Стандартные обозначения



Скачать 226.5 Kb.
Дата30.06.2013
Размер226.5 Kb.
ТипДокументы
1.Стандартные обозначения.

1)любе из след. подмножеств прямой R называется интервалом(или промежутком)

(a,b), [a,b], [a,b), (a,b], (a,+∞),[a,+∞),(-∞,b),(-∞,b],(-∞,∞).Коротко обозн.I.Например,I=[a,b].

2) Ck(J)- совокупность всех непрерывных функц.на I, имеющих непнрерывные производные вплоть до к. 3) ΩсR2(х,у),Ω- область,т.е. открытое связ.множество,∂Ω- граница Ω,Ω(с чертой на верху) =Ω U ∂Ω-замыкание Ω 4)Ск(Ω)- совокупность всех непр.функций в обл.Ω, имеющих непрерывн.частные производные вплоть до порядка к. 5) константы: С,С1,…..Сn. М,М1…Мn. A,В,D….

ОДУ- уравнения,содерж.неизв.функцию одной переменной и обыкновенную произв.от нее . Пример:(i) H(x,y,y…..уn)=0 у=у(х)=? – ОДУ порядка n. (ii) уn = G(x,y, y’ ….уn-1), y=y(x)-?

ОДУ порядка n в норм.форме (iii)y’= F(x,y), y=y(x)-?- ОДУ перв.порядка в нормальной форме. Решением ОДУ наз-ся функция соответств.гладкости, обращающая данное уравнение в верное тождество.Например,для уравн.(i) естественно считать, что у принадл.Сn (I).

Терминология. Общий интеграл=общее решение- совокупность всех решений данного ОДУ. Проинтегр-ть обыкновенное дифф. уравнение = решить ОДУ- найти общее решение .Решить в квадратурах- записать общ. реш. данного ОДУ, используя интегралы от функ. ,входящих в данное уравнение. Примеры ОДУ:

y=f(x), y=y(x)=? f(x)-задана

у=∫f(x)dx =F(x)+C, где F’(х)=f(x),т.е F(x) некотор.первообразная. F(x)=xx0 f(t)dt-интеграл с переменным верхним пределом,F=f(x).Итак,у’.=f(x),след-но, y= C+xx0 f(t)dt. При этом у(х0 )=С(Условие Коши)

у’=ау, у=у(х)-? а принадл.R, а фикс.число,параметр.

Решение: у’=ау~ у’-ау=0 ~ е-аху’~ -ау-аху=0~d/ dx(e-ax y)=0~e-ax y=C(следств.из Лагранжа)~у=Сеах .Общ.реш.у=Сеах ,¥ С.Частные случи:у’=у,у=Сех ,у’=10у,у=Се10х ,у’

=-ку,у=Се-ку
2.Общее решение ур-я n-го порядка зависит от n констант(C1,C2,..,Cn-реш-й бесконечно много).Для того,чтобы выделить единств. Решение к ур-ю добавляют доп. условие.Типичными являются условия Коши. Совокупность ур-я и доп. условий образуют задачу.Задача Коши для ур-я 1-го порядка:y’=F(x,y),y(x0)=y0 (y0-заданое число). Задача Коши для ур-я n-го порядка: y(n) =H(x,y,y,..,y(n-1)),y(x0)=y0,y’(x0)=y1,y’’(x0)=y2,..,y(n-1)(x0)=yn-1 (y0,y1,y2,..
,yn-1-заданые числа) Условия Коши задаются в одной точке.Задача Коши для ур-я радиоактивного распада: З-н радилактив распада:Скорость распада радиоактив. вещ-ва пропорциональна кол-ву данного вещ-ва. t>=0(время),y(t)-масса данного радиоактив. вещ-ва,y’(t)=-ky(t)-закон распада,k-коэф-т пропорциональности эквивалентен коэфиценту радиоактив. распада(чем больше k,тем быстрее распад) Задача Коши:y’(t)=-ky(t),(t>=0),y(0)=M,M-масса в начал. момент. Решение:Общее решение Ур-я y(t)=Ce-kt,любая C. y(0)=C*1=C=M-условие Коши =>C=M y(t)=Me-kt с заданной M. Что такое период полураспада? y(t*)=M/2,t*-? Me-kt*=M/2~ekt*=2~kt*=ln2~t*=ln2/k-период полураспада для данного вещ-ва. Не зависит от начальной массы!

3. Рассматриваем ур-е вида: y’=f(x)*g(y),y=y(x)-?(*) Характерный признак-правая часть есть произведение(иногда частное) двух функций f(x) и g(y) => (*) называется ур-ем с разделяющимися переменными. Предположение:f (принадлежит ) C(I),g(принадлежит)C(I1). Ур-е с разделяющимися пер-ми всегда интегрируется в квадратурах. Схема решения(2 этапа):1)Основной этап: Делаем след преобразования:y’=f(x)g(y)~dy/dx=f(x)g(y)~dy/g(y)=f(x)dx~∫dy/g(y)=∫f(x)dx~G(y)+C1=F(x)+C2,где G,F-первообразные(G’(y)=1/g(y),F’(x)=f(x)),C1,C1-произвольные константы,С=С2-С1-произв. Константа =>G(y)=F(x)+C-запись решения ОДУ в виде неявной функции. Выражая отсюда y,получаем y=G-1(F(x)+C),где G-1-обратная функция.2)Дополнительный этап: Рассматриваем g(y)=0.Находим нули функции g.Пусть y0-такой нуль(те y0€I1,G(y0)=0)=>y=y0-решение (*). Прверка: Подставим в (*) dy/dx=0-производная константы,f(x)g(y)=f(x)g(y0)=0 ¥ x Здесь 0=0 при ¥ x =>это решение. Из 1),2) получаем общее решение для ур-я (*) G(y)=F(x)+C, ¥ C,y=yk,k=0,1,..(**) Здесь G(y),F(x)-первообразные: G’(y)=1/g(y),F’(x)=f(x),C-произвольная допустимая константа,y0,y1,y2,..-нули функции g(y)(если они есть). Пример:y’=ay,y=y(x)-? Решение:1)Dy/dx=ay~dy/y=adx~∫dy/y=∫adx~ln│y│=ax+C1,C1-произв. константа~│y│=eax+C1=C2eax,где С2=eC1>0=>y=+-C2eax=>y=Ceax, ¥C≠0 2)f(x)g(y)=ay=>g(y)=y=0=>y0=0-единственное решение=>y=0-решение исходного ур-я-Включается в предыдущую формулу при C=0. Общий ответ: y=Ceax, ¥ C

4. Покажем почему этот способ правильно работает. Решение y=yk из этапа 2) полностью обосновано. Обоснуем этап 1). Покажем,что если y=φ(x)-решение ур-я (*)(там, где │g(y)│>0),то ф-ция y=φ(x) будет удовлетворять ур-ю G(y)F(x)+C с нек. C. Док-во: По условию φ’(x)=f(x)g(φ(x)),где ¥ x => φ’(x)/g(φ(x))=f(x), ¥ x =>∫φ’(x)dx/g(φ(x)) =∫f(x)dx()неопределённые интегралы также должны совпадать).Вычислим эти неопред. интегралы. ∫φ’(x)dx/g(φ(x))=∫d φ(x)/g(φ(x))={y= φ(x)}=∫dy/g(y)=G(y)+C(где G’(y)=1/g(y))=G(φ(x))+C1. ∫f(x)dx=F(x)+C2,где F’(x)=f(x) =>G(φ(x))+C1=F(x)+C2 Неопределённые интегралы совпадают => первообразные отличаются лишь константой =>G(φ(x))=F(x)+C при нек. выборе C. Получили,что решение исходного ОДУ удовлетворяет неявному ур-ю G(y)=F(x)+C при нек выборе C. Замечание: Если g(y)=0 при нек y(y=yk,k=0,1,2,..),то в нек специальных случаях могут возникать особые решения «склеиные» частично из решений ур-я G(y)=F(x)+C,а частично их решений y=yk.Но такие случаи редки и исследуются индивидуально.

5. Рассм. ур-е: y’=a(x)y+b(x),y=y(x)-?(*) Правая часть=a(x)+b(x)-лин. функц. y. =>(*)-называется лин. ур-ем. Ф-ции a(x) и b(x)-заданы,a,b €C(I),y=y(x)-неизв.,x€I. Ур-е (*) всегда интегрируется в квадратурах,те его общее решение выписывается через интеграл от заданных функций a(x) и b(x).Интегрирование происходить в 2 этапа. Терминология:y’=a(x)y-лин. однород ур-е(ЛО);y’=a(x)y+b(x)-лин. неоднород ур-е(ЛНО).Краткая схема решения (*):1)Рассм. ЛО ур-е y’=a(x)y.Решаем методом разделения переменных.Получаем общее решение ЛО с константой C.2)Считаем,что C=C(x) в общем решении ЛО.Подставляем в ЛНО.Находим C(x).Выписываем общее решение ЛНО(*). 1)+2)-метод вариации постоянной(Бернули,Лейбниц) Напоминание:∫f(x)dx=C+x0xf(t)dt.Здесь F(x)= x0xf(t)dt-первообразная,F’(x)=f(x) и F(x0)=0.Подробная схема решения:1)Рассм. ЛО:y’=a(x)y~dy/dx=a(x)y~∫dy/y=∫a(x)dx~ln│y│=A(x)+C1,где A(x)= x0xa(S)dS,A’(x)=a(x).│y│=ea(x)+C1=C2eA(x) =>y=CeA(x) содержит все решения ЛО. Общее решение ЛО:y=CeA(x) ,где C-¥ конст.;A(x)= x0xa(S)dS 2)Полагаем, что С=С(x) =>y=C(x)eA(x). C’(x)eA(x)+C(x)eA(x)a(x)=a(x)C(x)eA(x)+b(x) ((eA(x))’=eA(x)(A(x))’=eA(x)a(x))=>C’(x)eA(x)=b(x)=>C’(x)=b(x)e-A(x)=>C(x)=M+x0xb(τ)e-A(τ)dτ-найдено! Подставляем в y=C(x)eA(x): y=(M+x0xb(τ)e-A(τ)dτ)eA(τ)=MeA(x)x0xb(τ)eA(x)-A(τ)dτ. Здесь A(x)-A(τ)= x0xa(S)dS- x0τa(S)dS= τxa(S)dS. Окончательный ответ: y=Me x0∫xa(S)dS+ x0xb(τ)e τ∫xa(S)dSdτ, y=y(x) (**) (**)-решение в квадратурах. Замечание:На практике все интегралы вычисляются непосредственно, и общее решение выписывается в общем виде. Доп. замечания к формуле:1)x0 в формуле (**)-фикс. точка(начало отсчёта) y(x0)=M-условие Коши 2)Структура общего решения(формулы (**)):{Общее решение ЛНО}={Общее решение ЛО}+{Общее решение ЛНО} 3)При доп. предположениях формулу (**) можно упрощать. Например: y’ay+b(x),a-const.Положим x0=0 =>y=Meax+ 0xb(τ)ea(x-τ)dτ=Meax+ 0xea(x-τ)b(τ)dτ,последний член-свёртка

6. Напоминание:Рассм. ф-цию y=φ(x),x€I

Гφ={(x,y):x€I,y=φ(x)}={(x, φ(x)): x€I },l-касательная к Гφ в нек точке x0€I,k=tgα=φ’(x0)-угловой коэффициент касательной,f(x,y)-поле направлений. Рассмотрим ОДУ 1-го порядка в нормальной форме: y’=f(x,y),y=y(x)-?(*) Здесь f€C(Ω), Ω-область на плоскости R2(x,y)

Пусть y=φ(x)-решение ур-я (*),причём φ(x0)=y0,(x0,y0)-фикс. точка в Ω.(y= φ(x)-решение(*) <=> φ’(x)=f(x, φ(x)),для ¥ допустимого х).Рассмотрим касательную к Гφ в т. (х00):k=φ’(x0)-угл. коэф. касательной .Но φ’(x0)=f(x0,φ(x0))=f(x0,y0) =>f(x0,y0) совпадает с угл. коэф. касательной к графику y=φ(x)в т. х0 Вывод: Значение f(x,y) в нек. точке (х,у)€Ω совпадает с угл. коэф. касательной к графику решения ОДУ(х),проходящего через указанную точку. Поле напрвлений для ОДУ: В любой точке (х,у) области Ω построим малый отрезок прямой с угл. коэф k=f(x,y).Получим поле направлений для (*)

Интегральная кривая данного поля-гладкая кривая в области Ω,у которой касательная в ¥ т. на кривой совпадает с полем направлений в той же точке. Вывод:Ф-ция y=φ(x) является решением для ОДУ(*)её график Гφ явл. интегральной кривой для поля направлений,определённого правой частью f(x,y). Пример с задачей Коши:y’=f(x,y),y=y(x)-?,y(x0)=y0.Здесь х00-заданные числа. Аналитическая точка зрения: Требуется найти ф-цию φ:I→Ω так,что: а)x0€I б)φ’(x)=f(x,φ(x)) для ¥ x€I,те φ(x)-решение ОДУ в)φ(х0)=у0 Геометрич. точка зрения: Требуется найти интеграл. кривую поля направлений,определённого правой частью f(x,y),проходящего через задануб точку (x0,y0)

Пример на нахождение поля направлений: Рассмотрим ОДУ:y’=-x/y(при y>0 или y<0). Рассм. луч y=kx(выбирается нужная часть прямой)

k=tgθ(см. рисунок). На таком луче f(x,y)=

-x/y│y=kx=-x/kx=-1/k=-1/tgθ=-ctgθ=tg(π/2+θ)

Но f(x,y)=tgα-угл. коэф. для поля направлений =>tgα=tg(π/2+θ) =>поле направлений должно быть перпенд-о данному лучу. =>Инт. кривые-это дуги окружностей в верхней или нижней полуплоскостях. Проверка:y’=-x/y~dy/dx=-x/y~ydy=-xdx~y2=-x2+C =>x2+y2=C-ур-е окружностей. Снова получаем,что график решений-дуги окружностей в верхней или нижней полуплоскостях. Но разрывать окр-ть нерациональноЦелые интегральные кривые получаются при помощи ур-я в дифференциалах. y’=-x/y~ydy=-xdx~ydy+xdx=0-ур-е в диф-лах.
7. О понятии кривая: На плоскости (х,у) рассматриваем некоторую кривую γ. Будем считать её гладкой кривой,те кривой в каждой точке которой определён касательный вектор,непрерывно зависящий от точки.В анализе кривые создаются

3 различ. способами: 1)как графики ф-ции y=f(x) 2)как графики ур-йF(x,y)=C(неявная ф-ция) 3)параметрический x=x(f),y=y(f),t€I.Пример: Кривая-окр-ть радиуса R 1)y=(R2-x2)1/2 и y=-(R2-x2)1/2-две полуокружности;2)x2+y2=R2;3)x=Rcost,y=Rsint,o≤t≤2π. В разных способах используются разные приёмы для работы с касат. элементами:1)f’(x0)-угл. коэф. касательной к графику Гf в точке (x0,f(x0)) 2)F(x,y)=C => gradF=(∂F/∂x; ∂F/∂y) -номаль к графику F(x,y)=C в рассматриваемой точке(нормаль-вектор,перпенд-ый касательной) 3)x=x(t),y=y(t) => V(t)=(x’(t),y’(t))-касательный вектор(вектор скорости) к данной кривой γ. Объяснение к 3): x(t),y(t)-параметрическая запись для γ(t€I);r(t)=(x(t),y(t))радиус-вектор точки на γ;r(t+∆t)- r(t)-вектор смещения за время ∆t(направлен по секущей к γ); (r(t+∆t)- r(t))/ ∆t-скорость смещения. При ∆t→0 секущая стремится к касательной. => V(t)=limt→0(r(t+∆t)- r(t))/ ∆t-вектор мгновенной скорости, направлен по касательной к кривой γ. Но вектор дифф-ся покоординатно => V(t)=(x’(t),y’(t)). Объяснение к 2)Рассмотрим кривую F(x,y)=C.Запишем её в параметрическом виде:

x=x(t),y=y(t),t€I =>F(x(t),y(t)) ≡C,¥t€I => d(F(x(t),y(t))/dt=0, ¥t. По теореме о производной сложной ф-ции d(F(x(t),y(t))/dt=∂F/∂x(x(t),y(t))x’(t)+ ∂F/∂y(x(t),y(t))y’(t)=(gradF,V(t))=0, ¥t(скалярное произведение,взятое в т. (x(t),y(t))) => gradF┴V(t),где V(t)-касательная к γ => gradF=(∂F/∂x,∂F/∂y)-нормаль к γ

8. Ур-е вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (*) называется ур-ем в дифференциалах.Здесь P,Q€C(Ω),где Ω-область на плоскости (x,y).Замечание:Ур-я в дифф-лах встречаются в формальных выкладках при решении ОДУ. Придадим соотношению (*) содержательный смысл.Рассмотрим кривую γ в области Ω. γ:x=x(t),y=y(t),t€I(кривая задана параметрически)

V(t)=(x’(t),y’(t))-касательный вектор к γ. │V(t)│=((x’(t))2+(y’(t))2)1/2≠0 для ¥t€I,те γ-гладкая кривая. Основное положение: Кривая γ называется интегральной кривой для ур-я (*),если P(x(t),y(t))x’(t)+Q(x(t),y(t))y’(t)=0,для ¥t€I (**)

В формуле (**) стоит скалярное произведение вектора V(t)=(x’(t),y’(t)) и вектора n=(P,Q),взятое в каждой точке (x(t),y(t)) на кривой γ. (**)  (n, V(t))=0  n┴V(t) в каждой точке (x(t),y(t)) на γ. Вывод: Вектор n=(P(x,y),Q(x,y)) есть вектор нормали к интегральной кривой γ.

Вместо поля направлений ,как у ОДУ,в ур-ии (*) имеем поле нормалей. Формальный переход(для запоминания): (**)~P(x,y)dx/dt+Q(x,y)dy/dt=0~P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0~(*) Те (dx,dy) выражает бесконечно малые касательные элементы вдоль кривой γ. Покажем,что введённое определение полностью согласуется с формальными переходами от ОДУ к Ур-ям в дифф-лах и наоборот, выполняемых на семинарах. Теорема1:Пусть y=φ(x) есть решение ОДУ y’=f(x,y).Тогда Гφ является интегральной кривой ур-я в дифф-лах. f(x,y)dx-dy=0 Док-во: По условию φ’(x)=f(x,φ(x)) для ¥x€I. Запараметризуем Гφ след. образом:x=t,y=φ(t) для ¥t€I => V(t)=(x’(t),y’(t))=(1,φ’(t)),¥t. Подставим в ур-е f(x,y)dx-dy=0:f(t,φ(t))*1-1*φ’(t)=f(t,φ(t))-φ’(t)≡0, ¥t€I(по определению решения ОДУ). Условие интегральной кривой проверено.
9. Теорема 2(обратный переход):Пусть γ-интегральная кривая ур-я P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,причём │Q(x,y)│>0 всюду в Ω.Тогда γ=Гφ для ф-ции y=φ(x),которая является решением ур-я y’=-P(x,y)/Q(x,y).Док-во:γ:x=x(t),y=y(t),¥t€I.По условию P(x(t),y(t))x’(t)+Q(x(t),y(t))y’(t)=0,¥t€I(см. (**)) =>y’(t)=-P(x(t),y(t))/Q(x(t),y(t))*x’(t), ¥t€I. Здесь x’(t)≠0 для ¥t(если x’(t0)=0,то y’(t0)=0 и => V(t0)=(x’(t0),y’(t0)=0-противоречие) =>y’(t)/x’(t)=-P(x(t),y(t))/Q(x(t),y(t)) ¥t.

Но y’(t)/x’(t)=tgα(см. рисунок) => tgα=-P(x(t),y(t))/Q(x(t),y(t)) всюду вдоль кривой.

Получаем,что всюду вдоль кривой её угл. коэф. совпадает с числом –P(x,y)/Q(x,y),взятым в соответствующей точке. => Кривая γ касается поля направлений определённого ОДУ y’=-P(x,y)/Q(x,y) =>Это график некоторого решения y=φ(x) для данного ОДУ. Теорема 3:Пусть γ-интеграл кривая ур-я P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,причём │P(x,y)│>0 всюду в Ω.Тогда γ=Гψ для нек. решения x=ψ(y).ОДУ x’y=-Q(x,y)/P(x,y). Док-во очевидно. Вывод:Стандартные переходы от ОДУ к ур-ям в дифф-лах и обратно законны:они сохраняют кривые,т.е. графики решений на плоскости(при условии,что мы не делим на ф-ции,обращающиеся в 0).При этом нет принципиал. разницы между записью решений в виде y=y(x) или x=x(y). Специальный случай:Теорема 4:Рассматриваем ур-е (*):P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 1)Пусть P(x,y0)≡0 при некотором у0 для ¥ значений х.Тогда у=у0-интеграл. кривая для (*) 2)Пусть Q(x0,y)≡0 при нек. х0 для ¥ у.Тогда х=х0-интеграл. кривая для (*). Док-во:1)Параметризуем кривую у=у0 в виде:x=t,y=y0,¥t€I =>V→(t)=(x’(t),y’(t))=(1,0),¥t. Подставим в (*):P(t,y0)*1+Q(t,y0)*0=0*1+0=0-верно для ¥t =>(**) выполнено.


10. Рассматриваем ур-е в дифф-лах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (*),где ф-ции P,Q€CΩ. Определение:Ур-е (*) называется Ур-ем в полных дифф-лах,если существует U=U(x,y) из класса C1(Ω):∂U/∂x=P,∂U/∂y=Q всюду в Ω (**) Ф-ция U=U(x,y) называется потенциалом ур-я (*).При этом gradU(x,y)=(∂U/∂x,∂U/∂y)=(**)(P,Q). Формальное пояснение: dU=∂U/∂x*dx+∂U/∂y*dy=Pdx+Qdy,т.е. в левой части ур-я (*) стоит полный дифференциал от ф-ции U(x,y).Решение ур-я в полных диф-лах ищется так:U(x,y)=C.

Точка с координатами (х0,у0) называется особой для (*),если P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0 ((x0,y0€Ω)).Вне особых точек потенциал полностью решает задачу интегрирования ур-я (*). Теорема: Пусть Ур-е (*)-ур-е в полных диф-лах и U(x,y)-его потенциал, причём (P(x,y))2+(Q(x,y))2>0 всюду на Ω.Тогда кривая γ,заданная ур-ем U(x,y)=C является интеграл. кривой для (*). Замечание:Ур-е U(x,y)=C может определять несколько несвязных кривых. Все они будут интегральными для ур-я (*) Док-во: Рассмотрим точку (х,у)€γ,т.е. на решении ур-я U(x,y)=C.В этой точке gradU(x,y)=(∂U/∂x(x,y),∂U/∂y(x,y))=в полных диф-лах=(P(x,y),Q(x,y)). Коротко,gradU(x,y)=(P,Q)≠0(по условию). Но gradU(x,y) в ¥ точке (х,у) ┴-ен кривой U(x,y)=C =>n=(P,Q)┴γ в ¥ точке на кривой.(В точках с ненулевым grad кривая обязательно имеет касательную) =>γ-интеграл. кривая для (*).□ В особых точках интеграл. кривые ур-я (*) могут вырождаться. Пример: xdx+ydy=0-ур-е в полных диф-лах,U(x,y)=(x2+y2)/2-потенциал(∂U/∂x=x,∂U/∂y=y-верно).Линии уровня (x2+y2)/2=C~C>0x2+y2=R2-окружности,интегральные кривые данного ур-я. Особые точки ур-я:

P(x,y)=0, x=0,

{ { =>P0=P0(0,0)=0-единств. особая точка

Q(x,y)=0 y=0

Через особую точку не проходит никакой интеграл. кривой(см. рис.).Особая точка типа центр. Вне особых точек решение ур-я (*) находится с помощью потенциала, как его линии уровня.
11. Предположение (1):Область Ω имеет вид IxI1={(x,y):x€I,y€I1}-область прямоугольного типа(Здесь I,I1-обобщённые интервалы).Кроме того, пусть P,Q€C1(Ω). Замечание: Если (*)-ур-е в дифф-лах и P,Q€C1(Ω),то потенциал U(x,y)€C2(Ω),тк ∂U/∂x=P,∂U/∂y=Q и ∂U/∂x и ∂U/∂y€C1(Ω). Основная теорема: Пусть выполнено предположение (1).Тогда (*) является ур-ем в полных дифф-лах  ∂Q/∂x=∂U/∂y всюду в Ω (**). При этом потенциал восстанавливается по формуле: U(x,y)=x0xP(t,y0)dt+y0yQ(x,t)dt+C (***). Здесь (х00)-фикс. точка в Ω,С-произвольная константа, причём U(x0,y0)=C(Потенциал определён с точностью до прибавления постоянной) Док-во: (=>)Пусть ур-е (*) в полных диф-лах => существует потенциал U(x,y) класса С2(Ω),причём ∂Q/∂x=∂/∂x(∂U/∂y)=∂/∂y(∂U/∂x)=∂P/∂y всюду в Ω(по th о перестановке порядка дифференцирования) => (**) выполняется. (<=)Пусть выполнено (**).Покажем, что (*)-ур-е в полных дифф-лах. Определим ф-цию U(x,y) формулой (***). (NL-формула Ньютона-Лейбница) При таком интегрировании никогда не выйдем за пределы прямоугольной области(см. рис.). Вычислим част. производную: ∂U/∂x=P(x,y0)+y0y∂Q(x,t)/∂x*dt+0=(**)=P(x,y0)+y0y∂P(x,t)/∂t*dt=NL=P(x,y0)+P(x,t)y0y=P(x,y0)+P(x,y)-P(x,y0)=P(x,y). ∂U/∂y=0+Q(x,y)+0=Q(x,y) => ∂U/∂x=P,∂U/∂y=Q всюду в Ω,т.е. (*) есть ур-е в полных дифф-лах. При этом,U(x0,y0)=x0x0P(t,y0)dt+y0y0Q(x0,t)dt+C=0+0+C=C-условие выполнено □. Итак, если ∂Q/∂x=∂P/∂y,то (*)-ур-е в полных дифф-лах.

12. Ф-ции μ(x,y) называется интегрирующим множителем для ур-я (*),если μ(х,у)≠0 всюду в области Ω и ур-е μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dy=0 является Ур-ем в полных дифф-лах. При этом ∂(μQ)/∂x=∂(μP)/∂y

При домножении на μ вектрное поле с координатами (P,Q) переходит в коллинеарное векторное поле (μP,μQ).Интеграл. кривые не изменяются, но новое ур-е оказывается более хорошим-в полных дифф-лах. Теоретически интегрирующий множитель всегда существует, но его практическое нахождение может быть затруднено.

Пример: xdy-ydx+x2 y 3dy =0 ׀ xμ=1/x2

P =-y Py′=-1

Q=x + x2 +y3 Qx =1 + 2xy 3

μ(x) - ?

(μ(x)(y))y′=(μ(x)(x + x2 y 2 ))x

-μ = μ′(x + x2 y3) +μ(1 - 2xy2) ↔

-2μ(1 + xy3 ) = xμ′(1 + xy3)

dμ/dx = -2μ/x dμ/μ = -2dx/x ↔ μ(x) = C/x2 ( C=1),C – любое число
(Pв – P с волной над буквой)

Pв =-y/x2 ; Pв′= -1/x2 │ →ур – е в полн.диф.

Qв = x+x2y3/x2 =1/x + y3; Qв′ = - 1/x2 │ {Ux′= -y/x2

{Uy′= (1/x) +y3

U(x,y) = ∫(1/x + y3)dy =(y/x)+(y’’/4) + C(x)

Ux′(x,y) = - y/x + C′(x) = - y/x2
→C′(x) = 0

C(x) ≡C1; U(x,y) = y/x + y”/4 + C1

Общий интеграл y/x + y’’/4 = C; C € R

d(u/v) = vdu-udv/v2

xdy – ydx + x2y3dy = 0; (xdy – ydx)=x2d(y/x)

d(y/x) + d(y’’/4) = 0

Общий интеграл: [y/x + y’’/4 = C; μ(x) = 1/x2

x(y) = 0; x = 0

Похожие:

Стандартные обозначения iconОсновы геологии стандартные геологические обозначения и описание
Размеры в микронах пляжный песок 70 мк, размер, различаемый визуально 30 мк, различаемый на осязательном уровне 20 мк, кровяные клетки...
Стандартные обозначения iconСтандартные образцы для фармацевтических анализов
Матричные стандартные образцы для анализов продуктов питания, корм и продуктов сельского хозяйства
Стандартные обозначения icon1 Обозначения иностранных валют Характеристика валютных рынков
В мировой практике приняты следующие трехбуквенные латинские обозначения валют, наиболее часто используемых в международном и отечественном...
Стандартные обозначения iconО торговом обслуживании Клиента в Секции срочного рынка (стандартные контракты) Московской межбанковской валютной биржи
Федерации, (открытое акционерное общество), являющийся Общим Клиринговым Членом Секции срочного рынка (стандартные контракты) ммвб...
Стандартные обозначения iconОпросный лист для заказа блоков водораспределительных гребенок
Для обозначения блоков с различными характеристиками, приняты следующие обозначения
Стандартные обозначения iconПримечание автора
Для большего удобства я применяла термин «идеограмма» как для обозначения графических символов, которые являются истинными идеограммами,...
Стандартные обозначения iconОбозначения: R: кольцо C: дуга
Кольца пронумерованы. При описании соединения с другой частью в скобках после обозначения пико используется след обозначение: например,...
Стандартные обозначения iconОрганизация объединенных наций стандартные правила обеспечения равных возможностей для инвалидов
Стандартные правила обеспечения равных возможностей для инвалидов были приняты Генеральной Ассамблеей Организации Объединенных Наций...
Стандартные обозначения iconРуководство Freebsd по созданию портов The Freebsd documentation Project
Многие из обозначений, используемых производителями и продавцами для обозначения своих продуктов, заявляются как торговые марки....
Стандартные обозначения iconХимическая стойкость пвх шлангов Условные обозначения: + стойкий; ±
Условные обозначения: + стойкий; ± ограниченно стойкий; не рекомендуется
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org