Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница10/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

6.4. Непрерывность и аналитичность сумм степенного ряда.

Теорема 6.9.

Степенной ряд (6.40) равномерно сходится во всяком замкутом круге где - радиус сходимости степеного ряда.

Доказательство.

Доказательство проведем для случая (рис.6.6). Точка принадлежит кругу сходимости, значит в этой точке ряд

(6.52)

абсолютно сходится, т.е. при имеем, что ряд

(6.53)

сходится.

Ряд (6.53) - числовой положительный сходящийся ряд, Если точка прина (6.54)

и ряд (6.53) сходится. Значит по признаку равномерной сходимости функциональных рядов степенной ряд (6.52) в круге равномерно сходится.

Теорема 6.10.

Сумма степенного ряда есть функция непрерывная в круге его сходимости.

Доказательство.

Пусть любая точка круга сходимости степенного ряда (6.40) (рис. 6.7). (Буква всегда обозначает радиус сходимости степенного ряда). Очевидно можно построить круг которому точка принадлежит.

По предыдущей теореме в круге

К степенной ряд равномерно сходится. Но как мы уже отмечали, степенной ряд составлен из функций (многочленов) непрерывных во всей комплексной плоскости, а значит и в круге Тогда по теореме 6.4. применяемой к степенному ряду, как частному случаю функционального ряда, сумма степенного ряда есть функция непрерывная в круге gif" name="object1413" align=absmiddle width=134 height=140>, а, следовательно, сумма степенного ряда есть функция непрерывная в точке . Но точка - произвольная точка круга сходимости, а это означает, что сумма степенного ряда есть функция непрерывная в круге его сходимости.

Что и требовалось доказать.

Теорема 6.11.

Сумма степенного ряда есть функция аналитическая в его круге сходимости и ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.

Доказательство.

Степенной ряд (6.40) составлен, как мы отмечали, из многочленов которые, как мы знаем, аналитичны во веси комплексном плоскости, а значит они аналитичны и в круге сходимости. По теореме 6.9 степенной ряд равномерно сходится во всяком замкнутом круге , принадлежащем кругу сходимости, а тогда по теореме Вейерштрасса сумма степенного ряда есть функция аналитическая и степенной ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.

Теорема доказана.
6.5. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора

Теорема 6.12.

Функция аналитическая в круге разлагается в этом круге в степенной ряд Тейлора, т.е. для имеем

(6.55)

где и при этом указанное разложение единственно.


Пусть любая точка принадлежащая кругу Построим окружность такую, что точка находится внутри окружности (рис. 6.8). Тогда по формуле Коши имеем:

(6.56)

Рассмотрим (6.57)

Где Обозначим и отметим, что

(6.58)

так как а точка находится внутри окружности,



(6.59)

так как

Запишем более подробно



И теперь (6.57) запишем



(6.60)

Умножим ряд (6.60) на

(6.61)



Полученный ряд (6.61) равномерно сходится относительно переменной , так как


и числовой ряд



сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем



Следовательно, на основании теоремы 6.5 ряд (6.61) можно интегрировать почленно



(6.62)

По формуле Коши имеем



по интегральным формулам для производных (см. параграф "Бесконечная дифференцируемость аналитических функций") имеем







Из (6.62) теперь получим



(6.63)

Ряд (6.63) можно записать в виде

(6.64)

где

(6.65)

Степенные ряды, у которых коэффициенты определяются формулами (6.65), называются степенными рядами Тейлора функции .

Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Докажем теперь, что разложение в степенной ряд единственно.

Допустим, от противного, что наряду с разложением (6.64) для каждого имеем

(6.66)

Из (6.64) и (6.66) имеем

(6.67)

Подставляя в последнее равенство , получим



т.е. .

Дифференцируем почленно ряды (6.64) и (6.66) и получим

(6.68)

(6.69)

Из (6.68) и (6.69) получим



(6.70)

Полагая в равенстве (6.70) получим

Продолжая это процесс, получим при любом

Единственность доказана.

Теорема доказана.

Следствие.

Если функция аналитична в точке , то в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд Тейлора.

В самом деле, аналитичность в точке означает, что функция аналитична в некотором круге с центром в точке , который и является окрестностью точки , а тогда по теореме в этой окрестности-круге функция разлагается в степенной ряд.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org