Рабочая программа дисциплины «Алгебра»



Скачать 169.67 Kb.
Дата27.06.2013
Размер169.67 Kb.
ТипРабочая программа
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»
Факультет математики

Рабочая программа дисциплины
«Алгебра »

(дополнительные главы)


Направление:

010100.68 «Математика»

Подготовка:

магистр

Форма обучения:

очная



Автор программы:

д.ф.-м.н., проф. А.Н. Рудаков



Рекомендована секцией УМС




Одобрена на заседании

по математике




кафедры алгебры

Председатель




Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор


___________________________С.К. Ландо





________________________ А.Н. Рудаков

«_____» ______________________2010 г.




«_____» ______________________2010 г.











Утверждена УС







факультета математики







Ученый секретарь доцент








_________________________Ю.М. Бурман







«___» ________________________2010 г.








Москва
2010

Рабочая программа дисциплины «Дополнительные Главы Алгебры» [Текст]/Сост. Рудаков А.Н.; ГУ-ВШЭ.– Москва.– 2010.– 9 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100.68 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100.68 «Математика».

Составитель: д.ф.-м.н., проф. Рудаков А.Н. (rudakov@hse.ru)


©

Рудаков А.Н., 2010.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2010.


Пояснительная записка
Автор программы: доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Рудаков.
Требования к студентам: дисциплина «Дополнительные главы алгебры» не предполагает предварительных знаний, выходящих за пределы подготовки бакалавра по математике.
Аннотация.

Дисциплина «Дополнительные главы алгебры» предназначена для первого года подготовки магистрантов по направлению 010100.68 «Математика».
Алгебра занимает одно из центральных мест в блоке математических дисциплин. Обучение в магистратуре требует живого и активного понимания основных алгебраических структур, более глубокого, чем в бакалавриате, владения техникой доказательств и понимания идейных связей внутри алгебры.

Первая часть курса посвящена углубленному освоению теории групп и линейной алгебры в контексте теории представлений алгебр Ли и теории групп, порожденных отражениями. Одновременно изучаются начала теории алгебр Ли, теории групп Кокстера, и теории модулярных форм.
Далее мы обращаемся к изучению начал теории алгебраических групп и идейных связей этой теории с теорией алгебр Ли. Затем обращается к «геометрически мотивированному» вопросу коммутативной алгебры – теории размерности локальных колец.
В заключение обсуждаются основы гомологической алгебры и разбираются вычисления со спектральными последовательностями, тем самым осваивается техника вычислений, имеющая фундаментальное значение в современной алгебре, топологии и функциональном анализе.

Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе

Цель изучения дисциплины:


  • развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и математической культуры.




  • изложение ряда важных тем, результатов и методов современной алгебры.



Задачи изучения дисциплины:


  • освоение на новом уровне геометрии и алгебры конечномерных векторных пространств.




  • знакомство с нетривиальными и общезначимыми реализациями базисных алгебраических структур – группами Кокстера, группами, порожденными отражениями, системами корней и графами Дынкина, и др.




  • освоение важнейших связей алгебраических структур: алгебраических групп и алгебр Ли; групп, алгебр Ли и их представлений; абстрактно заданных систем корней и систем корней алгебры Ли.




  • освоение важных методов алгебраических вычислений – фильтраций и градуировок, корней и весов, размерностей локальных колец, гомологий комплексов и би-комплексов, спектральных последовательностей и их пределов.


Тематический план



Название темы

Всего часов по дисциплине

В том числе аудиторных

Самостоятельная работа

Всего

Лекции

Семинары

1.         

Группы, порожденные инволюциями: длина и приведенные разложения. Группы Кокстера, матрицы и графа Кокстера.

8

4

2

2

4

2.         

Условие замены для групп, порожденных инволюциями; характеризация групп Кокстера.

8

4

2

2

4

3.         

Корневые подпространства и фильтрации: жорданова нормальная форма оператора; коммутирующие операторы. Экспоненциалы операторов, свойства.

8

4

2

2

4

4.         

Введение в алгебры Ли. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Неприводимые представления sl_2 над полем комплексных чисел.

10

4

2

2

6

5.         

Модулярная группа и ее действие на верхней полуплоскости. Модулярные формы: первоначальные свойства.

10

4

2

2

6

6.         

Системы гиперплоскостей, ячейки, камеры и стенки. Отражения, группы, порожденные отражениями; фундаментальная область; транзитивность действия на множестве камер. Свойство замены и структура группы Кокстера для группы порожденной отражениями; длина и разделяющие гиперплоскости.

18

4

2

2

14

7.         

Системы корней, группа Вейля. Углы и длины, системы корней ранга 2. Примеры систем корней, список неприводимых приведенных систем корней.

12

4

2

2

8

8.         

Элемент Казимира и его свойства. Теорема о полной приводимости конечномерных комплексных представлений sl_2. Модели представлений.

12

4

2

2

8

9

Построение системы корней для алгебры Ли, в которой «много» sl_2-подалгебр. Система корней для алгебры матриц со следом ноль.

12

4

2

2

8

10

Теорема Энгеля и теорема Ли для подалгебр алгебры Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Инвариантные билинейные формы на алгебре Ли. Форма Киллинга.

12

4

2

2

8

11

Алгебраические группы в группе обратимых матриц; алгебра Ли такой группы. Ассоциированное действие на тензорных пространствах.

12

4

2

2

8

12

Полупростые и унипотентные эндоморфизмы; их действие на тензорах. Теорема о полупростых и унипотентных элементах алгебраической группы.

10

4

2

2

6

13

Алгебраические торы, их гомоморфизмы, характеры и представления.

14

4

2

2

10

14

Полупростые алгебры Ли и полупростые алгебраические группы: основные теоремы

18

5

2

2

13

15

Теория размерности локальных колец; различные размерности, их свойства и теоремы сравнения.

18

5

3

3

13

16

Элементы гомологической алгебры: основные понятия и структуры.

17

5

3

3

12

17

Спектральные последовательности: определение, основные свойства. Вычисления со спектральными последовательностями.

17

5

2

2

12

 

Итого:

216

72

36

36

144


Содержание программы
Тема 1. Группы Кокстера и группы, порожденные отражениями.

Группы, порожденные инволюциями: длина и приведенные разложения. Группы Кокстера, матрицы и графа Кокстера.

Условие замены для групп, порожденных инволюциями; характеризация групп Кокстера.

Системы гиперплоскостей, ячейки, камеры и стенки. Отражения, группы, порожденные отражениями; фундаментальная область; транзитивность действия на множестве камер.

Свойство замены и структура группы Кокстера для группы порожденной отражениями; длина и разделяющие гиперплоскости.
Тема 2. Введение в алгебры Ли и их представления.

Корневые подпространства и фильтрации: жорданова нормальная форма оператора; коммутирующие операторы. Экспоненциалы операторов, свойства.

Введение в алгебры Ли. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Неприводимые представления sl_2 над полем комплексных чисел.

Элемент Казимира и его свойства. Теорема о полной приводимости конечномерных комплексных представлений sl_2. Модели представлений.

Теорема Энгеля и теорема Ли для подалгебр алгебры Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Инвариантные билинейные формы на алгебре Ли. Форма Киллинга. Полупростые алгебры Ли и критерий Картана.
Тема 3. Действие модулярной группы на верхней полуплоскости.

Модулярная группа и ее действие на верхней полуплоскости. Классы решеток и «пространство модулей решеток».

Модулярные формы: первоначальные свойства. Функция Вейерштрасса и униформизация эллиптических кривых.
Тема 4. Абстрактные системы корней и система корней алгебры Ли.

Системы корней, группа Вейля. Углы и длины, системы корней ранга 2. Примеры систем корней, список неприводимых приведенных систем корней.

Построение системы корней для алгебры Ли, в которой «много» sl_2-подалгебр. Система корней для алгебры матриц со следом ноль.

Корни для полупростой алгебры Ли. Веса представлений полупростой алгебры Ли. Симметрия относительно группы Вейля.
Тема 5. Введение в теорию аффинных алгебраических групп.

Аффинные алгебраические группы; алгебра Ли такой группы. Ассоциированное действие на тензорных пространствах.

Полупростые и унипотентные эндоморфизмы; их действие на тензорах. Теорема о полупростых и унипотентных элементах алгебраической группы.

Полупростые алгебры Ли и полупростые алгебраические группы: основные теоремы

Алгебраические торы, их гомоморфизмы, характеры и представления.

Однородные пространства аффинных алгебраических групп.
Тема 6. Размерности для локальных колец.

Локальные кольца, лемма Накаямы. Цепочки идеалов и размерность Крулля.

Градуированные кольца и функция Гильберта. Функция Самюэля локального кольца. Системы параметров, a-последовательности.

Теоремы сравнения размерностей.

Тема 7. Элементы гомологической алгебры.

Комплексы, гомологии и гомотопии. Бикомплексы и фильтрованные комплексы.

Спектральные последовательности: определение. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса.

Случаи сходимости спектральной последовательности би-комплекса. Вычисления со спектральными последовательностями.

Формы контроля знаний студентов:

Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа




8







Письменная работа 90 минут

Коллоквиум




6




8




Промежу­точный

Зачет

v

v

v




Письменная работа 180 минут

Экзамен













Устный экзамен

Итоговый

Экзамен











v

Устный экзамен

Форма итогового контроля: 3 зачёта (1, 2, 3 мод), 1 экзамен (4 мод).

Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется

по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
Темы самостоятельных работ:





Предлагаются индивидуально.








Основная литература




Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли: алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. –

М. «Мир», 1976.



Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли: группы Кокстера и системы Титса, группы, порожденные отражениями, системы корней. – М.:Мир, 1972..



Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли: подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли. – М.:Мир, 1978.



Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. – М.:Наука, 1980.



Matsumura H. Commutative ring theory. – Cambridge U.Press 1986.



Картан Э., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. – М.:Изд.ин.лит. 1960.








Дополнительная литература




Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. – М.:УРСС 1995.



Кац В., Бесконечномерные алгебры Ли. – М.: Мир, 1993.



Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. – М.:Изд.ин.лит. 1961.

  1. В

Weibel C.A. An introduction to homological algebra. Cambridge U.Press 1994.


Автор программы: _____________________________ А.Н.Рудаков

Похожие:

Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины «Алгебра ii» Направление: 010100. 62 «Математика»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Финкельберг М. В.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 12 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины «Алгебра ii»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Финкельберг М. В.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 12 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины «Алгебра I»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Городенцев А. Л.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 12 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины «Алгебра I»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Городенцев А. Л.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 14 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины «Алгебра I»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Городенцев А. Л.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 14 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины «Алгебра I»
Рабочая программа дисциплины «Алгебра I» [Текст]/Сост. Городенцев А. Л.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 14 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» Направление
Рабочая программа дисциплины «Гомологическая алгебра» [Текст]/Сост. Смирнов Е. Ю., Финкельберг М. В.; Гу-вшэ. – Москва.– 2010. –...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconПрограмма дисциплины «Гомологическая алгебра»
Рабочая программа дисциплины «Гомологическая алгебра» [Текст]/Сост. Смирнов Е. Ю., Финкельберг М. В.; Гу-вшэ. – Москва.– 2010. –...
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconПрограмма дисциплины «Коммутативная алгебра»
Рабочая программа дисциплины «Коммутативная алгебра» [Текст]/Сост. Артамкин И. В.; Гу-вшэ.–Москва.–2008.–5 с
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org