Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница6/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5.4. Теорема Коши для многосвязной области

Всякая неодносвязная область называется многосвязной. Рассмотрим, например, многосвязную область, граница которой состоит из замкнутой кривой (замкнутого контура) и замкнутых контуров лежащих внутри (рис. 5.10). На чертеже у нас

Границу многосвязной области обозначим через .



Интеграл по границе определим равенством



(Замкнутый контур при интегрировании обходится в положительном направлении, контура - в отрицательном).

Теорема 5.4. (Теорема Коши для многосвязной области).

Если комплексная функция аналитична в многосвязной области и на ее границе , то интеграл по границе области равен нулю, т.е.

Доказательство.

Рассмотрим случай (см. рис. 5.10). Проведем дополнительное построение: соединим отрезком кривые и отрезком и , отрезком и gif" name="object778" align=absmiddle width=168 height=136>. Получим две односвязные области с границей и с границей



По следствию 1 из теоремы Коши для односвязных областей и имеем:



Складывая эти два равенства, получим



Запишем это равенство подробнее:





Учитывая, что



а также, что



получим т.е.



что и требовалось доказать.

Следствие.

При условиях теоремы



В самом деле по теореме имеем



Отсюда



что и требовалось доказать.

Если (рис. 5.11), то последняя формула имеет вид





Пример.

Вычислить интеграл , где лежит внутри . Построим окружность : (рис. 5.12). В области , ограниченной окружностью и кривой , подынтегральная функция аналитична. Она аналитична также на кривых и . Значит по следствию имеем



Но ранее нами доказано , что



Значит



для любой кривой , содержащей внутри себя точку.

5.5. Формула Коши

Теорема 5.5.

Если функция аналитична в односвязной области и на ее границе, a - любая точка этой области, то



(формула Коши), где - граница области, .

Доказательство.

Пусть - любая точка области . Построим окружность радиуса с центром в точке и принадлежащую (рис. 5.13). Рассмотрим также вспомогательную функцию





заданную в замкнутой области . (Точка здесь рассматривается как переменная, ).

Функция аналитична во всех точках области , кроме точки , где знаменатель обращается в нуль. Эта аналитичность вытекает из аналитичности числителя и знаменателя в области и на ее границе. В силу аналитичности функция непрерывна в указанных точках

Покажем, что при функция также непрерывна.

В самом деле



т.е , что и означает непрерывность. Таким образом, функция непрерывна в (Замкнутой области а значит функция ограничена в , т.е. такая, что для имеем



Применим теперь к функции и многосвязной области, ограниченной замкнутыми кривыми и , следствие из теоремы Коши для многосвязной области

и получим

Отсюда получим



где - длина окружности , при этом радиус может быть сколь угодно малым.

Итак имеем

где , будучи положительным, стремится к нулю при

Но

Следовательно, из неравенства



имеем



а значит,

Подставим вместо его значение и получим







так как не зависит от переменной , то можно вынести за знак интеграла. Но следовательно .

Отсюда и следует формула Коши.

Теорема доказана.

Замечание 1.

Формула Коши дает возможность решать две задачи.

1-я задача - так называемая краевая задача.

Найти значение функции в любой внутренней точке односвязной области , если известны значения этой функции на границе области - кривой , т.е. при .

Формула Коши



дает решение поставленной задачи: вычислив интеграл и разделив его на , получим - значение функции в любой точке .

2-я задача. Вычислить интеграл



где - функция аналитическая на замкнутой кривой и внутри ее.

По формуле Коши имеем



Отсюда



Поставленная задача 2 решена.



Замечание 2.

Формула Коши имеет место и для многосвязной области, т.е. если функция аналитична внутри многосвязной области и на ее границе , a - любая внутренняя точка области (рис. 5.14), то



где



Доказательство этого утверждения имеется в книге .
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org