Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница4/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5. Основные интегральные теоремы теории аналитических функций

5.1. Интегрирование комплексных функций

Для построения интеграла от комплексных функций нам потребуется вспомнить некоторые понятия, известные из предыдущих разделов курса математического анализа.

Определение 5.1.

Непрерывной плоской кривой называется множество точек плоскости, координаты которых определяются равенствами вида



где функции и непрерывны на отрезке

Непрерывная кривая называется гладкой на отрезке если производные непрерывны на и одновременно в нуль не обращаются.



Пример 1.


— полуокружность — непрерывная глад­кая кривая, так как непрерывны на отрезке вместе с производными и эти производные одновре­менно в нуль не обращаются на (рис. 5.1).

Вспомним также определение криволинейного интеграла второго ро­да. Для определения последнего нам необходимо иметь спрямляемую непрерывную кривую с указанным ней направлением, например, от А к а также действительную функцию двух действительных переменных , заданную на этой кривой (рис. 5.2). Разбиваем кривую точками на gif" name="object427" align=absmiddle width=163 height=149> частей произвольным образом.

Назовем эти части кривой элементарными дугами.

На каждой элементарной дуге произвольно выбираем точку и составляем интегральную сумму



где

Пусть
Определение 5.2.



называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции по кривой в направлении от точки до точки . Обозначение



Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции :



Сумму этих двух интегралов также называют криволинейным интегралом и обозначают символом



Итак, по определению



Пример 2.

Вычислить где -парабола

Решение.



(Вместо подставили , ).



Определение интеграла от комплексной функции. Пусть задана непрерывная спрямляемая кривая и указано направление на этой кривой, например, от до . На кривой задана также комплексная функция.



Разбиваем кривую точками



точку обозначим через , точку - через ) на частей произвольным образом (рис. 5.3). Между соседними точками деления кривой на части произвольно выбираем точки



Составим сумму

где



Сумму назовем интегральной суммой комплексной функции по кривой в направлении от к . Пусть



Определение 5.3.

Комплексное число называется пределом интегральной суммы при если для что для любого разбиения кривой на части и произвольного выбора точек имеем



как только



Определение 5.4.

Интегралом от комплексной функции по кривой в направлении от к называется предел интегральной суммы при

Обозначается интеграл символом .

И так, по определению




Замечание 1.

Если кривая замкнута, т.е. , то определение интеграла остается прежним. В этом случае направление интегрирования можно выбирать двумя способами.

  1. Интегрирование проводится по замкнутой кривой в направлении (положительном), при котором конечная область , ограниченная кривой , остается слева. (Иногда такое направление интегрирования по кривой называют интегрированием по кривой "против часовой стрелки") (рис.5.4). Обозначают в этом случае интеграл одним из следующих символов



  1. Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.



Последнее направление интегрирования называют также отрицательным.

Вычисление интеграла от комплексной функции.

Заменим в интегральной сумме



получим:




Переходя в этом уравнении к пределу при одновременно, это означает, что все а это в свою очередь означает, что и ) получим



или в другой записи



  1. формула для вычисления интеграла от комплексной функции с помощью криволинейных интегралов от действительных функций двух действительных переменных.

Замечание 2.

Если кривая представляет замкнутую кривую и интегрирование проводится в положительном направлении, то последняя формула примет вид



Замечание3.

Если кривая гладкая и задана в параметрическом виде



точка имеет координаты точка то легко проверить, что из последних формул получим





где

В случае замкнутой кривой соответствует началу обхода этой кривой, - концу обхода).

Пример 3.

Вычислить интеграл

Из точки проводим прямую параллельную оси Тогда угол между лучом и вектором является аргументом комплексного числа (рис. 5.5).

Теперь число можно представить в показательной форме

При изменении от 0 по точка опишет окружность . Следовательно, является комплексным уравнением окружности .

Для вычисления интеграла используем формулу



где уравнение является комплексным уравнением кривой интегрирования , — соответствует началу кривой интегрирования, — концу кривой интегрирования.



В случае нашего примера




Итак,



Свойства комплексного интеграла:

1.

Доказательство:



Интегральная сумма



в этом случае имеет вид:





Следующие свойства 2-6 вытекают из формулы



и соответствующих свойств интегралов от действительных функций двух действительных переменных

2.

3.

4.

5.

если (рис. 5.6).

6. Если комплексная функция непрерывна на кривой , то она интегрируемы по этой кривой.


7. Если на кривой имеем



то

где — длина кривой интегрирования .

Доказательство.

(рис. 5.7).



Но



— длина - го звена ломаной вписанной в кривую , — длина ломаной которая меньше длины кривой , т.е. и, следовательно



Переходя в этом неравенстве к пределу и учитывая, что получим доказываемое утверждение.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org