Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления»



Скачать 146.46 Kb.
Дата30.06.2013
Размер146.46 Kb.
ТипТворческая работа




Нармонская общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов Лаишевского муниципального района Республики Татарстан
Творческая работа по математике и информатике
«Системы счисления»


Выполнила:

Антонова Марина

ученица 8-а класса

Руководитель:

Ожмекова Юлия Геннадьевна,

учитель математики, информатики

Нармонка - 2008
Содержание:

  1. Введение ………………………………………………………………… 3

  2. I. Система счисления……………………………………………………. 4

  3. II. Позиционные и непозиционные системы счисления ...................... 6

  4. III. Правила перевода целых чисел из одной системы счисления в другую …………………………………………………………………… 9

  5. Заключение ……………………………………………………………... 12

  6. Список использованной литературы………………………………….. 13



Введение.

Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. С числами связано еще одно важное понятие – система счисления.


СТРАННАЯ ДЕВОЧКА

Ей было тысяча сто лет.
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила -
Всё это правда, а не бред.
Когда пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять тёмно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…

Но станет всё совсем обычным,
Когда поймёте наш рассказ.

(А. Стариков)
Нас очень заинтересовало это стихотворение, и мы решили разобраться в нем, изучив системы счисления.


  1. Системы счисления.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения чисел.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита, различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. При изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).
Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Существовали системы счисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.




  1. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

  1. Позиционная система счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа.

В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Поэтому ее называют десятичной. Из двух написанных рядом цифр (55) левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной (поместной). Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы, как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

2. Непозиционная система счисления.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в коде числа.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Пример 1.

До наших дней сохранилась римская система счисления. В римской системе счисления цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Примеры чисел в римской системе счисления были рассмотрены выше.

Пример 2.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборники податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

Например, 1232 руб. 24 коп. изображается так:

Употребляемые на бумаге знаки означают:

Звезда – тысяча рублей,

Колесо – сто рублей,

Квадрат – десять рублей,

Х – один рубль,

I I I I I I I I I I – десять копеек,

I – копейка.

Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:

  1. Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры. Например, пользуясь только цифрами I, V, X, число “тысяча” записать неудобно. И всегда есть числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными цифрами.

  2. Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.

  3. Сложно выполнять арифметические операции.

Различие между позиционной и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.


  1. Правила перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую. Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.

1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в недесятичную. Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. При переводе чисел используется операция деления в столбик. Если взять число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.




Результат - 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.

Этот способ применим при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при переводе числа 567 в систему счисления с основанием 16 состоит в последовательном делении в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается , когда частное становится строго меньше 16



Так же этот способ применим и для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную.

Перевести 18110"8" с.с.



2. Перевод целых чисел в десятичную систему счисления. Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Примеры.

а) Перевести 101011011012"10" с.с.

10101101.1012 = 1211+ 0210+ 129+ 028+ 127+ 126+ 025+ 124+ 023+122+ 021+120 =  277310

б) Перевести 703048"10" с.с.

703048 = 784+ 083+ 382+ 081+ 480 = 2886810

в) Перевести B213416"10" с.с.

Для того, чтобы перевести значение из шестнадцатеричной системы в десятичную, нужно заменить буквы на числа, пользуясь таблицей.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

B213416 =  11164+ 2163+ 1162+ 3161+4160=72939610

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб. 2), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Таблица 1. ДВОИЧНО-ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА

2-ная

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

16-ная

0

1

2

3

4

5

6

7

2-ная

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

16-ная

8

9

A

B

C

D

E

F




Таблица 2. ДВОИЧНО-ВОСЬМЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА

2-ная

000

001

010

011

100

101

110

111

8-ная

0

1

2

3

4

5

6

7

Пример.

а) Перевести 30548"2" с.с.



б) Перевести 7B2E16"2" с.с.



Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример.

а) Перевести 110111100111012"8" с.с.



б) Перевести 11111111011.1001112"16" с.с.



Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример. Перевести 175248"16" с.с.



Результат: 175248 = 1F5416.



  Заключение.


ОБЫЧНАЯ ДЕВОЧКА

Ей было двенадцать лет.
Она в пятый класс ходила,
В портфеле по четыре книги носила -
Всё это правда, а не бред.
Когда пыля двумя ногами,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато четырехногий.
Она ловила каждый звук
Своими двумя ушами,
И двое загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И двое тёмно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…

И стало всё совсем обычным,
Когда вы поняли рассказ.

Список использованной литературы:

  1. http://www. Krugosvet. ru.

  2. Ваулина Е.Ю. Информатика Толковый словарь. – М.: Изд-во Эксмо, 2005.

Похожие:

Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconФайловая оболочка far. Работа с файлами и каталогами
Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Смешанные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconСамостоятельная работа по сс№1 Вариант №1 С/Р 8 кл Что такое Система Счисления? Что называется алфавитом системы счисления. Какие системы счисления существуют?
Какая система счисления называется позиционной? Сформулируйте правило этой системы счисления
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconУрок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления
Ввести понятия: система счисления, позиционные непозиционные системы счисления, алфавит, основание, базис системы счисления. Указать...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconКонкурс по математике и информатике для учеников 6-8 классов, проводимый Московским городским Дворцом творчества детей и юношества. Победители 2000 года, задачи 2001 года
Олимпиады по математике и информатике(2002-2003 учебный год)Олимпиады по математике и информатике(2001-2002 учебный год)Олимпиады...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconКонспект урока перевод чисел из одной системы счисления в другую. Фио (полностью) Горбунова Татьяна Ивановна
Цель урока: Обобщить и систематизировать понятия по теме: «Системы счисления». Сформировать способность учащихся переводить числа...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconСистемы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления
Цель: познакомить с историей возникновения и развития систем счисления, указать на основные недостатки и преимущества непозиционных...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconСистемы счисления
Цель: Познакомить учащихся с понятием систем счисления, развитием систем счисления от буквенных до позиционных, дать понятие основания...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconЛекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука»
Ф76 Системы счисления. — 5-е изд. — М.: Наука, Гл ред физ мат лит., 1987. — 48 с.—(Попул лекции по мат.)
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconУрок в 10 классе Тема урока: Системы счисления
Цель урока: закрепление, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Системы счисления» правил перевода чисел в различные...
Творческая работа по математике и информатике «Системы счисления» iconКодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org