Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции



страница7/10
Дата01.07.2013
Размер1.05 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5.6. Бесконечная дифференцируемость аналитической

функции

Теорема 5.6.

Если функция аналитична в односвязной или многосвязной области и на ее границе , то в каждой точке этой области существует производная любого порядка, вычисляемая по формуле



Доказательство.

Пусть . В этом случае ясно, что в силу аналитичности функции в области в каждой точке области производная существует, и нам остается доказать, что для этой производной имеет место формула



Возьмем произвольную точку . По формуле Коши

будем иметь:





Составим отношение





Переходя к пределу под знаком интеграла при получим



что и требовалось доказать. (Нами не обоснован предельный переход под знаком интеграла. Его обоснование можно найти в книге ).

Аналогичным приемом доказывается существование и

формула



Методом математической индукции доказывается существование производной любого порядка и формула

gif" name="object919" align=absmiddle width=152 height=148>

Теорема доказана.

Теорема 5.7, (Mopepa).

Если функция непрерывна в односвязной области и интеграл от по любой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю, то аналитична в .

Доказательство.

По теореме 5.2. функция аналитична в и Но функция, аналитическая в , бесконечное число раз дифференцируема в , т.е., например, в а это означает аналитичность функции в области .

Теорема доказана.

5.7. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры

Как хорошо известно, методы ТАФ широко используются в других разделах математики. В частности, например, при доказательстве основной теоремы алгебры.

При доказательстве основной теоремы алгебры нам потребуется теорема Лиувилля.

Теорема 5.8. (Лиувилля).

Если функция - аналитична и ограничена во всей комплексной плоскости , то она представляет собой постоянную, т.е. для

Доказательство.

Пусть - произвольная точка плоскости , а окружность радиуса с центром .

По известной интегральной формуле для производных имеем



Так как что для то



и тогда



(См. 7 свойств интеграла, где I = 2nR, § 5.1).

Так как - любое положительное число, то а значит и для а следовательно , так как





Теорема доказана.

Теорема 5.9. (Основная теорема алгебры)

Всякий многочлен над полем комплексных чисел

( ) имеет по крайней мере один корень.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть многочлен не имеет корней. Тогда функция является во всей комплексной плоскости аналитической. Но так как что значит, для что для



В замкнутом круге функция - непрерывна как функция аналитическая в этом круге.

Из непрерывности в замкнутом круге следует ограниченность функции в этом круге. что для из данного круга . Полагая , получим для .

А тогда в силу теоремы Лиувилля имеем что противоречит определению функции . Итак, многочлен имеет по крайней мере один корень.

Теорема доказана.

Замечание.

Как утверждается в книге В.Монтуров и др. "Толковый словарь математических терминов". Москва, 1985 г.: "Основная теорема алгебры называется так потому, что основное содержание алгебры в XVII-XVII вв. сводилось к решению уравнений. Основная теорема алгебры была доказана впервые в XVII веке французским математиком Жиро-ром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком Гауссом".

6. Ряды
6.1. Числовые комплексные ряды

Определение 6.1.

Числовым комплексным рядом называется выражение следующего вида

(6.1)

где - комплексные числа.
Определение 6.2.

Сумма называется частичной суммой ряда.

Определение 6.2.

Числовой комплексный ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм. Число называется суммой ряда.

Теорема 6.1. (Критерии сходимости числового ряда).

Числовой ряд сходится тогда и только тогда, если последовательность его частичных сумм фундаментальна, т.е. если для любого числа натуральное число такое, что для и любого натурального имеем

(6. 2)

Доказательство.

Необходимость. Допустим, что числовой ряд сходится, тогда сходится последовательность , а тогда по необходимому и достаточному условию сходимости числовых последовательностей будет следовать, что - фундаментальная.

Достаточность. Пусть последовательность - фундаментальная, тогда последовательность сходится, и значит сходится и числовой комплексный ряд (6.1). Теорема доказана.

Замечание 1.

Из условия (6.2) при получаем условие при , т.е.



а значит и

(6. 3)

Условие (6.3), как известно, называют необходимым условием сходимости ряда. Пример 1.

Ряд при расходится, так как

и

Замечание 2.

Очевидно, если комплексный ряд сходится к сумме то одновременно сходятся действительные ряды

(6.4)

(6.5)

к и соответственно.

В самом деле, пусть



для что для всех





(6.6)

(6.7)

при это означает сходимость ряда (6.4) к и ряда (6.5) к . Пусть теперь имеем (6.6) и (6.7), т.е. ряды (6.4) и (6.5) сходятся. Тогда



при , а последнее означает сходимость комплексного ряда к сумме



Определение 6.3'.

Комплексный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(6.8)
Теорема 6.2.

Из абсолютной сходимости комплексного ряда следует его сходимость.

Доказательство.

Дано, что положительный ряд (6.8) сходится.



Но

(6.9)

(6.10)

По признаку сравнения положительных действительных рядов из неравенств (6.9), (6.10) и сходимости ряда (6.8) следует сходимость положительных действительных рядов

(6.11)

(6.12)

Сходимость последних рядов означает абсолютную сходимость рядов



Из теории действительных числовых рядов известно, что если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Итак, ряды (6.4) и (6.5) сходятся, а значит, как мы уже отмечали в данном параграфе, сходится комплексный ряд где .

Замечание 3.

Из неравенств



следует, что абсолютная сходимость комплексного ряда



эквивалентна одновременной абсолютной сходимости действительных рядов.

Следовательно, на абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами переносится теорема о том, что произвольное изменение порядка членов абсолютно сходящегося ряда не влияет на сумму ряда.

Произведением двух комплексных рядов

(6.14)

называется ряд

(6.15)

Если ряды (6.13) и (6.14) абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд (6.15), причем для сумм этих рядов имеет место равенство Последнее утверждение доказывается для комплексных рядов также, как и соответствующее утверждение для действительных рядов. Судить об абсолютной сходимости комплексного ряда т.е. о сходимости положительного ряда можно на основании любого признака сходимости рядов с неотрицательными членами, например, с помощью признака Коши.

Пример 2.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов заданного ряда



Применяя к последнему ряду признак Коши, имеем



Следовательно, ряд сходится абсолютно.

Если все члены комплексного ряда не обращаются в нуль, т.е. для то для исследования на абсолютную сходимость комплексного ряда можно применять признак Даламбера.

Пример 3.

Исследовать сходимость ряда

Решение.

Рассмотрим ряд составленный из модулей членов исходного ряда.

Применяя к ряду признак Даламбера, имеем



Следовательно, ряд сходится абсолютно.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconФункция, обратная данной
Функция обладает следующими свойствами: для любого уравнение имеет единственный корень. Т. е функция каждое свое значение принимает...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconВопросы к экзамену Комплексные числа и действия над ними Алгебра комплексных чисел Формы записи комплексного числа
Элементарные функции (дробно-линейная функция, функция Жуковского, показательная функция, тригонометрические и гиперболические функции,...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconДифференцируемость сложной функции
Если 1, – дифференцируемая в точке функция для; 2, – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция, – дифференцируемая функция...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconI. Математический анализ
Множества и операции над ними. Понятие отображения (функции). График функции. Обратная функция. Суперпозиции функций
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции iconПоказательная и логарифмическая функции показательная функция Функция y = a X
Функция y=ax, где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon7 Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция Опр
Опр. Пусть в области j компл переменной z задана функция f(z). Если для точки z0ÎJ, $ при Dz®0 предел разностного отношения,то этот...
Функция аналитична при, как функция обратная для аналитической функции icon«Функция»; познакомиться с чётными и нечётными функциями и их графиками; выработать умение строить графики чётных и нечётных функций и определять по графику вид функции
Актуализация знаний по темам: «Функция», «Способы задания функции», «Область определения функции», «Область значений функции»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org