Экзаменационные вопросы по курсу: "Линейная алгебра, второй семестр"



Скачать 76.03 Kb.
Дата01.07.2013
Размер76.03 Kb.
ТипЭкзаменационные вопросы
Экзаменационные вопросы по курсу:

“Линейная алгебра, второй семестр”

Факультет ПМ.
§1. Теория определителей.

  1. Дать определение антисимметрической функции линейной по всем аргументам. Доказать теорему о свойствах функций класса ASL(m, n).

  2. Доказать теорему единственности для функций класса ASL. Вывести из нее, что при m

  3. Дать определение определителя порядка n. Доказать существование определителя, используя разложение по некоторой строке.

  4. Доказать свойство линейности определителя относительно строк.

  5. Доказать антисимметричность определителя относительно перестановки строк. Вывести отсюда, что определитель не меняется при транспонировании.

  6. Доказать теорему Коши об определителе произведения двух матриц.

  7. Доказать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

  8. Вывести формулы Крамера для решения линейных систем.

  9. Дать определение базисного минора и ранга матрицы. Доказать теорему о базисном миноре.

  10. Доказать теорему Кронекера-Капелли.

  11. Доказать теорему о существовании нетривиального решения у однородной системы линейных уравнений, если число уравнений меньше числа неизвестных.

§2. Метод Гаусса.

  1. Дать определение эквивалентных матриц. Доказать, что всякая матрица эквивалентна ступенчатой.

  2. Доказать, что если матрицы A и B эквивалентны, то существует такая невырожденная квадратная матрица P, что B = PA.

  3. Доказать, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые соотношения между столбцами. Вывести отсюда способ нахождения ранга матрицы.

  4. Доказать, что если матрица A эквивалентна главной ступенчатой матрице T, у которой столбцы с номерами j1,…, jr являются главными, то столбцы матрицы A с теми же номерами линейно независимы и .

  5. Рассказать о способе решения линейных систем методом Гаусса.

  6. Обосновать метод Гаусса нахождения обратной матрицы.

§3. Векторные пространства.

  1. Дать аксиоматическое определение векторного пространства над полем k. Привести примеры. Доказать единственность нулевого и противоположного векторов. Вывести формулы 0u = 0, 0 = 0, (-1)u = -u.

  2. Дать определение подпространства и доказать признак подпространства. Привести примеры.

  3. Дать определение линейно зависимых и независимых систем векторов. Доказать, что если подсистема системы T линейно зависима, то и вся система T зависима.

  4. Дать определение базиса векторного пространства.
    Доказать, что система e =(e1,…, en) является базисом U тогда и только тогда, когда она линейно независима и e1,…, en = U. Дать определение координат вектора в данном базисе. Доказать формулы: (x + y)e = xe + ye; (x)e = xe.

  5. Доказать, что если базис U состоит из n векторов, а система T из N>n векторов, то эта система линейно зависима. Дать определение размерности векторного пространства.

  6. Доказать, что если пространство U конечномерно и V  U – его подпространство, то dim(U) > dim(V).

  7. Для любых конечномерных подпространств V1 и V2 доказать справедливость формулы: dim(V1 + V2) + dim(V1V2) = dim(V1) + dim(V2). Дать определение прямой суммы подпространств.

  8. Обосновать способ построения фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.

  9. Пусть e – базис векторного пространства размерности n и AMatnn. Доказать, что система векторов f = eA будет базисом тогда и только тогда, когда матрица A невырождена. Проверить, что xe = Axf.

§4. Линейные отображения.

  1. Дать определение линейного отображения  векторного пространства U в пространство V. Доказать, что (0) = 0. Построить пространство H(U, V) всех таких отображений. Дать определение композиции двух линейных отображений.

  2. Дать определение ядра и образа линейного отображения. Доказать условие инъективности линейного отображения.

  3. Доказать, что для линейного отображения : UV двух конечномерных пространств справедлива формула: dim(Ker()) + dim(Im()) = dim(U).

  4. Дать определение изоморфизма двух векторных пространств. Доказать, что всякие два конечномерные пространства одной размерности изоморфны между собой.

  5. Дать определение матрицы линейного отображения в данных базисах. Доказать формулу (u)f = (e)fue. Подсчитать матрицу композиции двух линейных отображений.

  6. Доказать, что пространство H(U, V) всех линейных отображений n-мерного пространства U в m-мерное пространство V изоморфно пространству матриц размера mn.

  7. Дать определение ранга линейного отображения. Доказать, что ранг отображения равен рангу матрицы этого отображения.

  8. Проверить, что если P – матрица перехода от базиса e к базису e, Q – матрица перехода от базиса f к базису f, A – матрица оператора в базисах e, f и A - матрица того же оператора в базисах e, f, то A = Q-1AP.

§5. Линейные операторы.

  1. Дать определение инвариантного подпространства относительно данного линейного оператора. Привести примеры.

  2. Дать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, характеристического многочлена. Доказать, что k будет собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда p() = 0.

  3. Определить подпространство V() собственных векторов оператора, относящихся к собственному значению . Доказать, что сумма всех этих подпространств является прямой.

  4. Доказать, что размерность подпространства V() (геометрическая кратность числа ) не превосходит алгебраической кратности корня  у характеристического многочлена оператора.

  5. Доказать, что матрица линейного оператора в пространстве размерности n приводится в некотором базисе к диагональному виду тогда и только тогда, когда во-первых, характеристический многочлен имеет в поле k ровно n корней с учетом их кратностей и, во-вторых, геометрическая кратность каждого корня совпадает с его алгебраической кратностью.

§6. Евклидовы пространства.

  1. Сформулировать аксиомы скалярного произведения. Вывести из них свойства скалярного произведения по второму сомножителю. Привести примеры. Дать определение длины вектора и проверить, что |u| = |||u|.

  2. Доказать неравенство Коши-Буняковского.

  3. Доказать неравенство треугольника.

  4. Определить матрицу Грама Gr(H) системы векторов H. Проверить, что если H= HS, то det(Gr(H)) = |det(S)|2det(Gr(H)) и uv = uetGr(e)ve.

  5. Дать определение ортогональных векторов и угла между векторами в вещественном случае. Доказать, что ортогональная система векторов линейно зависима только тогда, когда она содержит нулевой вектор.

  6. Описать процесс ортогонализации. Доказать, что определитель матрицы Грама системы векторов всегда является неотрицательным вещественным числом. В каком случае этот определитель равен 0?

  7. Доказать, что конечномерное евклидово пространство всегда имеет ортонормированный базис. Получить выражение для скалярного произведения векторов в таком базисе и выразить координаты вектора через скалярное произведение.

  8. Доказать теорему Пифагора и неравенство Бесселя.

  9. Условия ортогональности вектора и подпространства; двух подпространств. Ортогональные суммы подпространств. Доказать, что ортогональная сумма является прямой.

  10. Дать определение ортогонального дополнения к подпространству. Доказать, что в конечномерном случае ортогональное дополнение существует и определено однозначно.

  11. Проекция вектора на подпространство. Теорема о свойствах проекции. Минимальное свойство проекции. Расстояние от вектора до подпространства.

  12. Вывести формулу для вычисления расстояния от вектора до подпространства.

  13. Вывести формулу для вычисления объема параллелепипеда.

  14. Рассказать о методе наименьших квадратов.

§7. Отображения и операторы в евклидовых пространствах.

  1. Дать определение сопряженных отображений евклидовых пространств. Доказать, что в конечномерном случае сопряженное отображение существует и определено однозначно. Подсчитать матрицу сопряженного отображения.

  2. Доказать, что в конечномерном случае отображение  инъективно тогда и только тогда, когда отображение * сюръективно.

  3. Проверить, что если  - линейный оператор и  - его собственное значение, то - собственное значение *. Доказать, что если VU – инвариантное подпространство для оператора , то V инвариантно относительно *.

  4. Дать определение самосопряженного оператора. Доказать, что все корни его характеристического многочлена вещественны.

  5. Доказать теорему о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

  6. Дать определение нормы линейного оператора. Указать способ вычисления ||||.

  7. Дать определение изометрического оператора, ортогональной и унитарной матриц. Проверить, что ортогональное дополнение к инвариантному подпространству для такого оператора также будет инвариантным.

  8. Доказать теорему о каноническом виде унитарной матрицы.

§8. Функции на вещественных векторных пространствах.

  1. Дать определение линейной функции. Построить пространство L(U) всех таких функций на пространстве U. Определить строку m(e) коэффициентов линейной функции на базисе e и проверить, что m(u) = m(e)ue. Показать, что при переходе к новому базису f = eC строка меняется по правилу: m(f) = m(e)C.

  2. Для линейного отображения : UV построить отображение *: L(V)L(U) и проверить, что *(n) = n(h)(e)h.

  3. Дать определение билинейной функции b(x, y) на пространстве U. Построить пространство B(U) всех таких функций. Дать определение матрицы be билинейной функции в базисе e. Проверить формулы: b(x, y) = xetbeye; f = eC  bf = CtbeC.

  4. Доказать, что для конечномерного евклидова пространства U отображение : U L(U), определенное формулой (u)(x) = ux является изоморфизмом. Определить вектор Рисса v(m) линейной функции m и проверить, что v(*(m)) = *(v). Здесь : UV и * - сопряженное отображение.

  5. Доказать, что для конечномерного евклидова пространства U отображение : H(U)B(U), заданное формулой ()(x, y) = x(y) является изоморфизмом, переводящим самосопряженные операторы в симметрические билинейные функции.

  6. Дать определение квадратичной формы на векторном пространстве. Установить взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметрическими билинейными функциями. Дать определение матрицы квадратичной формы и вывести формулу q(x) = xetqexe.

  7. Доказать теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.

  8. Нормальный вид квадратичной формы. Ранг, индексы инерции и определитель.

  9. Доказать закон инерции квадратичных форм.

  10. Дать определение положительно определенной квадратичной формы. Доказать критерий Сильвестра.

Похожие:

Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра»
Экзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра» 2011/2012 уч г., спец. «Э», 1 курс, 3,5 г и 5 лет
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине «Линейная алгебра» (2011/2012 уч г., направление «Экономика», I курс, 1 семестр)

Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconЭкзаменационные вопросы по курсу лекций Линейная алгебра Лектор: Калугин Г. А
Характеристический многочлен и его инвариантность. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел"
Вопросы к экзамену по курсу “Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел”
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconЭкзаменационные вопросы курса «Линейная алгебра и геометрия»
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Общий анализ системы линейных уравнений
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconВопросы для подготовки к экзамену по курсу линейная алгебра и аналитическая геометрия потока ивт 160 162
Вопросы для подготовки к экзамену по курсу линейная алгебра и аналитическая геометрия потока ивт 160 – 162
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Экзаменационные вопросы по курсу: \"Линейная алгебра, второй семестр\" iconЭкзаменационные вопросы курса «Линейная алгебра и геометрия» для специальности «Прикладная математика и информатика»
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Общий анализ системы линейных уравнений
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org