Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом Иными словами, есть множество всех значений , удовлетворяющих уравнению Найдем формулу для вычисления . Заменяя в (4.27) через
получим
Последнее равенство разрешим относительно Найдем
Отсюда
(4.28)
или
.
Аналогичные формулы могут быть получены и для
Так, например,
или
Из (4.28) следует, что при любом , так как , существует и имеет бесконечно много значений.
В этом случае все значения действительные и совпадают со значениями .
Пример.
Вычислить
Решение.
Далее, поэтому
Очевидно, поэтому
4.12. Дробно-линейная функция
Эта функция определяется следующим равенством
(4.29)
где —заданные комплексные числа при условии
— независимая комплексная переменная.
Замечание 1.
Рассмотренная ранее функция является частным случаем дробно-линейной функции. Если то из (4.29) получим .
Из формулы (4.29) видно, что дробно-линейная функция определена во всей комплексной плоскости, кроме точки называемой полюсом дробно-линейной функции.
Разделив в формуле (4.29) числитель на знаменатель, получим
(4.30)
где
Свойства дробно-линейной функции.
Как мы уже отметили, область определения дробно-линейной функции — все множество комплексных чисел за исключением точки
Множество значений дробно-линейной функции — все множество комплексных чисел за исключением точки
В самом деле уравнение (4.30) разрешимо относительно при любом
(4.31)
Это означает, что дробно-линейная функция принимает любое значение
3. Из (4.30) видно, что
если ,т.е. дробно-линейная функция является однолистной в своей области определения.
4. Продолжение функции в расширенную комплексную плоскость.
Заметим, что
(4.32)
(4,33)
(4.34)
(4.35)
Используя очевидные равенства (4.32)— (4.35), дробно-линейную функцию можно продолжить по непрерывности на расширенную комплексную плоскость (буквой всегда обозначаем множество всех комплексных чисел)
(4.36)
Так доопределенная функция осуществляет взаимнооднозначное отображение расширений комплексной плоскости на себя, так как функция как мы уже отметили, взаимно-однозначно отображает множество намножество и кроме того имеем:
5. Дробно-линейная функция аналитична во всей комплексной плоскости кроме полюса.
В самом деле, в любой точке существует
и это означает аналитичность дробно-линейной функции во всей комплексной плоскости с исключенным из нее полюсом функции.
Так кaк дробно-линейная функция однолистна в области и то она конформно отображает область на ее образ - область .
Замечанние 2.
Можно ввести понятие конформности отображения в полюсе и в бесконечно удаленной точке , тогда окажется, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на себя.
6. Круговое свойство дробно-линейной функции. Как известно, уравнение вида (4.37)
есть уравнение окружности, если , и является уравнением прямой, если .
Полагаем Тогда и уравнение (4.37) примет вид
или
(4.38)
где Теорема 4.1.
Каждая дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность, причем прямая может переходить в окружность и наоборот.
Доказательство.
Дробно-линейную функцию
можно представить как композицию следующих отображений:
Отображение —это параллельный перенос на плоскости. При этом отображении прямая остается прямой, окружность - окружностью.
Отображение —это отображение подобия, поворота и параллельного переноса. При этом отображении также прямая остается прямой, окружность - окружностью.
Рассмотрим более подробно отображение . На плоскости уравнение окружности имеет вид
(4.39)
(см.уравнение (4.38), если — это уравнение окружности).
Если , то
На плоскости точки, лежащие на окружности или прямой, удовлетворяют уравнению (4.39). Какому уравнению будут удовлетворять образы точек окружности при отображении ?
Чтобы получить это уравнение, подставим , и в уравнение (4.39) и получим
Последнее уравнение равносильно уравнению
(4.40)
(при условии, что ).
Уравнение (4.40) — это уравнение прямой или окружности на плоскости .
Таким образом, все три отображения, из которых составлена дробно-линейная функция
отображают прямые или окружности в прямые или окружности, а следовательно, и дробно-линейная функция отображает прямую или окружность на прямую или окружность. Теорема 4.1. доказана.
7. Дробным отношением четырех точек называется выражение
Теорема 4.2.
При дробно-линейном отображении
двойное отношение любых четырех попарно различных точек не изменяется, т.е. если
то .
Доказательство.
Подставляя в двойное отношение разности
где после алгебраических преобразований получим выражение
Теорема доказана.
Замечание 3.
Теорема 4.2. позволяет найти дробно-линейную функцию, переводящую три попарно различные точки соответственно в три попарно различные точки . Эта функция определяется равенством
(4.41)
В самом деле, выразив через из равенства (4.41), мы получим дробно-линейную функцию (помним, что —заданные числа).
Из равенства (4.41) кроме этого видно, что при т.е. точка отображается в точку .
Замечание 4.
Мы знаем, что дробно-линейная функция конформно отображает расширенную плоскость на себя, а также из теоремы о круговом свойстве знаем, что с помощью дробно-линейной функции можно отображать конформно области ограниченные прямыми или окружностями, на области, ограниченные прямыми или окружностями.
Например:
круг на круг;
круг на внешность круга;
полуплоскость на внутренность или внешность круга и наоборот.
Как выполняется такое отображение покажем на примерах.
Задача.
Отобразить конформно круг на плоскости на верхнюю полуплоскость плоскости .
Решение задачи.
Чтобы решить поставленную задачу, достаточно отобразить границу — окружности на границу - ось на плоскости с сохранением ориентации (рис.4.14).
Для построения дробно-линейной функции, отображающей окружность на ось достаточно выбрать три различные точки
на окружности и три различные точки на оси .
Тогда, как мы знаем из замечания к свойству 7, существует дробно-линейная функция» определяемая равенством (4.41), которая отображает точку в точку, а, следовательно, окружность отобразится на ось .
При этом оказывается, что, если три точки и точки занумерованы в указанном на чертеже порядке (при движении от к через точку область остается слева, а при движении от к через область также остается слева), то дробно-линейная функция, определенная равенством (4.41), сохранит ориентацию при отображении кривой на кривую , а, следовательно, данная функция и решит поставленную задачу.
Замечание 5.
Утверждение о сохранении ориентации при отображении кривой на кривую при указанном выборе точек , и кривых и соответственно приводится нами без доказательства.
Функция, обратная данной Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Лекция Производная функции 2 Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Дифференцируемость сложной функции Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
I. Математический анализ Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
I. Математический анализ Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций