Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница3/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

4.13. Функция Жуковского

Функцией Жуковского называется функция вида

(4.42)

Функция (4.42) называется так из-за тех приложений, которые дал ей Н.Е.Жуковский (1847-1921) в аэродинамике.

Установим некоторые свойства функции Жуковского.

  1. Функция



определена и однозначна для всех

2. Она аналитична в области , при этом



3. Найдем область однолистности отображения



Для этого посмотрим, где возможно нарушение одно­листности функции Жуковского в комплексной плоскости, т.е. где при будем иметь

(4.43)

Отсюда находим



Так как , то из последнего равенства следует

(4.44)

Таким образом, для однолистности отображения (4.42) в какой-нибудь области необходимо и достаточно, чтобы область не содержала никакой пары точек и , для которых

Геометрически равенство (4.44) означает, что точка получается из точки двойной симметрией относи­тельно окружности и относительно прямой .


Примером области, удовлетворяющей условию однолист­ности, является, например, внутренность единичного круга или его внешность .

4. Рассмотрим отображение окружности , осу­ществляемое функцией Жуковского.

Положим

Тогда



Отсюда находим параметрические уравнения образа окружности

(4.45)

Исключив параметр , получим

(4.46)

где то есть получим эллипс с полу осями и .

Таким образом, функция отображает окружность в эллипс.

Так как , то фокусы эллипса лежат в точках и действительной оси

При эллипс вырождается в отрезок действительной оси проходимый точкой дважды: при изменении от 0 до и от до

Рассмотрим внешность единичной окружности

Если ее рассматривать как область, заметаемую окруж­ностью при изменении от 1 до ( исключается), то эллипс (4.46) опишет всю плоскость , исключая отрезок действительной оси. При этом, если окружность проходит­ся по часовой стрелке, то разрез по отрезку проходится также по часовой стрелке (рис.4.15).

Это означает, что функция Жуковского конформно отобра­жает внешность единичного круга на плоскость w с разрезом по отрезку .

Легко показать, что внутренность единичного круга пере­ходит в ту же область. Это следует хотя бы из того, что функция Жуковского не меняется при замене на. Но при этом внешность круга переходит во внутренность

При этом, если окружность проходится против часовой стрелки, то образ окружности (разрез по отрезку ) проходится по часовой стрелке (рис.4.16). Это означает, что функция конформно отображает внутренность единичного круга на плоскость с разрезом по отрезку дей­ствительной оси.

Найдем образ луча при отображении

Ему в плоскости будет соответствовать линия, парамет­рические уравнения которой имеют вид:

(4.47)



Исключая параметр при получаем уравнение гиперболы

(4.47)

Полуфокусное расстояние равно



отсюда вытекает, что фокусы гиперболы находятся в точках и , т.е. она софокусна с ранее полученным эллипсом.

Если то кривая (4.47) является правой ветвью гиперболы (4.48), т.е. луч при переходит в правую ветвь гиперболы (4.48).

При замене в (4.47) на получается левая ветвь той же гиперболы, т.е. луч при переходит в ле­вую часть гиперболы (4.48).

Заметим также, что при замене в (4.47) на получается так же ветвь гиперболы (4.48), но ее ориентация меняется на противоположную.

Рассмотрим лучи при . Из (4.47) получаем, что луч переходит в мнимую ось Луч также переходит в мнимую ось При из (4.47) следует, что луч переходит в луч действительной оси, проходимый дважды: луч переходит в луч и полуинтервал - в луч . Аналогично, луч переходит в луч , проходимый дважды.

Таким образом, функция Жуковского осуществляет преобразование ортогональной системы полярных ко­ординат на плоскости в ортогональную криволинейную систему координат, координатными линиями которой служат семейства эллипсов (4.46) и гипербол (4.48).

Пример 1.

Пользуясь функцией Жуковского, найти образ области



При отображении луч переходит в луч оси , дуга окружности перейдет в отрезок оси , а луч перейдет в верхнюю часть правой ветви гиперболы (рис.4.17).


Следовательно, контур данной области перейдет в контур

Выясним, какая часть плоскости ограниченная контуром , будет являться образом заданной области. Это можно сделать, показав, куда переходит какая-нибудь внутренняя точка данной облас­ти, или воспользовавшись принципом соответствия границ.

Согласно принципу соответствия границ получим, что область



переводится функцией Жуковского в область


Замечание.

Используя функцию Жуковского и ранее рассмотренные функ­ции, можно изучить отображения, осуществляемые с помощью функций и так как отображение можно рассматривать, как суперпозицию отображений:



а отображение является суперпозицией отображений:



Пример 2.

На какую область плоскости функция конформно пре­образует полуполосу

Решение.

Преобразование можно рассматривать как суперпозицию преобра­зований:



Преобразование конформно переведет полуполосу на

область плоскости (рис.4.18).



С помощью функции верхняя полуокружность

переходит в верхний берег разреза по отрезку
действительной оси ; полуинтервалы дей­ствительной оси переходят соответственно в верхние берега
разрезов по полуинтервалам действительной оси . Применяя принцип соответствия границ, получим, что функция конформно отображает область на верхнюю полуплоскость .

Так как преобразования конформны в соответствующих об­ластях, то функция преобразует данную полуполосу в верхнюю полуплоскость конформно.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org