Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества



Скачать 108.74 Kb.
Дата02.07.2013
Размер108.74 Kb.
ТипДокументы
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества.

Понятие множества является одним из неопределенных понятий. Существуют определяемые и неопределяемые множества. По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Число элементов конечного множества называется его объемом (N(A)).

Способы задания множеств:

1). Перечисление: A={a1,a2,a3,a4,…,an} 2). Формулой: B={bn} n€ 

Если элементы множества А являются элементами множества В, то говорят, что множество А есть подмножество множества В. ( А с В )

Если А есть подмножество В и В есть подмножество А, то очевидно, что А и В состоят из одинаковых элементов. ( А=В )

Основные числовые множества:

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Q – множество рациональных чисел

R – множество действительных (вещественных) чисел

C – множество комплексных чисел

Билет №2. Операции над множествами, их свойства: объединение, пересечение, разность.

1.Объединением (суммой) множеств А и В называется такое множество АUB (A+B), состоящие из тех и только тех элементов , которые входят хотя бы в одно из данных множеств

Свойства объединения:

1).AUB=BUA

2).АU(BUC)=(AUB)UC=AUBUC

3).AUØ=A

4).AcB, AUB=B

5).AUA=A

2.Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество AᴖB (А*В), элементы которого входят в оба данных множества.

Свойства пересечения:

1).АᴖВ=ВᴖА – коммутативность

2).Аᴖ(ВᴖС)=(АᴖВ) ᴖС=АᴖВᴖС

3).Аᴖ(ВUC)=(AᴖB)U(AᴖC) – дистрибутивность пересечения относительно объединения

4).АᴖА=А

5).АᴖØ=Ø

6).АсВ, АᴖВ=А

7).АU(BᴖC)=(AUB) ᴖ(AUC) –дистрибутивность объединения относительно пересечения

3.Разностью множеств А и В называется множество А\В (А-В), состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А, но не входят в В.

Свойства разности:

1).А\(А\В)=АᴖВ

2).А\А=Ø

3).А\Ø=А

4).АсВ, А\В=Ø

Если АсВ, тогда B\A – дополнение множества А до множества В.

Билет №3. Дополнение множества А до Ω, свойства Ā. Алгебра множеств.

Рассмотрим некоторое непустое множество и будем оперировать с подмножествами этого множества. В этом смысле это подмножество называется универсальным (Ω).

Дополнением любого множества (АсΩ) А до множества Ω называется Ω\А=Ā, элементами Ā являются те элементы Ω, которые не входят в А.

Свойства:

1).

2).gif" name="graphics3" align=bottom width=10 height=22 border=0>

3).=Ω

4).АUĀ=Ω

5).AᴖĀ=Ø

6).A\B=Aᴖ

7).=

8).=

Совокупность А подмножеств множества Ω называется алгеброй множеств, порожденной множеством Ω, если

Ω€А

Ą€А, В€А, то

ĄUB=A

ĄᴖB=A

Ą\B=A

То есть А – множество, элементами которого являются подмножества множества Ω замкнутые относительно основных множественных операций.

????????Билет №4. Числовые множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества. Декартово произведение множеств.

n-элементным кортежем называется упорядоченный набор из n-элементов, каждый из которых занимает определенное место в кортеже. (a1,a2,a3,…,an)

Элементы кортежа называют его компонентами или коэффициентами.

В отличии от элементов множеств, компоненты кортежа могут быть любой природы.

Пример: (1,а,а,2) (а,в,в,в,а) ({1,2},{1},{1},Ø)

Число элементов кортежей называется его длиной.

Два кортежа считаются равными, если их длины равны и соответствующие компоненты совпадают.

Билет №5. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Последовательность: Если каждому n (натуральному числу) отнесено по некоторому правилу вещественное число (еn) то получаем бесконечную последовательность. x1,x2, x3,x4,…,xn,… (1-1)

N→R (то есть последовательность есть отображение N на множество R)

Задание числовой последовательности (1-1) как правило сводится к заданию общего числа, как функции xn=f(n).

Общий член последовательности xn называют еще переменной (величиной)

а называется конечным пределом переменной xn (последовательность 1-1) , если для любого Ε>0 существует n>N | xn-a|<E (1-2)

(1-2) -E< xn-a<E  a-E< xnE → E окрестность точки а.



Если в (1-1) все xn=c=const, то с – предел такой последовательности.



Билет №6. Бесконечно малая величина. Связь предела и бесконечно малой величины

Переменная αn называется бесконечно малой, пробегающая последовательность значений (α1,α2) (2-1) если она имеет предел 0 (при n).

Переменная αn называется бесконечно малой, если для любого Е>0 существует N, что n>N |αn|<E

Из всех постоянных величин только 0 является бесконечно малым.

Из определения БМ и предела последовательности следует, что переменная величина, имеющая предел, отличается от своего предела на бесконечно малую.

Xn  =a Обозначим Xn-а=αn, тогда по определению предела

| αn |=| xn -a|<E (n>N) => αn – БМ.

Если разность между переменной xn и постоянным числом a является пределом xn.

Xn-a= αn - БМ, тогда для любого Ε>0 существует n>N |xn-a|<E =>


Билет №7. Свойства бесконечно малых величин.

1).Алгебраическая сумма конечного числа αn есть величина БМ.

Доказательство:

Дано: αn ,βn,ϒn - БМ, требуется доказать, что αn +βn+ϒn – БМ

Для любого E>0, так как αn - БМ, то E/3 найдется N1, что n> N1 |αn|< E/3

Аналогично по E/3 найдется N2, что n> N2 |βn|< E/3

Аналогично по E/3 найдется N3, что n> N3 |ϒn|< E/3

Возьмем наибольшее из чисел N1, N2, N3, тогда для

n>N  E>|αn| +|βn|+|ϒn|| αn +βn+ϒn| => αn +βn+ϒn – БМ, ч. и т. д.

Замечание: Доказательство можно провести для любого конечного числа БМ(к.), тогда для выбора номеров (N1… Nk) ,берем E/k.

2).Произведение БМ на величину ограниченную есть БМ

Доказательство:

Дано: αn – БМ, xn – ограниченная величина.

Доказать, что αn xn – БМ

Так как xn – ограниченная величина, то по определению существует А>0 для любого N |xn|A

E>0 – как угодно мало, так как αn – БМ, то

E/A найдется N>0 n>N |αn xn|< E/A => |αn|*| xn|< E/A

|αn|< E/A |xn|< A

|αn|*| xn|< E/A*A<E => αn xn – БМ, ч.и т.д.

3). Частное от деления БМ на величину , имеющую предел, отличный от нуля, есть БМ.

Дано: αn – БМ 

Доказать, что
αn/ xn – БМ

Билет №8. Бесконечно большие величины. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Переменная xn называется бесконечно большой величиной, если по любому сколь угодно большому положительному числу k найдется такой номер N n>N |xn|>k

xn 

Если ББ xn сохраняет знак хотя бы при достаточно больших n, то говорят, что xn , xn

Связь БМ и ББ

1). Величина αn=1/ xn обратная ББ xn является БМ

E>0 –как угодно мало, тогда так как xn – ББ, то по k=1/E найдется N n>N |xn|>k=1/E, тогда для таких N |αn|=| 1/xn|=1/| xn|<E= 1/(1/E) => |αn|<E => αn – БМ, ч.и т.д.

2). Величина xn =1/ αn обратная БМ αn является ББ

k>0 –как угодно мало, тогда так как αn – БМ, то по E=1/k найдется N n>N |αn|<E=1/k, тогда для таких N |xn|=| 1/αn|=1/| αn|>k= 1/(1/k) => |αn|<E => xn – ББ, ч.и т.д.

Билет №9. Признаки существования предела монотонной последовательности.

Переменная xn, пробегающая последовательность значений x1, x2, x3,…, xn называется возрастающей если x1< x2< x3<…< xn

неубывающей если x1 x2,x3 xn

убывающей если x1> x2> x3>…> xn

не возрастающей если x1 x2 x3 xn

Все эти последовательности называются монотонными.

Th1.

Если переменная неубывающая и ограниченна сверху, то она имеет конечный предел, все значения xn не превосходят ее предела.

Th2.

Если переменная xn невозрастающая и ограниченна снизу, то она имеет конечный предел, все значения xn не меньше ее предела.

Th1и2

Признак существования предела: Всякая ограниченная монотонная переменная имеет конечный предел.

Общий признак существования конечного предела переменной(необязательно монотонной) выражается из принципов сходимости Коши: Для того, чтобы переменная xn имела конечный предел необходимо и достаточно, чтобы для любого, как угодно малого E>0 существовал такой номер N и m>N выполнялось неравенство: |xn- xm|<E

Билет№10. Основные теоремы о пределах

Th1. О единственности предела.

Переменная xn не может иметь двух различных пределов.

Доказательство: от противного:





a≠b

так как переменная отличается от своего предела на бесконечно малую, то

xn=a+ αn, где αn - БМ

xn=b+ βn, где βn – БМ

0=(a-b)+(αn- βn) - невозможно, так как никакая const≠0 не может быть БМ => предположение a≠b

Неверно, то есть a=b.

Следствие: если две переменных xn и yn при всех значениях n равны и

 , то a=b – предельный переход в равенство.

Th2. О переходе к пределу в неравенстве.

Если для переменных xn и yn всегда выполняется неравенство xn yn и каждая из них имеет конечный предел   , то и для пределов выполняется неравенство того же смысла ab.

Доказательство: от противного:

a>b пусть E>0,что E окрестности (a-E, a+E) (b-E, b+E) не пересекаются, так как есть предел xn , то найдется такое N1, что при всех n>N1, xn€(a-E, a+E)

b=, то найдется N2, такие, что для всех n> N2 yn€ (b-E, b+E)

пусть N=max( N1, N2), при всех n>N все xn> yn, так как по предположению a>b, что противоречит условию теоремы, => a, ч. и т.д.

Замечание: Из xn< yn, не вытекает строгого неравенства для пределов, а следует

 

Xn=-1/n; yn=1/n  xn< yn

==0

Th3. Теорема о сжатой переменной.

Для переменных xn ,yn, zn всегда выполняется неравенство xn ynzn всегда и  =a, то и предел =a

E>0 пусть n>N1 xn€(a-E, a+E)

пусть n>N2 zn€(a-E, a+E)

пусть N=max( N1, N2), тогда при n>N будут выполняться оба условия для xn и zn, а так как по условию теоремы xn ynzn, yn€(a-E, a+E) => 

Th4. Об ограниченности переменной.

Если переменная xn имеет конечный предел  , то она ограничена

Доказательство: по E>0 найдем N n>N xn€(a-E, a+E) => внеE-окрестности точки a, при n>N будут находиться все или некоторые из первых N членов x1, x2, x3.

Раздвинем границы так, чтобы между новыми границами m и M содержались все m xnM, то есть xn ограничена, ч. и т.д.

Th5. О пределах: (xn± yn), (xn* yn), (xn/yn)

Если переменные xn ,yn ; =b; то их сумма(разность), произведение и частное также имеют конечный предел.

 = a

 = a

 = a (b

Доказательство:

Так как переменная отличается от своего предела на БМ, то

xn=a+αn (αn,βn) - БМ

yn=b+βn

Тогда xn± yn=( a+αn)n)= (aβ =>

Переменится xn± yn отличается от const (an≠βn) =>

= a, ч. и т.д.

Так как переменная отличается от своего предела на БМ, то

xn=a+αn (αn,βn) - БМ

yn=b+βn

Тогда xn± yn=( a+αn)n)=ab+an+bαn+αnβn => переменная xnyn отличается от const(ab) на БМ.

(aβn-bαn+αnβn) => = a, ч. и т.д.


=====================================================================================

Билет №11. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

Если при любой последовательности аргументов x1, x2, x3,…, xn(7-1),имеющая своим пределом n, соответствующая последовательность значений функций f(x1), f(x2), f(x3),…, f(xn)(7-2) имеет своим пределом число А, то А является пределом функции y=f(x), при x.

=A

Если при xn последовательность (7-2) x .

Если последовательность (7-2) – ББ при x, то f(x) называется ББ при x.

Дописать!!!!

Похожие:

Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconСписок вопросов по курсу «Дискретная математика» для направления 230102
Диаграммы Венна. Классификация множеств. Пересечение множеств. Объединение множеств. Свойства пересечения и объединения множеств....
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconЭкзаменационные вопросы по курсу дискретной математики
Понятие множества (определение, кардинальное число, булеан, способы задания множеств, диаграммы Венна). Операции над множествами....
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconГруппы: мк-301, мт-301
Понятия множества и отображения, способы задания множеств. Алгебра множеств и подмножеств. Теорема об отображении множества самого...
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconПрограмма Государственного экзамена по «тонкм»
Способы задания множеств. Пустое множество. Равные множества. Подмножества. Изображение множеств на диаграммах Эйлера-Венна
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconВопросы к экзамену по дисциплине Дискретная математика 3 семестр
Понятие множества. Способы задания множеств. Пустое множество. Подмножество. Равные множества. Булеан. Число элементов булеана конечного...
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconВопросы к зачету по дисциплине «Математика»
Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами и изображение их при помощи кругов...
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconПрограмма подготовки к экзаменам по курсу «Дискретная математика»
Основные определения. Способы задания множеств. Равенство множеств. Подмножество
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconПрограмма подготовки к экзаменам по курсу «Дискретная математика»
Основные определения. Способы задания множеств. Равенство множеств. Подмножество
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества iconВопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множеств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org