Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители



Скачать 171.92 Kb.
Дата01.07.2013
Размер171.92 Kb.
ТипИсследовательская работа


Иркутская городская конференция учащихся 10-11 классов
В мир поиска, в мир творчества, в мир науки”
Функциональные уравнения.

Исследовательская работа.

Автор Пятидесятников А.В.

Россия г. Иркутск МОУ гимназия № 44, 11 класс.
Научные руководители

Свередюк Галина Никитична

учитель математики МОУ гимназии №44.

2006г.


глава

Содержание

Стр.



Содержание





Введение

2 2

1

Функциональные уравнения и группы.

3-6

1.1

Базовые задания по решению функциональных уравнений

7

1.2

Задания 2 и 3 уровня

8-12



Заключение

13




И Список используемой литературы

14


Введение.

Функциональные уравнения фактически не подлежат рассмотрению в программе школьного курса, но предлагаются на вступительных экзаменах в вузы и на олимпиадах, в математической литературе они естественно рассматриваются. Функциональные уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается.

Цель исследования: изучить данную тему и рассмотреть различные способы решения функциональных уравнений использующих понятие группы. Данная тема рассмотрена нами на конкретных примерах разного уровня сложности с помощью применения понятия группы и операции композиции.

Задачи исследования: 1) проанализировать математическую литературу по проблеме исследования. 2) Выделить базовые задания по решению функциональных уравнений.
3)Определить способы решения заданий 2 и 3 уровня сложности, сводящихся к базовым.

Методы: сравнительно-сопоставительный анализ научной и методической литературы, методы сравнения, обобщения, классификации при выделении приемов решения заданий, сводящихся к базовым заданиям.

Элементы новизны и практическая значимость: нами в ходе исследования выделены базовые задания по решению функциональных уравнений и определены способы решения заданий 2 и 3 уровня сложности, сводящихся к базовым.


1 Функциональные уравнения и группы.
С функциональными уравнениями, многие, наверное, знакомы, хотя, может быть, и не знают, что они так называются. Так, именно функциональные уравнения f(x)=f(-x), f(-x)=-f(x), f(x+a)=f(x) задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность.

Вообще же функциональное уравнение – это некоторое соотношение, из которого нужно найти неизвестную функцию.

Например, f(x+1)+f(x)=x,

2f(1-x)+1=xf(x),

xf(x)+f(4/2-x)=x.
Изучать функциональные уравнения математики начали более двухсот лет назад, когда к ним привели некоторые задачи механики. Большой вклад в изучение таких уравнений внес О.Коши (1789-1857).
Композиция функций.
Вы, конечно, заметили, что число исходных, основных функций, изучаемых в школьном курсе математики, сравнительно невелико. К ним, например, относятся линейная, степенная, показательная, тригонометрическая функции. Другие функции получаются из основных при помощи композиций и алгебраических действий.

Так, функция f(x)=sin(2x+1) является композицией линейной функции g(x)=2x+1 и тригонометрической функции h(x)=sinx, т.е. f(x)=h(g(x))=(h*g)(x).

Функция f(x)=lg arcsin x получена в результате композиции функций g(x)=arcsin x и h(x)=lg x.

Обратите внимание на то, что в область определения композиции h*g входят те значения x из D(g), для которых g(x) D(h). В последнем примере D(g)=[-1;1], D(h)= [0;+]. Так как arcsin x>0 при x [0;1], то D(f)= [0;1].

Если взять композицию этих же функций в обратном порядке, то есть функцию f(x)=arcsin lg x, то получим D(f)=[1/10;10].

Композицией дробно-линейных функций g(x)=(-2x+1)/(3x+2) и h(x)=(3x-2)/(-x+4) является




функция f(x)=h(g(x))=

Здесь D(f)=R/{-2/3, -1/2}.
Как правило, f*g=g*f. В то же время для любых функций

(f*g)*h=f*(g*h),

что непосредственно вытекает из определения композиции.

Появляются группы.

Попробуем разобраться почему нам удалось решить уравнение решенные выше. Рассмотрим еще одно уравнение f(x+1)+f(x)=x. Оно выглядит не более “страшным”, чем уравнение (3), однако все попытки решить его тем же способом окажутся тщетными: при замене x x+1 появляется “неизвестное” f(x+2), и так далее. Цепочка не замыкается: мы никогда не получим линейной системы. Вспомним, что, решая первое уравнение, мы выполнили подстановку x 1-x. При этом 1-x x. То есть две функции g1(x)=x и g2(x)=1-x по отношению к операции композиции ведут себя так


В каждой строке и каждом столбце этой таблицы встречаются и g1 и g2. Допустим теперь, что нам нужно решить уравнение
где a,b,c – некоторые функции. Ясно, что выполняя подстановку

x 1-x, мы получим уравнение




которое вместе с уравнением образует линейную систему относительно функций f(x) и f(1-x). Дальше решение будет развиваться так же как, как и при решении задачи 1.

Во втором рассмотренном примере мы делали подстановки



то есть имели дело с функциями

Посмотрим, как ведут себя функции g1,g2,g3,g4 по отношению к операции композиции. Составим таблицу 2, аналогичную таблице 1(в пересечении i-й строки и k-го столбца запишем )




Таблица эта симметрична относительно своей диагонали (это значит, что при любых k и i). Кроме того, все функции gi встречаются в каждой строке и каждом столбце ровно один раз, и, наконец, легко заметить,




что g3=g22, g4=g23, g1=g24. Здесь
Таким образом, система функции G={g1,g2,g3,g4} обладает следующими свойствами: а) она замкнута относительно композиций; б)среди этих функций есть тождественное отображение g1(x)=x; в)у каждой из функций gi есть обратная gi-1: g1-1=g1, g2-1=g4, g3-1=g3, g4-1=g2. Теми же свойствами обладает и система функций G={g1,g2} из примера 1. Если бы теперь нам предложили решить любое функциональное уравнение вида







мы сделали бы это, выполнив замены после чего пришли бы к линейной системе. Для примера запишем, что получится из

после замены x g2(x). При этом

, так что получится уравнение




Теперь дадим следующее определение.

Определение. Произвольное множество G функций, определенных на некотором множестве M, называется группой относительно операции , если

оно обладает теми же свойствами, что и система , то есть

1. Для любых двух функций f G, g G их композиция f g тоже принадлежит G.

2. Функция e(x)=x принадлежит G.

3. Для всякой функции f G существует обратная функция f -1, которая также принадлежит G. Это определение есть частный случай общего определения понятия группы – одного из важнейших понятий современной математики. Теперь мы можем изложить общий метод решения некоторых функциональных уравнений с использованием понятия группы функций. Пусть в функциональном уравнении
выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f(x) являются элементами группы G, состоящей из n функций:

,

причем коэффициенты уравнения (7)- некоторые функции от x. Предположим, что уравнение (7) имеет решение. Заменим x g2(x). В результате последовательность функции

перейдет в последовательность

состоящую опять таки из всех элементов группы. Поэтому “неизвестные” f(g1), f(g2), …, f(gn) переставятся и мы получим новое линейное уравнение того же вида, что и (7). Далее в уравнении (7) делаем замены ,

после чего получим систему из n линейных уравнений, которую следует решить. Если решения есть, то мы еще должны проверкой убедиться в том, что они удовлетворяют уравнению (7). В качестве примера рассмотрим уравнение







Множество функций образует группу с ‘таблицей умножения”,





Заменяя в уравнении (8) x на и на , получим систему


где решая которую получим, выполнив проверку



Я изложил один из методов решения функциональных уравнений. С помощью этого метода я сам решил некоторые задачи из представленных мною в докладе, например задачу третьего уровня и некоторые задачи первого и второго уровня. Существуют и другие методы, использующие понятие предела, непрерывности, производной и др.

1.1. Базовые Задачи(1 уровень).

1)Найти функцию f(x), если известно, что

а)f(x+1)=x2+2x+2

Решение.

f(x+1)= x2+2x+1+1= (x+1)2+1

f(x)=x2+1

б)f(x+1/x)=x2+1/x

f(x+1/x)=(x+1/x)2-2=x2+2+1/x -2=x2+1/x +2-2

f(x)=x2-2.

2)Найдите значение f(2), если для любого x=0 выполняется равенство

f(x)+3f(1/x)=x2

Решение:

Подставив в данное равенство x=2 и x=1/2 будем иметь

f(2)+3f(1/2)=4

f(1/2)+3f(2)=1/4

Вычтя теперь из первого равенства второе, умноженное на 3, получим

f(2)= - 13/32

Ответ: f(2)= - 13/32.

Данные задачи решаются либо приведением уравнения к такому виду чтобы была видна замена, либо подставляем конкретные числа.

1.2. Задания второго и третьего уровня.

Задача1.(2 уровень).

Найдите все функции y=f(x) такие, что

Решение. Предположим, что существует функция f(x), удовлетворяющая данному

уравнению. Заменив x на 1-x, получим
Из (1) находим f(1-x)=1/2 (x*f(x)-1). Подставляя значение f(1-x) в



уравнение (2), получим




откуда
Непосредственной проверкой убеждаемся, что полученная функция удовлетворяет уравнению (1).

В рассмотренном уравнении под знаком неизвестной функции стоят функции f1=x и f2=1-x. Замена x на 1-x переводит функции f1 и f2 друг в друга. В результате подстановки x 1-x получено еще одно уравнение, содержащее f(x) и f(1-x). Решение функционального уравнения мы свели к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим теперь более сложную задачу.
Задача 2.

Найти функцию f(x), при всех допустимых значениях x, удовлетворяющих равенству

f(x+1/x)-5f(x/x+1)=12x+6

Решение.

y=x+1/x x/x+1=1/y xy=x+1

xy-x=1 x(y-1)=1 x=1/y-1

f(y)-5f(1/y)=12(1/y-1)+6

f(y)-5f(1/y)=12+6y-6/y-1=6* y+1/y-1

f(y)-5f(1/y)=6* y+1/y-1 (1)

z=1/y=x/x+1

zy=1

y=1/z

6* y+1/y-1=6* 1/z+1/1/z-1=6* 1+z/1-z

f(1/z)-5f(z)=-6* z+1/z-1 (2)

Т.к. (1) и (2) должны быть верны при всех допустимых y и z, то в частности, оба равенства справедливы при подстановке буквы x вместо y и z

Таким образом

f(x)-5f(1/x)=6* x+1/x-1 (а)

f(1/x)-5f(x)=-6* x+1/x-1 (б)

-4f(x)-4f(1/x)=0

f(1/x)=-f(x)

f(x)+5f(x)=6* x+1/x-1

f(x)=x+1/x-1

Ответ:f(x)=x+1/x-1
Задача 3.

Решите уравнение



Решение. Попробуем действовать так же, как и в первом случае.




Выполним замену x . Получаем




Наряду с выражением f(x) и f ( ) у нас появилось новое “неизвестное” f(- 1/x). Попробуем применить в (3) еще одну подстановку: x - 1/x.

Имеем



Кроме f(- 1/x), в уравнении появилось “ нежелательное” выражение




f( ).

Что же, попробуем выполнить в (3) еще одну подстановку: x

И, наконец, удача. Получаем уравнение



где новые неизвестные не возникли – построена система четырех линейных
уравнений (3) – (6) с четырьмя неизвестными f(x), f( ),




f(- 1/x) и f( ). Последовательно исключая их найдем


Как и при решении уравнения (1), мы предполагали, что функция, удовлетворяющая уравнению (3).
Задача 4.

Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом T=4 и на промежутке 0<=x<=2 её значения вычисляются по графику f(x)=1- x-1

Решить уравнение

2f(x)*f(x-8)+5f(x+12)+2=0
Функция f(x) на отрезке x [0;2] совпадает с графиком функции f(x)=1- x-1

y


1

-2 -1 0 1 2

-1

Так как f(x) является нечетной, то f(-x)=-f(x)

f(x)=-f(-x)=-(1- -x-1 )=-(1- -(x+1) ) =-(1- x + 1 )=-1+ x + 1

O’(-1;-1);

y= x

f(x) – периодичная с T= 4, продолжим график функции.

О.Д.З.: x R

Решим уравнение

2f(x)*f(x-8)+5f(x+12)+2=0

т.к. f(x-8)=f(x-4-4)=f(x)=f(x+4+4+4)=f(x+12)

2f(x)*f(x)+5f(x)+2=0

2f2(x)+5f(x) +2=0




f(x)=-2 уравнение не имеет решений, т.к. -1<=f(x)<=1

f(x)=- 1/2 x=-1/2

-x-2=-1/2

x+2=1/2

x=-3/2
f(x)=- 1/2 x=-1/2 + 4k

x=-3/2 + 4n

f(x)=x

f(x)=-x-2

Ответ:x=-1/2 + 4k

X=-3/2 + 4n
Задача 3 уровня.

Задана функция f, причем f(x+y)=f(x)+f(y) для всех рациональных чисел x и y. Известно, что f(10)=-п. Найти f(-2/7).

Решим исходное функциональное уравнение

f(x+y)=f(x)+f(y) (1)

при всех x,y Q.

Прежде всего отметим, что функции вида f(x)=kx удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что никаких других решений уравнение (1) не имеет.

Рассмотрим исходное функциональное уравнение (1) при y=0:

f(x)=f(x)+f(0).

Отсюда следует, что f(0)=0.

При y=-x уравнение (1) примет вид

f(0)=f(x)+f(-x),

откуда f(-x)=-f(x).

Таким образом, всякое решение уравнения (1) является нечетной функцией. Подставим в (1) y=x. Это даст следующее соотношение

f(2x)=2f(x) при всех x Q.

Используя это равенство, из (1) при y=2x получим

f(3x)=f(x)+f(2x)=f(x)+2f(x)=3f(x) при всех x Q.

Аналогично, при y=3x из (1) имеем

f(4x)=4f(x) при всех x Q.

Повторяя эту процедуру, мы получим, что для любого натурального n верно равенство (при n=1 оно является тождеством):

f(nx)=nf(x) (2) при всех x Q.
Строго это можно доказать методом математической индукции. Справедливость равенства (2) при n=1 (основание индукции) уже установлена. Допустим, что (2) доказано для некоторого натурального k; докажем его справедливость для значения n=k+1;

f((k+1)x)=f(kx+x)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)*f(x)

Из нечетности функции f(x), которую мы установили в самом начале нашего решения, следует, что равенство (2) верно при всех целых n (а не только натуральных).

В принципе, уже в этом месте мы можем решить исходную задачу в том виде, как она была поставлена на экзамене. Поскольку 10=(-35)*(-2/7), из (2) при n=-35, x=-2/7 имеем

f(10)=35f(-2/7)

так что

f(-2/7)=-1/35*f(10)=-1/35*(-п)=п/35.

Но мы двинемся дальше и докажем, что на самом деле верно соотношение

f(rx)=r*f(x) (3)

при всех x Q, где r – произвольное рациональное число.

Подставим в (2) x=1/n:

f(t)=nf(t/n).

Отсюда f(t/n)=1/n*f(t/n), так что (3) справедливо для r=1/n. Если в это равенство подставить t=mx, m Z, то, используя (2), мы получим:

f(m/n*x)=1/n*m*f(x)=m/n*f(x),

то есть (3) справедливо для любого рационального r. В частности, при x=1 (3) даст

f(r)=rf(1).

Если обозначить f(1) через k, а вместо переменной r использовать переменную x, то это соотношение можно записать в виде

f(x)=kx. (4)

Таким образом, если функция f(x) является решением уравнения (1), то она дается формулой (4).

Теперь вернемся к исходной задаче (в том виде, как она была поставлена). Так как мы можем определить коэффициент пропорциональности k: k=-п/10. Поэтому f(x)=-п/10*ч для рациональных x и, в частности,

f(-2/7)=-п/10*(-2/7)=п/35.

Заключение.

В своем исследовании мы рассмотрели: понятие функциональных уравнений и способы их решения с использованием композиции функций и понятия группы. Рассмотрели разные типы функциональных уравнений, то есть задачи первого, второго и третьего уровня. Определили базовые задания по решению функциональных уравнений и способы решения заданий 2 и 3 уровня сложности, сводящихся к базовым.

Список используемой литературы.

1.Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике. Москва Просвещение 1998г.

2, Сеть интернет http://www.imm.uran.ru/RUS/WIN/DISS/Z/Zhukovsky(Avtoref).pdf

2.Усольцев К.И. Основные приемы в математике. Москва Просвещение 1997г.

3.Шарыгин И.Ф. “Факультативный курс по математике”. Москва Просвещение 1980.



Похожие:

Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconИсследовательская работа Уравнение Пелля Автор: Садовой Иван Чувашская Республика г. Чебоксары моу «Гимназия №1»
Стоит отметить, что точность приближения действительных чисел очень важна в производстве механических часов (точность часов пропорциональна...
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconРектор хрипк и про директор моу «Гимназия»
Абакан моу «Гимназия», Хакасская национальная гимназия-интернат им. Н. Ф. Катанова, моу «сош №22», моу «сош №1», моу «сош №28», моу...
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconДоходный дом И. Б. Лидваль Научные руководители
Данная исследовательская работа посвящена одному из самых известных домов, возведенных в начале ХХ века на Каменноостровском проспекте...
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители icon«История создания словарей английского языка»
Автор: Добровольская Ольга Алексеевна, моу «Гимназия №164», 6б класс, ул. Советская 5А
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители icon«Россия в XVII веке». Авторы составители: В. И. Белова (моу гимназия №2 г. Нелидово), Т. А. Назарова (моу малышевская сош), Л. В. Яковлева (моу пеновская сош)
Приложение Диагностические материалы по истории России в формате егэ по теме «Россия в XVII веке». Авторы – составители: В. И. Белова...
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители icon«Особенности эвфемизации и дисфемизации политической речи на материале английского языка»
Автор: Прасолова Жанна Геннадьевна, моу «Гимназия №164», 11А класс, ул. Советская 5А
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconИсследовательская работа Комбинаторика: вчера, сегодня, завтра. Автор: Кравченко Вадим Алексеевич 7 «К» класс
Три правила комбинаторики и класс задач, решаемый с использованием этих правил
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconРеализация проекта «В начале было Слово» в Ростовской области
Ообф «Российский Детский фонд». Еще на стадии разработки проект «В начале было Слово» поддержали шесть образовательных учреждений...
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconИсследовательская работа Автор: Леонова Екатерина 9 «А» класс Научный Наземцева О. И., учитель
Проблемы, возникающие у учащихся при использовании разговорной речи
Исследовательская работа. Автор Пятидесятников А. В. Россия г. Иркутск моу гимназия №44, 11 класс. Научные руководители iconИсследовательская работа Автор работы: Ливанова Ксения, 9 класс Научный Озерова Валерия Михайловна Москва 2011
Установление аутентичности некоторых переводов стихотворений зарубежных
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org