Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2



Скачать 55.78 Kb.
Дата27.06.2013
Размер55.78 Kb.
ТипКурс лекций

Математика. Курс лекций для студентов специальности Психология



Часть 2. линейная и векторная алгебра
Лекция 2

определители и обратная матрица





  1. Определители второго и третьего порядка

  2. Определители -го порядка

  3. Обратная матрица


1. Определители второго и третьего порядка
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Определитель матрицы обозначается

  • Определителем первого порядка называется само число:

Пример 1.

  • Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

. (2.5)

Пример 2. .

  • Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по правилу:

(2.6)

Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе третьего порядка:



Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка.


2. Определители -го порядка
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления. Введем вспомогательные понятия.

  • Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число gif" name="object16" align=absmiddle width=28 height=21>, равное произведению числа на определитель , полученный из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент :

(2.7)

Пример 4. Для определителя найти алгебраические дополнения всех элементов.

Решение



Пример 5. Для определителя найти алгебраические дополнения элементов первой строки.

Решение

; ;

.

  • Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число, равное сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя по элементам -ой строки имеет вид:

. (2.8)

Пример 6. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке.

Решение



Для вычисления определителя удобно брать ту строку, в которой имеются нули.
3. Свойства определителей
1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: .

Пример 7.

; .

Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Например, .

3. Определитель равен нулю, если:

1) он имеет нулевую строку (или столбец);

2) он имеет одинаковые строки (или столбец);

3) он имеет пропорциональные строки (или столбцы).

Пример 8. Определители, значения которых равны нулю:

; ; .

4. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число:

.

Пример 9. Дан определитель .

Прибавим к элементам второй строки элементы первой строки, умноженные на число (-2), и вычислим определитель:

.

Значения определителей одинаковы.

5. Если в определителе каждый элемент какой-либо строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

6. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

. (2.9)

7. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то её определитель умножится на это число .

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

. (2.10)
4. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

  • Квадратная матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если их произведение равно единичной матрице: .

Обратная матрица обозначается . Тогда

. (2.11)
Теорема (Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы)

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы определитель был не равен нулю.

Правило нахождения обратной матрицы

1. Вычисляется определитель матрицы . Если он не равен нулю, то обратная матрица существует: .

2. Вычисляются алгебраические дополнения всех элементов матрицы.

3. Составляется матрица из алгебраических дополнений, которая затем транспонируется:

.

4. Каждый элемент матрицы делится на определитель .

Запишем формулу вычисления обратной матрицы:

(2.12)

Для матрицы второго порядка обратная матрица имеет вид

, (2.13)

где .

Пример 11. Найти для матрицы обратную матрицу.

Решение. Вычислим определитель матрицы:

. Так как , обратная матрица существует.

Подставим в формулу обратной матрицы второго порядка значения определителя и элементов , получим:

.

Выполним проверку:

.

Получилась единичная матрица, значит, обратная матрица найдена верно.

Для матрицы третьего порядка обратная матрица имеет вид:

(2.14)

Пример 12. Найти для матрицы обратную матрицу.

Решение. Вычислим определитель матрицы . Так как определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.

Вычислим все алгебраические дополнения элементов:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

.

Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:

.

Разделим каждый элемент последней матрицы на определитель , получим обратную матрицу:

.

Для проверки правильности вычисления обратной матрицы следует найти произведение и убедиться, что в результате получится единичная матрица.





Похожие:

Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть математическая статистика Лекция 4 Проверка гипотез о законе распределения
Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений. В данной теме будем рассматривать сравнение...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1
Понятия «множество», «элемент множества», «элемент принадлежит множеству» относятся к первичным, неопределяемым понятиям современной...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть математическая статистика Лекция 2
Следующий шаг – получение числовых характеристик выборки, позволяющих глубже понять особенности объекта наблюдения: среднее значение...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть основы математического анализа Лекция 2
К основным операциям (+, –,, ), которые применяются в элементарной математике, в высшей математике добавляется еще одна – операция...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 2
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 icon1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconРабочая программа дисциплины " Линейная алгебра " предназначена для студентов 1 курса по специальности
Рабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций по высшей геодезии раздел «теоретическая геодезия»
Курс лекций ведется на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета для студентов специальности...
Курс лекций для студентов специальности Психология Часть линейная и векторная алгебра Лекция 2 iconКурс лекций для студентов фен нгу (28. 03. 2004)
Название курса: Гидробиология. Курс лекций объемом 32 часа реализуется в рамках программы обучения по специальности «химик-эколог»...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org