Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника



Скачать 94.54 Kb.
Дата23.10.2012
Размер94.54 Kb.
ТипЛабораторная работа
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 25

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
1. Введение
Цель работы: изучение основных характеристик, описывающих процесс собственных и вынужденных механических колебаний.

Тело массой m, подвешенное к пружине с коэффициентом упругости k (рис. 1) и выведенное из положения равновесия :(x = 0), будет совершать собственные затухающие колебания, В процессе движения на тело действуют три силы: сила тяжести ; сила сопротивления , пропорциональная скорости; сила упругости , пропорциональная смещению незакрепленного конца пружины. Если ввести ось ОX (рис. 1), то координата X тела равна смещению конца пружины



Рис. 1

от положения равновесия (прямая АА'). Полное растяжение пружины равно x+S0, и сила упругости , где S0 – растяжение пружины, при котором груз находился в положении устойчивого равновесия, когда kS0=mg. Поскольку все силы направлены вдоль оси ОX, то уравнение второго закона Ньютона запишем сразу в скалярном виде

,

где rx =f – сила сопротивления; – скорость груза; r – коэффициент сопротивления. Раскрывая скобки и учитывал, что mg = kS0, получим

. (1)

Применив обозначения 2 = r/m, 02 = k/m, преобразуем (1) следующим образом:

. (2)

Это дифференциальное уравнение описывает собственные затухающие колебания. Решение (2), являющееся законом движения груза m, имеет вид

, (3)

где  = r/2m – коэффициент затухания; – круговая частота собственных затухающих колебаний; – круговая частота собственных незатухающих колебаний (в отсутствие силы трения).
Начальная амплитуда A0 и начальная фаза 0 определяются начальными условиями, т.е. значениями х и в момент времени t = 0.

Зависимость x(t), выражаемая уравнением (3), графически представлена на рис. 2. Амплитуда затухающих колебаний A(t) = A0е-t убывает с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания .




Рис. 2

Затухающие колебания не являются строго периодическими, однако по аналогии с гармоническими колебаниями вводят понятие условного периода собственных затухающих колебаний, который может быть определен по формуле

. (4)

Период собственных незатухающих колебаний всегда меньше Т, так как силы сопротивления замедляют движение.

Характеристикой затухания колебаний служит безразмерная величина – логарифмический декремент : логарифм отношения двух амплитуд в моменты времени, разделенные одним периодом:

. (5)

Если на тело помимо упругой силы и силы сопротивления будет еще действовать переменная внешняя сила (вынуждающая сила), то тело будет совершать вынужденные колебания. В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону: , где F0 – амплитуда, a  – круговая частота вынуждающей силы. По прошествии некоторого промежутка времени (разного в зависимости от величины  системы), когда собственные колебания затухнут, тело будет совершать вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы по закону , где

(6)

является амплитудой вынужденных колебаний. Величина В при заданных F0 и m зависит от соотношения частот собственных незатухающих 0 и вынужденных  колебаний, а также от коэффициента затухания системы . При  = 0 амплитуда В равна статическому смещению В0 пружины под действием постоянной силы F0:

. (7)

С другой стороны, при амплитуда В стремится к нулю. При приближении  к величине 0 разность убывает и при некотором значении  = peз, где , амплитуда достигает максимума. Это значение частоты называется резонансным, причем peз несколько меньше 0. Если  << 0, то peз  0, что и выполняется в данной работе. Само явление резкого возрастания амплитуды при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называется резонансом. На основании приведенного анализа можно построить резонансные кривые, показанные па рис. 3.



Рис. 3
2. Описание установки и метода измерений
Пружинный маятник (рис. 4) состоит из спиральной пружины К и груза m обтекаемой формы. Верхний конец пружины соединен нитью, перекинутой через блок О, с эксцентриком, укрепленном на валу мотора М. При вращении мотора маятник совершает вынужденные колебания с частотой, совпадающей с частотой вращения мотора. Последнюю можно менять при помощи регулятора R, положение которого отмечается на шкале L. Смещение груза отсчитывается при помощи указателя Р, передвижных рамок R1 и R2 и шкалы S.

Груз т помещен в цилиндрический сосуд с маслом. Так как сила трения зависит от расстояния между стенкой сосуда и грузом, необходимо следить, чтобы последний двигался все время по оси сосуда.

Работу начинают с изучения характеристик собственных затухающих колебаний. Измеряют время t, необходимое для совершения n полных колебаний, и вычисляют период по формуле T = t/n. Для определения логарифмического декремента  измеряют по шкале S амплитуды в моменты времени, разделенные n периодами, AtAt+nT. Тогда

. (8)



Рис. 4



Рис. 5

Затем приступают к изучению вынужденных колебаний. Включают мотор и постепенно изменяют его частоту . При каждом положении регулятора частоты мотора находят с помощью секундомера период Т вынужденных колебаний, а по шкале S – амплитуду В. По результатам измерений строят резонансную кривую (рис. 5). Из графика резонансной кривой можно определить логарифмический декремент двумя способами.

а) По высоте резонансной кривой. Если в формуле (6) положить peз  0, считая эту частоту резонансной, то В = Вmах и

. (9)

Из формулы (5) следует, что , где Т в данном приближении равно . Отсюда и Вmах=. Сопоставляя это выражение и формулу (7), имеем

. (10)

б) По ширине резонансной кривой. Ширину резонансной кривой принято определять, как разность между двумя значениями частот 1 и 2 (по обе стороны от резонансной частоты рез), для которых выполняется соотношение

. (11)

Найдем значения 1 и 2, удовлетворяющие условию (11). Подставив (6) и (9) в формулу (11), получим биквадратное уравнение . Решая это уравнение и отбрасывая члены, содержащие  в степени выше первой, будем иметь

.

Отсюда получаем с точностью до членов первого порядка малости



. (12)

Преобразуем выражение (12), перейдя от коэффициента  к логарифмическому декременту и от круговой частоты к периоду :

. (13)

3. Порядок выполнения работы


  1. Определение периода собственных затухающих колебаний. По шкале S отмечают положение равновесия груза N0 при помощи указателя Р. Задают грузу некоторое смещение . Затем груз отпускают и секундомером измеряют время t, в течение которого груз совершит n = 5 полных колебаний. Измерение повторяют 5 – 7 раз.

  2. Определение логарифмического декремента. Рамку R1 устанавливают в положение, соответствующее начальному смещению N1. Отводят груз из положения равновесия до совмещении указателя Р с указателем рамки R1 и отпускают груз. Когда груз начнет колебаться, рамку R2 подводят к положению N2 указателя Р, которое он будет иметь в момент окончания n-го (например, третьего) полного колебания. Измерения повторяют три раза.

  3. Снятие резонансной кривой. Включают мотор, установив регулятор частоты R на одно из крайниx делений шкалы L. Когда колебания установятся, рамки R1 n R2 на шкале S подводят к крайнему нижнему положению N1 и крайнему верхнему положению N2, которые достигаются указателем Р при колебании груза. Измеряют время t, в течение которого груз совершает n полных колебаний (не менее десяти). Аналогичные измерения проводят при других положениях регулятора частоты R. При каждом новом положении регулятора R нужно выждать некоторое время для установления вынужденных колебаний. Для построения резонансной кривой должно быть получено не менее 10 – 12 точек. При этом экспериментальные точки должно быть сняты по обе стороны от максимума резонансной кривой, особенно тщательно вблизи резонанса.


4. Обработка результатов измерений


  1. Определение периода собственных затухающих колебаний.

N0 = . . .

Таблица 1




п/п

x0, см

n

t, с

tср, с

Т, с



















По данным табл. 1 находят tср и вычисляют период по формуле



Рассчитывают относительную и абсолютную погрешности при измерении периода по обычным правилам, записывают окончательный результат.

  1. Определение логарифмического декремента по амплитудам затухающих колебаний.

n = 3; N0 = . . .

Таблица 2


№ п/п

N1, см

N2, см

A1, см

A1+n, см



ср






















По данным табл, 2 находят амплитуды A1 и A1+n (n = 3) по формулам , . По формуле (8) вычисляют логарифмический декремент. Рассчитывают относительную и абсолютную погрешности величины . Для сравнения частот собственных колебаний затухающих  и незатухающих 0 можно воспользоваться соотношением , из которого следует, что , если выполнено условие  << . Для проверки последнего соотношения по найденным значениям  и T по формулам (5) и (3) вычисляют =/T и  = 2/T.


  1. Снятие резонансной кривой.

Таблица 3


№ п/п

N1, см

N2, см

В, см

n

t, с

Т, с






















По данным табл. 3 находят для каждой точки период колебаний по формуле T = t/n и амплитуду по формуле В = (N2 N1)/2. По найденным экспериментальным точкам строят график B = f(T).

  1. Определение логарифмического декремента по высоте резонансной кривой. Зная статическое смещение В0 (указано на установке) и Вmах (из графика), рассчитывают логарифмический декремент по формуле (10).

  2. Определение логарифмического декремента по ширине резонансной кривой. Из графика находят значения периодов T1 и Т2 (рис. 5), для которых выполняется условие , и по формуле (13) рассчитывают логарифмический декремент, приняв Т0  Трез.


5. Контрольные вопросы


  1. При каких условиях возникают собственные незатухающие и затухающие механические колебания? Выведите дифференциальное уравнение для этих колебаний и для вынужденных колебаний.

  2. От чего зависят период (частота) собственных (затухающих и незатухающих) и вынужденных колебаний пружинного маятника?

  3. От каких параметров системы зависит амплитуда вынужденных колебаний? Чему равна их частота?

  4. Что такое резонансная кривая?

  5. Какими тремя способами определяется  в данной работе?



ЛИТЕРАТУРА


1. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Т. 1.—M.: Высш. школа, 1973, § 8.5—8.6.

Похожие:

Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconВывод формулы периода пружинного маятника
Урок третий в теме и продолжает исследования механических колебаний на примере тела на пружине. Проводится в форме практической исследовательской...
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconЛабораторная работа №20 изучение осциллографа и проверка градуировки звукового генератора по частоте
Цель работы: изучение закономерностей сложения взаимно перпендикулярных колебаний. Работа состоит из двух частей. В первой части...
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconЛабораторная работа № : «Исследование методов сложения колебаний»
Различают сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой и взаимно перпендикулярных колебаний
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconЛабораторная работа №16 Определение момента инерции тела (физического маятника) при помощи математического маятника с изменяющейся длиной
Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг оси, не проходящей через центр масс
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconС помощью оборотного маятника
Цель: ознакомиться с закономерностями колебаний физического маятника, определить ускорение свободного падения
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconЛабораторная работа №2 Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. Моделью такого маятника может...
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconФ-8 Колебания и волны
Определите период и частоту колебаний математического маятника длиной 40 см. Сколько колебаний сделает такой маятник за 0,5 мин?
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconЛабораторная работа №3. Знакомство с прерываниями. Лабораторная работа №4. Программная обработка клавиатуры
Лабораторная работа №1. Знакомство с общим устройством и функционированием ЭВМ. Изучение структуры процессора, организации памяти,...
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconАмплитуда затухающих колебаний уменьшилась в е3 раз за 100 колебаний. Логарифмический декремент затухании равен: Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за 10 минут уменьшилась в два раза
Амплитуда гармонического колебания А=5см, период Т=4с. Найти максимальное ускорение колеблющейся точки: (0,123)
Лабораторная работа №25 изучение колебаний пружинного маятника iconЛабораторная работа №7 Исследование электрических колебаний с помощью электронного осциллографа
Цель работы: ознакомление с устройством и работой элек­тронного осциллографа, изучение методов измерения параметров электрических...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org