Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги



Скачать 91.49 Kb.
Дата08.10.2012
Размер91.49 Kb.
ТипТворческая работа
Правильные многоугольники

Творческая работа

ученицы 9 класса

МОУ «Новокиевская основная общеобразовательная школа»

Щербаковой Ольги


Руководитель: В.И.Крыжановская

План


  1. Определение правильных многоугольников




  1. Cвойства

а) размеры

б) площадь
3. Построение правильных многоугольников
4. История

Правильный многоугольник



Правильный семиугольник

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый
многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его углы равны и все стороны равны.


На рисунке 1 представлены правильный треугольник, шестиугольник и четырехугольник.


Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полиграммами, по аналогии с пентаграммой - правильной пятиконечной звездой (изображена внутри правильного пятиугольника на рис.2).

Любой правильный многоугольник, выпуклый или звездчатый, можно наложить сам на себя так, чтобы одна из двух произвольно заданных сторон совпала с другой; то же верно для любых двух его вершин. И обратно: многоугольник, обладающий обоими этими свойствами, правильный. Но существуют неправильные многоугольники, у которых такое свойство справедливо только для сторон, как у ромба, или только для вершин, как у прямоугольника.

Имеется 2n способов совместить правильный n-угольник сам с собой: половина из них - повороты вокруг одной и той же точки, его центра, на углы, кратные360°/ n, вторая половина - n симметрий относительно прямых, соединяющих центр с вершинами и серединами сторон.
Центр правильного многоугольника равноудален от всех его сторон и от всех вершин, поэтому он служит одновременно центром вписанной и описанной окружностей многоугольника (рис.3 ).

Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом Архимед.

Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В "Началах" Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27'). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия.

Теорема. Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным.

Доказательство. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn, вписанный в окружность с центром О. Докажем сначала, что этот многоугольник выпуклый. Для этого нужно доказать, что он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону многоугольника. Докажем, например, что он лежит по одну сторону от прямой А1А2. Для этого достаточно убедиться в том, что вершины А3А4,…, Аn принадлежат одной и той же полуплоскости с границей А1А2. Рассмотрим полуплоскость с границей А1А2, в которой лежит точка А3. Точка А4 принадлежит этой же полуплоскости, так как в противном случае прямая А1А2 пересекает дугу А3А4 окружности и, следовательно, имеет с окружностью больше двух точек, что невозможно. Точно так же вершина А5 и все остальные вершины принадлежат этой же полуплоскости. Аналогично доказывается, что многоугольник лежит по одну сторону от каждой из этих прямых А2А3 ,…, АnА1.

Пусть все стороны вписанного многоугольника равны: А1А2 = А3А4 =…= Аn-1Аn = АnА1. Докажем, что углы многоугольника также равны: угол А1= угол А2=…=угол Аn. Если n=3, то это утверждение очевидно. Допустим, что n >3, и рассмотрим вершины Аn, А1, А2, А3 .

Треугольники ОАnА1, ОА1А2, ОА2А3 равны друг другу по трем сторонам, а так как эти треугольники равнобедренные, то угол1= угол 2=угол 3= угол 4. Поэтому угол А1= угол1+угол 2= угол 3+ угол 4= угол А2. Точно также доказывается равенство других углов многоугольника. Следовательно, многоугольник А1А2…Аn правильный.

Используя эту теорему, докажем следующее утверждение: каково бы ни было число n, больше двух, существует правильный n-угольник.

Возьмем какую-нибудь окружность с центром в точке О и разделим её на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n ( на этом рисунке n=8).

Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними), поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда согласно доказанной теореме следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.

В пространстве фигурой, аналогичной правильному многоугольнику, является правильный многогранник- выпуклый многогранник, у которого все грани- правильные равные друг другу многоугольники и к каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Интересно отметить, что в отличие от правильных многоугольников, которые могут иметь любое (больше двух) число сторон, существует лишь конечное число различных типов правильных многогранников. Ещё Евклид доказал, что таких типов только пять: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр), двадцатигранник (икосаэдр).



Свойства

Размеры


Пусть Rрадиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

,

а длина стороны многоугольника равна

.

Площадь


Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны t составляет

.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R составляет

.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r составляет

.

Построение правильных многоугольников
























Построение правильного шестиугольника











Применение


Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

Виды паркета, составленного из правильных многоугольников




… в основании правильный многоугольник.





... водоемы с видом правильных многоугольников.










...поверхность, если применять лишь одну форму плиток.






История


Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до
XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m - 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2 — числа 3 и 5, а k1,k2 принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать более общо, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно , где k0 — целое неотрицательное число, принимают значения 0 или 1, а pj — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.


Литература


  1. Геометрия 9 класс, Л.С Атанасян, М. «Просвешение» 1992


2. Дополнительные вопросы по математике Е.Н Турецкий ,

М. «Просвешение» 2000

3. http:/images.yandex.ru

Похожие:

Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconТворческая работа по математике ученицы 5 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа»
Определение: Четырехугольник, у которого все углы прямые, называют прямоугольником
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconНа службе в училище состояли
Моу боровская основная общеобразовательная муниципальная школа расположена в 18 километрах от города Буя. Школа является муниципальной...
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги icon«А ну-ка, математики!»
Автор: учитель начальных классов моу «Колинская основная общеобразовательная школа» Бойцева Анжелика Валерьевна
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconТворческая работа по математике ученицы 5 класса
При делении 3 шоколадок на четверых ребят, каждый получит 3 кусочка, равных четверти шоколадки, или шоколадки. Значит
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconЗаочная олимпиада по истории 8-9 классы Работа ученицы 8 класса моу варгатерская оош родиковой Яны
Ф. Я. Лефорт, Ф. А. Головин, П. Б. Возницин
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconПодготовка обучающихся 9 класса моу «Основная школа с. Хлебновка» к гиа по обществознанию в 2011 2012 учебном году
Подготовка обучающихся 9 класса моу «Основная школа с. Хлебновка» к гиа по обществознанию в 2011 – 2012 учебном году
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconМоу «Основная общеобразовательная Обуховская школа»
Рыба (особенно сардина и скумбрия) содержит в себе важный элемент – железо, который важен для здоровья крови. Тирозин и фосфор способствуют...
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги icon«Западный макрорегион европейская Россия»
Подготовка обучающихся 9 класса моу «Основная школа с. Хлебновка» к гиа по географии в 2011 – 2012 учебном году
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconТворческая работа по математике ученицы 5 класса
Тмутаракань. Где был этот город нашли камень, с надписью “В лето 6576 Глеб князь, мерил море но льду от Тмутаракани до Керченского...
Творческая работа ученицы 9 класса моу «Новокиевская основная общеобразовательная школа» Щербаковой Ольги iconУрока по литературе в 7 классе мбоу «Основная общеобразовательная Знаменская школа»

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org