Преобразование тригонометрических выражений



Скачать 120.41 Kb.
страница1/3
Дата28.06.2013
Размер120.41 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Преобразование тригонометрических выражений

Тригонометрия по результатам, которые демонстрируют выпускники, еще не нашла своего прочного места в курсе алгебры и геометрии ни в основной, ни в старшей школе. В 8 классе в курсе геометрии учащиеся знакомятся с тригонометрическими функциями острых углов. В 9 классе в курсе геометрии продолжается использование тригонометрических функций при решении задач, в курсе алгебры изучается раздел «Тригонометрия». В 10 классе изучаются тригонометрические функции, строятся графики, решаются уравнения. В 11 классе также присутствует тригонометрический материал. На выходе – применение основного тригонометрического тождества вызывает затруднение, формулу косинуса удвоенного аргумента воспроизводят менее половины выпускников, формулу корней простейшего тригонометрического уравнения правильно записывают чуть более половины одиннадцатиклассников.

В 8 классе, учащиеся хорошо формулируют:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

В восьмом классе ученики осознанно решают, например, такую задачу.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, один из катетов равен 4. Найти косинус угла, образованный другим катетом и гипотенузой.

Решение. По теореме Пифагора найдем другой катет – он равен 3, тогда косинус угла равен отношению 3 к 5, т.е. 0,6.

Большое количество формул, непривычное (искусственное) для восприятия обозначения функций sinα, cosα, tgα, сtgα часто вызывают растерянность и страх.

В задаче «Найти cosα, если sinα = и » ни девятиклассники, изучившие основные формулы, ни одиннадцатиклассники не узнают (предыдущую) задачу 8 класса. В лучшем случае, находят значение косинуса угла, используя основное тригонометрическое тождество и расположение угла в тригонометрическом круге.

Если рассмотренную задачу сформулировать так: «Найти cosα, если tgα = и », решаемость упадет раза в три-четыре.


Ученики меньше теряются, если наряду со списком тригонометрических формул сформулировать такое правило:

Шаг 1. Абсолютную величину (модуль) можно найти из прямоугольного треугольника.

Шаг 2. Знак находим из расположения угла в тригонометрическом круге.

Задача. Найти cosα, если tgα = и .

Так как tgα = , то рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 (прилежит к углу α) и 4 (противолежит углу α), тогда гипотенуза равна 5. |cosα| = . Учитывая, что значение тангенса положительно, то α – угол III четверти, следовательно, .cosα = – .

Есть еще одна проблема, связанная с тригонометрией, которую нужно учитывать: систематический курс тригонометрии в 9 классе не изучается в полном объеме, так как тригонометрических заданий нет в экзаменационном материале, а в 10 классе, когда должно идти повторение, на полное изучение уже нет времени.

Умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений обязательно проверяет одно задание из ЕГЭ с кратким ответом. В 2008 году это было задание В3.

Найдите значение выражение , если , . Процент решаемости такого задания от 29,9% до 35,3%.

При организации повторения (изучения) тригонометрии очень важно не испугаться обилия формул. Формулы ни в коем случае нельзя «запоминать» большим списком, нужно формулы повторять буквально по одной. Иногда следует обращаться к списку формул, данному в учебнике или в любом справочнике. А еще лучше свой список формул постепенно формировать самому. Начало списков формул.
Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

; ; .

Формулы кратных аргументов.

;

; ; ;

.

Примеры с решениями.
1. Упростите выражение .

Решение: , так как .

Ответ: 4.

2. Дано и . Найдите .

Решение: Поскольку IV четверти, то <0.

Из основного тригонометрического тождества имеем , то есть , тогда .

Ответ: .

3. Вычислите: .

Решение: Воспользуемся формулой .

Имеем: .

Ответ: .

4. Вычислите: .

Решение: Воспользуемся формулой (нужно внести в список).

Имеем: .

Ответ: .

5. Упростите выражение: .

Решение. В числителе дроби заменяем: , а также .

Имеем: (в числителе оказался полный квадрат разности и ).

Ответ: 1.

6. Укажите наибольшее целое значение, которое может принимать выражение .

Решение. Так как может принимать любое значение, принадлежащее отрезку [–1; 1], то принимает любое значение отрезка [–0,4; 0,4], поэтому . Целое значение выражения одно –число 4.

Ответ: 4

7. Найдите наибольшее целое значение выражения

Решение: Так как , то , так как , то , а выражение p: . Целое число на этом отрезке одно – число 4.

Ответ: 4.

8. Укажите наибольшее значение выражения .

Решение: дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель – наименьшее. Так как , то ; то есть наименьшее значение знаменателя – число 2 (достигается при ). Наибольшее значение .

Ответ: 3.

9. Упростите выражение .

Решение: Воспользуемся формулой разложения на множители суммы кубов: . Имеем

.

Имеем: .

Ответ: 1.

10. Упростите: .

Решение. Воспользуемся формулой , тогда .

Исходное выражение равно .

Ответ: 2.

11. Дано: . Найти: .

Решение. Возьмем в квадрат обе части данного равенства. Имеем: . или , откуда (так как и .

Ответ: 0,91.

12. Дано: . Найти .

Решение: Воспользуемся формулой . Полезно эту формулу вывести, а потом внести в список формул.

.

Тогда .

Ответ: .

13. Найдите множество значений выражения .

Решение: Воспользуемся формулой дополнительного угла: :, где .

может принимать любые значения, поэтому и .

Ответ: .

14. Сколько целых значений может принимать выражение ?

Решение: Найдем множество значений выражения р (см. пример 13). Имеем .

, так как ( ), то целых значений р будет 21 (не забываем число 0).

Ответ: 21.

15. Вычислите .

Решение..

Ответ: .

Тренировочный тест № 4.1

Базовый уровень

1. Сравните с нулем выражение: .

1. Больше нуля.

2. Меньше нуля.

3. Равно нулю.
  1   2   3

Похожие:

Преобразование тригонометрических выражений icon«Преобразование тригонометрических выражений. Свойства тригонометрических функций»
Урок разработан и проведен Сагитовой Е. Ю. – учителем математики моу школы №10 г о. Тольятти
Преобразование тригонометрических выражений iconПреобразование тригонометрических выражений
Выполняя упрощение выражений использовали тригонометрические тождества и формулы сокращенного умножения
Преобразование тригонометрических выражений iconПостроение тригонометрических функций с помощью ms
Овладение умением применять тригонометрические функции числового аргумента, при преобразовании тригонометрических выражений
Преобразование тригонометрических выражений iconУрок по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме «Преобразование тригонометрических выражений»
Следовательно, чтобы добиться хороших успехов в учебе школьников, необходимо сделать обучение желанным процессом. Вспомним, что французский...
Преобразование тригонометрических выражений icon"Преобразование выражений, содержащих степени с дробными показателями"
Разработка урока по алгебре в 9классе на тему: “Преобразование выражений, содержащих степени с дробными показателями”
Преобразование тригонометрических выражений iconТест № Числовые выражения. Преобразование числовых выражений

Преобразование тригонометрических выражений iconФурье-преобразование непрерывных и дискретных сигналов. Преобразование Лапласа и z-преобразование. Дискретное преобразование Фурье (дпф) и быстрое преобразование Фурье (бпф)
Преобразование Лапласа и z-преобразование. Дискретное преобразование Фурье (дпф) и быстрое преобразование Фурье (бпф). Программная...
Преобразование тригонометрических выражений iconПреобразование логических выражений
«НЕ», затем – «или», потом – «импликация», и самая последняя – «эквиваленция»
Преобразование тригонометрических выражений iconПреобразование выражений, содержащих квадратные корни
Для нахождения значения выражения, воспользуемся теоремой о корне из произведения: 
Преобразование тригонометрических выражений iconЛогика. Преобразование логических выражений Что нужно знать
«НЕ» для сложного выражения в скобках, которую раскрываем по формуле де Моргана
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org