Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница5/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5.2. Теорема Коши для односвязной области

Для формулировки и доказательства теоремы Коши приведем некоторые определения.

Определение 5.5.

Область называется односвязной, если внутренность любой замкнутой кривой , принадлежащей области , состоит только из точек данной области.

Определение 5.6.

Комплексная функция называется аналитической в области и на ее границе , если эта функция аналитична в некоторой области , содержащей область вместе с ее границей .

Теорема 5.1.

Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл по любой спрямляемой замкнутой кривой , принадлежащей области , равен нулю, т.е. (рис. 5.8).

Доказательство .

Доказательство теоремы приведем для случая, когда кривая пересекается прямыми параллельными координатным осям не более чем в двух точках, точках, а частные производные функции непрерывны в области .

Для доказательства теоремы нам потребуется формула Грина:



где gif" name="object602" align=absmiddle width=170 height=127>- область, ограниченная кривой.

Применим формулу Грина к действительной и мнимой частям правой части формулы

учитывая, что для аналитической функции в области выполняются условия Коши-Римана



Имеем по формуле Грина



так как в области в силу условий Коши-Римана



Аналогично докажем, что



а, значит

Что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Если комплексная функция аналитична в односвязной области и на ее границе , то



В самом деле, если функция аналитична в области и на ее границе , то это означает, что существует область , содержащая область вместе с границей , и при этом в области функция аналитична, а тогда по теореме 5.1. имеем утверждение следствия 1.

Следствие 2.

Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования, т.е., если и - любые две точки области , a и - две любые спрямляемые кривые, соединяющие эти точки (рис. 5.9), то





В самом деле по теореме Коши имеем



Используя свойства интегралов, имеем



т.е.



что и требовалось доказать.


5.3. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для

комплексных функций

Определение 5.7.

Аналитическая в области функция называется первообразной функции в , если для всех .

Если - первообразная функции в области , тогда, очевидно, функция - также первообразная функции при любом постоянном .

В самом деле



т.е. функция - первообразная функции .

Покажем, что других первообразных функция не имеет, т.е. любая первообразная имеет вид Пусть - любая первообразная функции отличная от . Тогда - функция аналитическая в области как разность двух аналитических функций.

Имеем далее



Выделим действительную и мнимую части функции



и тогда



(Смотри определение производной и систему Коши-Римана).

Из последнего равенства имеем в области



откуда вытекает в области , .т.е.



Значит, , что и требовалось доказать. Таким образом, совокупность всех первообразных функции в области выражается формулой , где - некоторая первообразная функции , и - комплексная постоянная.

Пусть - односвязная область и спрямляемая простая дуга, лежащая в . Интеграл по дуге от аналитической в функции по следствию из теоремы Коши для односвязной области не зависит от пути интегрирования.

Также, как упомянутое следствие, доказывается следующее утверждение.

Комплексный интеграл от непрерывной в односвязной области функции также не зависит от пути интегрирования, если интеграл от вдоль любой спрямляемой кривой, лежащей в , равен нулю. Для интеграла, не зависящего от пути интегрирования, естественно ограничиться указанием вместо пути интегрирования только его начала и конца , полагая



Теорема 5.2.

Пусть функция непрерывна в односвязной области и пусть интеграл от по любой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю. Тогда функция



есть первообразная функции в области .

Доказательство.

Покажем, что в

Имеем





при этом будем предполагать, что интегрирование ведется по отрезку прямой, соединяющей точки и . Такое предположение можно ввести, так как по условию интеграл не зависит от пути интегрирования.



Для того, чтобы доказать, что



изучим модуль разности

.

В силу непрерывности функции в точке для любого , если . Поэтому при , а значит будем иметь



(Смотри свойство комплексного интеграла, содержащее в себе неравенство; в нашем случае длина кривой интегрирования - это длина отрезка соединяющего точки и . Эта длина равна ).

Итак, имеем при что равносильно



Теорема доказана.

Следствие.

Если функция аналитическая в односвязной области , то функция



является первообразной для функции в области .

В самом деле, по теореме Коши для односвязной области для замкнутой кривой , тогда из теоремы вытекает утверждение следствия.

Теорема 5.3.

Если аналитична в односвязной области , то



где - любая первообразная функции в области .

Доказательство.

Как нами показано, функция



является первообразной для функции , а любая другая первообразная имеет вид

Полагая здесь имеем и тогда



что и требовалось доказать.

Замечание.

Пусть - многосвязная область и - аналитическая функция в. Если интеграл от по каждой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю, то к интегралу



можно применить все сказанное выше в этом пункте. Мы получим, что функции аналитична в , , , где - любая первообразная функции в . Если в многосвязной области существует хотя бы одна спрямляемая замкнутая кривая , для которой то для двух простых дуг, соединяющих c , значения интеграла от , вообще говоря, не будут равны и функция будет многозначной и говорить о ее производной не имеет смысла.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org