Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница1/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Функция аналитична при , как функция обратная для аналитической функции , а ее производная



Другие однозначные ветви логарифмической функции от­личаются от главной ветви на постоянные вида а следовательно их производные совпадают с производной функции .

Этот факт условно записывают так



Точка — особая точка для логарифмической мно­гозначной функции. Эту точку называют точкой ветвления многозначной функции .

Значения многозначной логарифмической функции

при

называются логарифмами комплексного числа и, как мы по­казали, решая уравнение (смотри свойства показательной функции), эти логарифмы определены для любого комплексного числа и вычисляются при помощи формулы



Свойства логарифмов комплексных чисел.

1. .
В самом деле,





2. Аналогичным образом доказывается, что

gif" name="object21" align=absmiddle width=168 height=142>

3. Имеет место следующее соотношение



Действительно



.

Здесь произвольные, не зависящие друг от друга, целые числа, и их сумма - произвольное целое число .

Обратим внимание на следующие три случая.

1) Пусть положительное действительное число.
Тогда



В этом случае имеет бесконечное множество значений, однако лишь одно из них является действительным. Это , т.е. то значение логарифма, которое известно из элементарной ал­гебры.

2) Пусть отрицательное действительное число.
Тогда имеем



В этом случае среди бесконечного множества значений нет ни одного действительного.

  1. Пусть
    Тогда



В этом случае все значения логарифма являются чисто мнимыми.

4.9. Радикал

Определение 4.5.

Радикалом степени называется соответствие обратное степенной функции

Разрешая данное уравнение при произвольном относи­тельно получим формулу для нахождения значений радикала для данного





Последнюю формулу кратко запишем следующим образом



Символ обозначает множество всех значений радикала для данного, т.е.

(4.25)



Таким образом, мы видим, что соответствие-радикал -значно и функцией в современном понимании этого слова не является.

Однако в случае, когда многозначное соответствие опреде­лено на множестве комплексных чисел и значениями этого соот­ветствия являются комплексные числа, многозначное соответ­ствие называют многозначной функцией. (Этот случай имеет место у нас).

Итак, радикал "многозначная функция" ком­плексного переменного

Полагая в формуле (4.25)



получим однозначных функций









которые называют однозначными ветвями многозначного ради­кала -й степени.

Каждая ветвь в силу ее определения является функцией обратной для функции точнее для ее сужения на некото­рый угол с вершиной в начале координат.

Так, например, ветвь

(4.26)

есть функция обратная для сужения функции на угол так как функция , как известно, одно­листна внутри данного угла (рис.4.12), а значит, имеет обратную функцию. Этой обратной функцией может быть эдна из ветвей радикала -й степени, гак как этот радикал является соответствием, обратным для степенной функции . Осталось показать, что именно ветвь является обратной функцией в углу

Легко заметить, что условию



из всех однозначных ветвей удовлетворяет единственная ветвь



В точке все ветви радикала совпадают по определению



Точка называется точкой ветвления многозначной функции



Каждая из однозначных ветвей радикала, будучи обратной для сужения аналитической в С степенной функции на некоторое множество точек, будет аналитической во всех точках комплексной плоскости, кроме .


4.10. Поверхность Римана

Рассмотрим функцию . Мы знаем, что функция верхнюю полуплоскость (угол ) отображает на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси.

Будем считать, что образом является первый экземпляр комплексной плоскости с разрезом (рис.4.13).

Положительная часть оси переходит при отображении в верхний край разреза, а образом отрицательной части оси является нижний край разреза.

Область (угол ) функцией также ото­бражается на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси.

Будем считать, что образом является второй экземпляр комплексной плоскости с разрезом.


Отрицательная часть оси как граница области пере­ходит в верхний край разреза, а положительная часть оси переходит в нижний край разреза.

Указанная договоренность имеет смысл, так как если луч начинает перемещаться в области от отрицательной части оси , то образ луча луч начинает двигаться от верхнего края разреза плоскости .

Склеим края границ областей и , тогда нужно склеить и разрезы их образов. Склеим верхний край разреза плоскости с нижним краем разреза плоскости , а нижний край разреза плоскости с верхним краем разреза плоскости . Получим

2-листную поверхность, на которую функция взаимно однозначно отображает всю комплексную плос­кость. Следовательно, обратная функция будет на построенной поверхности однозначной и будет отображать эту по­верхность на всю комплексную плоскость.

Построенная поверхность называется поверхностью Римана функции . Аналогично строятся поверхности Римана для радикала при При этом число листов, из которых будет состоять поверхность Римана, соответственно рав­ны 3, 4 и т.п.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org