Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции
|
Скачать 1.05 Mb.
|
4.11. Обратные тригонометрические функции Известно, что уравнение  (4.27)имеет решение при любом .Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом Иными словами, есть множество всех значений , удовлетворяющих уравнению Найдем формулу для вычисления . Заменяя в (4.27) через получимПоследнее равенство разрешим относительно НайдемОтсюда (4.28)или .Аналогичные формулы могут быть получены и для Так, например, или Из (4.28) следует, что при любом , так как , существует и имеет бесконечно много значений.Если - действительное число и тои В этом случае все значения действительные и совпадают со значениями .Пример. Вычислить Решение. Далее, поэтому Очевидно, поэтому 4.12. Дробно-линейная функция Эта функция определяется следующим равенством (4.29)где — заданные комплексные числа при условии — независимая комплексная переменная.Замечание 1. Рассмотренная ранее функция является частным случаем дробно-линейной функции. Если то из (4.29) получим .Из формулы (4.29) видно, что дробно-линейная функция определена во всей комплексной плоскости, кроме точки называемой полюсом дробно-линейной функции.Разделив в формуле (4.29) числитель на знаменатель, получим (4.30)где Свойства дробно-линейной функции.
В самом деле уравнение (4.30) разрешимо относительно при любом (4.31)Это означает, что дробно-линейная функция принимает любое значение 3. Из (4.30) видно, что если , т.е. дробно-линейная функция является однолистной в своей области определения.4. Продолжение функции в расширенную комплексную плоскость. Заметим, что (4.32) (4,33) (4.34) (4.35)Используя очевидные равенства (4.32) — (4.35), дробно-линейную функцию можно продолжить по непрерывности на расширенную комплексную плоскость (буквой всегда обозначаем множество всех комплексных чисел) (4.36)Так доопределенная функция осуществляет взаимнооднозначное отображение расширений комплексной плоскости на себя, так как функция как мы уже отметили, взаимно-однозначно отображает множество на множество и кроме того имеем:5. Дробно-линейная функция аналитична во всей комплексной плоскости кроме полюса. В самом деле, в любой точке существуети это означает аналитичность дробно-линейной функции во всей комплексной плоскости с исключенным из нее полюсом функции. Так кaк дробно-линейная функция однолистна в области и то она конформно отображает область на ее образ - область .Замечанние 2. Можно ввести понятие конформности отображения в полюсе и в бесконечно удаленной точке , тогда окажется, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на себя.6. Круговое свойство дробно-линейной функции. Как известно, уравнение вида (4.37)есть уравнение окружности, если , и является уравнением прямой, если .Полагаем Тогда и уравнение (4.37) примет вид или (4.38)где Теорема 4.1. Каждая дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность, причем прямая может переходить в окружность и наоборот. Доказательство. Дробно-линейную функцию можно представить как композицию следующих отображений: Отображение — это параллельный перенос на плоскости. При этом отображении прямая остается прямой, окружность - окружностью.Отображение — это отображение подобия, поворота и параллельного переноса. При этом отображении также прямая остается прямой, окружность - окружностью.Рассмотрим более подробно отображение .На плоскости уравнение окружности имеет вид (4.39)(см.уравнение (4.38), если — это уравнение окружности).Если , то На плоскости точки, лежащие на окружности или прямой, удовлетворяют уравнению (4.39). Какому уравнению будут удовлетворять образы точек окружности при отображении ?Чтобы получить это уравнение, подставим , и в уравнение (4.39) и получимПоследнее уравнение равносильно уравнению (4.40) (при условии, что ).Уравнение (4.40) — это уравнение прямой или окружности на плоскости . Таким образом, все три отображения, из которых составлена дробно-линейная функция отображают прямые или окружности в прямые или окружности, а следовательно, и дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность. Теорема 4.1. доказана. 7. Дробным отношением четырех точек называется выражениеТеорема 4.2. При дробно-линейном отображении двойное отношение любых четырех попарно различных точек не изменяется, т.е. если то .Доказательство. Подставляя в двойное отношение разности где после алгебраических преобразований получим выражение Теорема доказана. Замечание 3. Теорема 4.2. позволяет найти дробно-линейную функцию, переводящую три попарно различные точки соответственно в три попарно различные точки . Эта функция определяется равенством (4.41)В самом деле, выразив через из равенства (4.41), мы получим дробно-линейную функцию (помним, что — заданные числа).Из равенства (4.41) кроме этого видно, что при т.е. точка отображается в точку .Замечание 4. Мы знаем, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную плоскость на себя, а также из теоремы о круговом свойстве знаем, что с помощью дробно-линейной функции можно отображать конформно области ограниченные прямыми или окружностями, на области, ограниченные прямыми или окружностями. Например:
Как выполняется такое отображение покажем на примерах. Задача. Отобразить конформно круг на плоскости на верхнюю полуплоскость плоскости .Решение задачи. Чтобы решить поставленную задачу, достаточно отобразить границу — окружности на границу - ось на плоскости с сохранением ориентации (рис.4.14).Для построения дробно-линейной функции, отображающей окружность на ось достаточно выбрать три различные точки на окружности и три различные точки на оси .Тогда, как мы знаем из замечания к свойству 7, существует дробно-линейная функция» определяемая равенством (4.41), которая отображает точку в точку , а, следовательно, окружность отобразится на ось .При этом оказывается, что, если три точки и точки занумерованы в указанном на чертеже порядке (при движении от к через точку область остается слева, а при движении от к через область также остается слева), то дробно-линейная функция, определенная равенством (4.41), сохранит ориентацию при отображении кривой на кривую , а, следовательно, данная функция и решит поставленную задачу.Замечание 5. Утверждение о сохранении ориентации при отображении кривой на кривую при указанном выборе точек , и кривых и соответственно приводится нами без доказательства. |
Похожие:
 | Функция, обратная данной Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает... | | Основные понятия и свойства функций Ключевые слова Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная... |
 | Вопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,... | | Лекция Производная функции 2 Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная... |
| Дифференцируемость сложной функции Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция... | | I. Математический анализ Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций |
| I. Математический анализ Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций | | Показательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x |
| 7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот... | | «Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции» |