения (1)). Но будем рассматривать только те дроби, которые будут решением уравнения Пелля. Т. к. их индекс имеет вид kn, то мы должны находить rtk и stk коэффициенты, где t - "шаг". Подставляя коэффициенты в формулы (4), мы можем найти любое решение.

Теперь обратимся к высказанному утверждению, что если в частном случае данный алгоритм более быстрый, то и при других коэффициентах он тоже будет наиболее быстрым. Отметим, что чем меньше числа, тем быстрее будут производиться с ними операции. Легко заметить, что наименьшее решение и коэффициенты роста получаются по одним и тем же формулам, разница только в начальных членах. Для большинства натуральных чисел коэффициенты роста будут больше наименьшего решения, поэтому в формулах (4) происходит распределение "громоздкости" больших чисел и, как следствие, повышение скорости вычислений, но и повышение расходования памяти. В современных языках программирования возможно использование памяти до 2 ГБ, так что можно "принести в жертву" скорости лишний килобайт.
4.Литература

1. М.А. Кривов. Уравнение Пелля.

XX городская конференция-фестиваль творчества молодёжи и школьников.

Исследовательская работа

Уравнение Пелля

Приложение 1




Автор: Садовой Иван

Чувашская Республика


г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

8 «А» класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

преподаватель математики

МОУ «Гимназия №1»

Чебоксары - 2005 год.

По-видимому, умел находить решения уравнения Пелля при любом а и великий Архимед. Недаром он послал в Александрию Эратосфену следующий стихотворный вызов:

Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец

(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд),

Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных

Их в четырёх стадах много когда-то паслось.

Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,

Темной морской волны стада другого был цвет.

Рыжим третье было, последнее пёстрым. И в каждом

Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,

Всё же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,

Белых быков в точности было равно

Тёмных быков половине и трети и полностью рыжим;

Тёмных число быков четверти было равно

Пёстрых с прибавленной пятой и также полностью рыжим;

Пёстрой же шерсти быков так созерцай число:

Части шестой и седьмой от стада быков серебристых

Также и рыжим всем ты их число поравняй.

В тех же стадах коров было столько: число белошёрстных

В точности было равно тёмного стада всего

Части четвёртой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;

Тёмных число же коров части четвёртой опять

Пёстрого стада равнялось, кол пятую долю добавишь

И туда же быков в общее стадо причтёшь.

Те же, чья пёстрая шерсть, равночисленным множеством были

Рыжего стада частям пятым и с нею шестой.

Рыжих коров же считалось количество равным полтрети

Белого стада всего с частию взятой седьмой.

Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,

Нам раздельно назвав тучных быков число,

Так же раздельно коров, сколько каждого цвета их было,

Не назовёт хоть никто в числах невеждой тебя,

Всё ж к мудрецам причислен не будешь, учти же, пожалуй,

Свойства такие ещё Солнца быков числа.

Если быков среброшерстых ты с тёмными вместе смешаешь

Так, чтобы тесно они встали бы в ширь и в длину

Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских

Плотным квадратом они площадь большую займут,

Если же рыжих и пёстрых в одно смешаешь ты стадо,

Лесенкой станут они, счёт с единицы начав,

Так что фигуру они треугольную нам образуют;

Цвета иного быков нам нет добавлять.

Если ты это найдёшь, чужестранец, умом пораскинув,

И сможешь точно назвать каждого стада число,

То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,

Что в этой мудрости ты всё до конца превзошёл.
Переведём условия на язык алгебры. Если X,Y,Z,T означают соответственно числа белых, чёрных, рыжих и пёстрых быков, а x,y,z,t – числа коров того же цвета, то приходим к следующей системе:

X=(1/2 + 1/3)Y + Z;

Y=(1/4 + 1/5)T + Z;

T=(1/6 + 1/7)X + Z;

x=(1/4+1/3)(Y+y)

y=(1/4 + 1/5)(T+t)

t=(1/5+1/6)(Z+z)

z=(1/6 + 1/7)(X+x)

X+Y = □

Z+T = ∆

Итак, имеем 7 уравнений с 8 неизвестными, причём эти неизвестные должны удовлетворять двум последним условиям: число X+Y – квадратное, а Z+T – треугольное. После довольно громоздких преобразований эта система приводится к уравнению Пелля с коэффициентом а=4729494. А окончательный ответ для общего числа быков и вовсе неправдоподобен: это число порядка 7766 * 10206541.

Возможно, Архимед сочинил эту задачу в период своего увлечения большими числами, когда писал сочинение числа песчинок во Вселенной. Но тому числу было далеко до численности стада быков Солнца. Чтобы выписать все восемь чисел, составляющих ответ задачи, понадобилось бы 660 страниц при условии, что на каждой странице записано 2500 цифр. Архимед, несомненно, знал о том, что посылает своему оппоненту фактически неразрешимую задачу.
XX городская конференция-фестиваль творчества молодёжи и школьников.

Исследовательская работа

Уравнение Пелля

Приложение 2




Автор: Садовой Иван

Чувашская Республика


г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

8 «А» класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

преподаватель математики

МОУ «Гимназия №1»


Чебоксары - 2005 год.
В этом приложении приведён текст программы для компьютера, написанной на языке Pascal. Также приведён рисунок, на котором обозначены и подписаны все визуальные компоненты, использованные в программе.

Комментарии к тескту программы выделены курсивом и стоят после символа //. Ключевые слова и операторы выделены жирным.
unit Unit1; // имя модуля, содержащего процедуры программы

interface // описание интерфейса программы

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Grids, StdCtrls, ComCtrls, ExtCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label2: TLabel;

GroupBox1: TGroupBox;

StringGrid1: TStringGrid;

Button1: TButton;

GroupBox2: TGroupBox;

StringGrid2: TStringGrid;

Button2: TButton;

GroupBox3: TGroupBox;

StringGrid3: TStringGrid;

Button3: TButton;

LabeledEdit1: TLabeledEdit;

Button4: TButton;

LabeledEdit2: TLabeledEdit;

Button5: TButton;

StatusBar1: TStatusBar;

Label3: TLabel;

procedure Bloker;

procedure Razbloker;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Button3Click(Sender: TObject);

procedure Button4Click(Sender: TObject);

procedure Button5Click(Sender: TObject); // имена процедур

private

public

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm} // директива компилятора

var XYRow, Nat, a: Longint;

x,y: real48; // список переменных, использованных в программе
procedure TForm1.Bloker; // описание процедуры Bloker

begin

Edit1.Enabled := false;

Button1.Enabled := false;

Button4.Enabled := false;

LabeledEdit1.Enabled := false;

StringGrid1.Enabled := false;

Button2.Enabled := false;

Button5.Enabled := false;

LabeledEdit2.Enabled := false;

StringGrid2.Enabled := false;

Button3.Enabled := false;

StringGrid3.Enabled := false; //блокирование всех элемнтов управления программы

end;
procedure TForm1.Razbloker; // описание процедуры Razbloker

begin

Edit1.Enabled := true;

Button1.Enabled := true;

Button4.Enabled := true;

LabeledEdit1.Enabled := true;

StringGrid1.Enabled := true;

Button2.Enabled := true;

Button5.Enabled := true;

LabeledEdit2.Enabled := true;

StringGrid2.Enabled := true;

Button3.Enabled := true;

StringGrid3.Enabled := true; //разблокирование всех элементов управления

end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

//что делать программе при её запуске

begin

StringGrid1.Cells[0,0] := 'x';

StringGrid1.Cells[1,0] := 'y';

StringGrid2.Cells[0,0] := 'y';

StringGrid2.Cells[1,0] := 'x';

StringGrid3.Cells[0,0] := 'x';

StringGrid3.Cells[1,0] := 'y'; //создание заголовков таблиц

end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

// обработчик щелчка на кнопке Button1

begin

a := StrToInt(Edit1.Text); //чтение значения а из Edit1

if (a > 0) and (frac(sqrt(a)) <> 0) then //если а > 0 и а не является полным квадратом

begin

Bloker; //вызов процедуры Bloker

StatusBar1.SimpleText := 'Идёт поиск решений. Подождите...';

//отображение состояния процесса нахождения решений в StatusBar1

x := 1; //присваивание х значения 1

for XYRow := 1 to 100000 do //для XYRow от 1 до 100000 делать

begin

x := x + 1; //увеличение х на 1

StringGrid1.Cells[0,XYRow] := FloatToStr(x); //запись х в таблицу StringGrid1

y := sqrt((sqr(x) - 1)/a); //выражение y через х

StringGrid1.Cells[1,XYRow] := FloatToStr(y); //запись y в таблицу StringGrid1

end;

StatusBar1.SimpleText := 'Решения найдены';

//отображение состояния процесса нахождения решений в StatusBar1

Razbloker; //вызов процедуры Razbloker

end;

end;
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

// обработчик щелчка на кнопке Button2

begin

a := StrToInt(Edit1.Text); //чтение значения а из Edit1

if (a > 0) and (frac(sqrt(a)) <> 0) then //если а > 0 и а не является полным квадратом

begin

Bloker; //вызов процедуры Bloker

StatusBar1.SimpleText := 'Идёт поиск решений. Подождите...';

//отображение состояния процесса нахождения решений в StatusBar1

y := 0; //присваивание y значения 0

for XYRow := 1 to 100000 do //для XYRow от 1 до 100000 делать

begin

y := y + 1; //увеличение y на 1

StringGrid2.Cells[0,XYRow] := FloatToStr(y); //запись y в таблицу StringGrid2

x := sqrt(1 + a * sqr(y)); //выражение x через y

StringGrid2.Cells[1,XYRow] := FloatToStr(x); //запись х в таблицу StringGrid2

end;

StatusBar1.SimpleText := 'Решения найдены';

//отображение состояния процесса нахождения решений в StatusBar1

Razbloker; //вызов процедуры Razbloker

end;

end;
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

//обработчик щелчка на кнопке Button3

begin

a := StrToInt(Edit1.Text); //чтение значения а из Edit1

if (a > 0) and (frac(sqrt(a)) <> 0) then //если а > 0 и а не является полным квадратом

begin

Bloker; //вызов процедуры Bloker

StatusBar1.SimpleText := 'Идёт поиск решений. Подождите...';

//отображение состояния процесса нахождения решений в StatusBar1

x := 1; //присваивание x значения 1

Nat := 0; //присваивание Nat значения 0

for XYRow := 1 to 50000000 do //для XYRow от 1 до 50000000 делать

begin

x := x + 1; //увеличение x на 1

y := sqrt((sqr(x) - 1)/a); //выражение y через x

if frac(y) = 0 then //если дробная часть y = 0, то

begin

Nat := Nat + 1; //увеличение Nat на 1

StringGrid3.Cells[0,Nat] := FloatToStr(x); //запись х в таблицу StringGrid3

StringGrid3.Cells[1,Nat] := FloatToStr(y); //запись y в таблицу StringGrid3

end;

end;

StringGrid3.RowCount := Nat + 1; //кол-во строк в таблице равно Nat+1

StatusBar1.SimpleText := 'Решения найдены';

//отображение состояния процесса нахождения решений в StatusBar1

Label4.Caption := 'Найдено '+ IntToStr(Nat) + ' решений';

//отображение кол-ва найденных решений в поле Label4

Razbloker; //вызов процедуры Razbloker

end;

end;
procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);

// обработчик щелчка на кнопке Button4

begin

if (StrToInt(LabeledEdit1.Text) >= 0) and (StrToInt(LabeledEdit1.Text) <=100000) then

//если есть строка в таблице с номером из LabeledEdi1, то

begin

StringGrid1.TopRow := StrToInt(LabeledEdit1.Text)-1;

//номер верхней отображаемой строки таблицы StringGrid1

StringGrid1.LeftCol := 1;

//номер столбца таблицы StringGrid1, отображаемого слева

end;

end;
procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject);

// обработчик щелчка на кнопке Button5

begin

if (StrToInt(LabeledEdit2.Text) >= 0) and (StrToInt(LabeledEdit2.Text) <=100000) then

//если есть строка в таблице с номером из LabeledEdi1, то

begin

StringGrid2.TopRow := StrToInt(LabeledEdit2.Text);

//номер верхней отображаемой строки таблицы StringGrid2

StringGrid2.LeftCol := 1;

//номер столбца таблицы StringGrid2, отображаемого слева

end;

end;
end.
Данный код обеспечивает высокую скорость нахождения решений. Так, на компьютере с ОЗУ 512 Мб и процессором с тактовой частотой 2 ГГц заполнение первых двух таблиц занимает примерно 5 сек, а заполнение третьей таблицы - 10 сек. Ещё одно преимущество – код легко изменить, например, уменьшить или увеличить диапазон нахождения решений. Сама программа занимает всего 463 Кб пространства.




Похожие:

Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconОбщие сведения 2 Формирование политико-административной карт
Состав района: Республика Мари Эл (Йошкар-Ола), Республика Мордовия (Саранск), Чувашская Республика (Чебоксары, Шупашкар), Кировская...
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconРектор хрипк и про директор моу «Гимназия»
Абакан моу «Гимназия», Хакасская национальная гимназия-интернат им. Н. Ф. Катанова, моу «сош №22», моу «сош №1», моу «сош №28», моу...
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconОткрытое акционерное общество инвестиционно-финансовая компания
Чувашская республика, г. Чебоксары, ул. К. Иванова, д. 79/16, оф70. почтовый адрес
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconИсследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители
Цель исследования: изучить данную тему и рассмотреть различные способы решения функциональных уравнений использующих понятие группы....
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconПриволжский федеральный округ Республика Башкортостан Республика Марий Эл Республика Мордовия Республика Татарстан Удмуртская республика Чувашская республика
Все права на материалы, используемые в данном тексте, принадлежат сайту Офицеры Державы
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconЕжеквартальныйотче т открытое акционерное общество "Инвестиционно-финансовая компания "Надежда"
Место нахождения эмитента: 428009 Россия, Чувашская Республика, г. Чебоксары, бульвар Мефодия Денисова 9
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconЕжеквартальныйотче т открытое акционерное общество "Инвестиционно-финансовая компания "Надежда"
Место нахождения эмитента: 428009 Россия, Чувашская Республика, г. Чебоксары, бульвар Мефодия Денисова 9
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconАкционерный коммерческий банк «чувашкредитпромбанк» (Открытое акционерное общество), именуемый в дальнейшем «залогодержатель»
...
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconУравнение пелля: мультипликативные свойства и ациклический метод решения
Пелля, позволяющий значительно упростить и сократить вычисления по сравнению с циклическим методом. Метод применим для диофантовых...
Исследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1» iconЕжеквартальныйотче т открытое акционерное общество "Центр" Код эмитента: 55882-D
Место нахождения эмитента: 428000 Россия, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. Карла Маркса 47 А
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org