Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница2/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

4.11. Обратные тригонометрические функции

Известно, что уравнение

(4.27)

имеет решение при любом .

Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом Иными словами, есть множество всех значений , удовлетворяющих уравнению Найдем формулу для вычисления . Заменяя в (4.27) через

получим



Последнее равенство разрешим относительно Найдем



Отсюда

(4.28)

или

.

Аналогичные формулы могут быть получены и для



Так, например,



или



Из (4.28) следует, что при любом , так как , существует и имеет бесконечно много значений.

Если - действительное число и то

gif" name="object130" align=absmiddle width=397 height=156>

и



В этом случае все значения действительные и сов­падают со значениями .

Пример.

Вычислить

Решение.



Далее, поэтому





Очевидно, поэтому



4.12. Дробно-линейная функция

Эта функция определяется следующим равенством

(4.29)

где заданные комплексные числа при условии



— независимая комплексная переменная.

Замечание 1.

Рассмотренная ранее функция является частным случаем дробно-линейной функции. Если то из (4.29) получим .

Из формулы (4.29) видно, что дробно-линейная функция определена во всей комплексной плоскости, кроме точки называемой полюсом дробно-линейной функции.

Разделив в формуле (4.29) числитель на знаменатель, по­лучим

(4.30)

где

Свойства дробно-линейной функции.

  1. Как мы уже отметили, область определения дробно-линейной функции все множество комплексных чисел за ис­ключением точки

  2. Множество значений дробно-линейной функции все множество комплексных чисел за исключением точки

В самом деле уравнение (4.30) разрешимо относительно при любом

(4.31)

Это означает, что дробно-линейная функция принимает любое значение

3. Из (4.30) видно, что



если , т.е. дробно-линейная функция является однолист­ной в своей области определения.

4. Продолжение функции в расширенную комплексную плоскость.

Заметим, что

(4.32)

(4,33)

(4.34)

(4.35)

Используя очевидные равенства (4.32) (4.35), дробно-ли­нейную функцию можно продолжить по непрерывности на расширенную комплексную плоскость (буквой всег­да обозначаем множество всех комплексных чисел)

(4.36)


Так доопределенная функция осуществляет взаимно­однозначное отображение расширений комплексной плоскости на себя, так как функция как мы уже отметили, взаимно-однозначно отображает множество на множество и кроме того имеем:



5. Дробно-линейная функция аналитична во всей ком­плексной плоскости кроме полюса.

В самом деле, в любой точке существует



и это означает аналитичность дробно-линейной функции во всей комплексной плоскости с исключенным из нее полюсом функ­ции.

Так кaк дробно-линейная функция однолистна в области и то она конформно отображает область на ее образ - область .

Замечанние 2.

Можно ввести понятие конформности отображения в полюсе и в бесконечно удаленной точке , тогда окажется, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на себя.

6. Круговое свойство дробно-линейной функции.
Как известно, уравнение вида
(4.37)

есть уравнение окружности, если , и является уравнением прямой, если .

Полагаем Тогда и уравнение (4.37) примет вид



или

(4.38)

где
Теорема 4.1.

Каждая дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность, причем прямая может переходить в окружность и наоборот.

Доказательство.

Дробно-линейную функцию



можно представить как композицию следующих отображений:



Отображение это параллельный перенос на плоскости. При этом отображении прямая остается прямой, окружность - окружностью.

Отображение это отображение подобия, пово­рота и параллельного переноса. При этом отображении также прямая остается прямой, окружность - окружностью.

Рассмотрим более подробно отображение .
На плоскости уравнение окружности имеет вид

(4.39)

(см.уравнение (4.38), если это уравнение окружности).

Если , то

На плоскости точки, лежащие на окружности или пря­мой, удовлетворяют уравнению (4.39). Какому уравнению будут удовлетворять образы точек окружности при отображении ?

Чтобы получить это уравнение, подставим , и в уравнение (4.39) и получим



Последнее уравнение равносильно уравнению

(4.40)

(при условии, что ).

Уравнение (4.40) это уравнение прямой или окружности
на плоскости .

Таким образом, все три отображения, из которых составлена дробно-линейная функция



отображают прямые или окружности в прямые или окружности, а следовательно, и дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность. Теорема 4.1. доказана.

7. Дробным отношением четырех точек назы­вается выражение



Теорема 4.2.

При дробно-линейном отображении



двойное отношение любых четырех попарно различных точек не изменяется, т.е. если



то .

Доказательство.

Подставляя в двойное отношение разности



где после алгебраических преобразований получим выражение

Теорема доказана.

Замечание 3.

Теорема 4.2. позволяет найти дробно-линейную функцию, перево­дящую три попарно различные точки соответственно в три попарно различные точки . Эта функция определяется равен­ством

(4.41)

В самом деле, выразив через из равенства (4.41), мы получим дробно-линейную функцию (помним, что задан­ные числа).

Из равенства (4.41) кроме этого видно, что при т.е. точка отображается в точку .

Замечание 4.

Мы знаем, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную плоскость на себя, а также из теоремы о круговом свойстве знаем, что с помощью дробно-линейной функции можно отоб­ражать конформно области ограниченные прямыми или окружностями, на области, ограниченные прямыми или окружностями.

Например:

  1. круг на круг;

  2. круг на внешность круга;

  3. полуплоскость на внутренность или внешность круга и наобо­рот.

Как выполняется такое отображение покажем на примерах.

Задача.

Отобразить конформно круг на плоскости на верхнюю полуплоскость плоскости .

Решение задачи.

Чтобы решить поставленную задачу, достаточно отобразить гра­ницу окружности на границу - ось на плоскости с со­хранением ориентации (рис.4.14).

Для построения дробно-линейной функции, отображающей окружность на ось достаточно выбрать три различные точки



на окружности и три различные точки на оси .

Тогда, как мы знаем из замечания к свойству 7, существует дроб­но-линейная функция» определяемая равенством (4.41), которая отоб­ражает точку в точку , а, следовательно, окружность отобразится на ось .

При этом оказывается, что, если три точки и точки занумерованы в указанном на чертеже порядке (при движении от к через точку область остается слева, а при движении от к через область также остается слева), то дробно-линейная функ­ция, определенная равенством (4.41), сохранит ориентацию при отобра­жении кривой на кривую , а, следовательно, данная функция и решит поставленную задачу.

Замечание 5.

Утверждение о сохранении ориентации при отображении кривой на кривую при указанном выборе точек , и кривых и соответственно приводится нами без доказательства.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org