Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем



страница1/7
Дата02.07.2013
Размер1.49 Mb.
ТипЛекции
  1   2   3   4   5   6   7

  • Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана
  • Пузанов В. П.




ЛЕКЦИИ
ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет « Специальное машиностроение »

Кафедра « Подводные роботы и аппараты »
2004 год.

Введение. Понятие устойчивости автоматических систем.
Исследование динамических процессов, которые протекают в автоматических системах, это одна из основных задач теории автоматического управления и регулирования. В реальных условиях эксплуатации автоматические системы должны обеспечить заданный режим работы объекта управления при воздействии на него различных внешних возмущений. Внешние возмущения, действующие на объект управления, могут нарушить нормальное функционирование системы в целом (объект управления и система его управления).

Если система управления обеспечивает нормальное функционирование системы в целом при воздействии на объект управления и его систему управления различных возмущений, то говорят, что автоматическая система устойчива. Таким образом, в простейшем случае под устойчивостью системы понимают ее способность обеспечивать с заданной точностью движение объекта управления относительно некоторого состояния равновесия системы.

В простейшем случае понятие устойчивости системы определяется ее способностью возвращаться в состояние равновесия, после того как внешние силы, которые вывели систему из состояния равновесия, перестают действовать. В том случае, если система не возвращаться в состояние равновесия, после того как внешние силы, которые вывели систему из состояния равновесия, перестают действовать, а удаляется от него или совершают вокруг состояния равновесия гармонические колебания с возрастающей амплитудой, то говорят, что система неустойчива.

Устойчивость состояния равновесия системы имеет наглядную механическую интерпретацию. В качестве примера рассмотрим движение шарика массой по произвольной поверхности.

В случае, изображенном на рисунке В.1 при всяком отклонении шарика от состояния равновесия его движение из начального состояния будет происходить так, что шарик вновь вернется в состояние равновесия. Такое состояние равновесия устойчиво.


Случай, показанный на рисунке В.2, соответствует неустойчивому состоянию равновесия. Если шарик вывести из состояния равновесия, то его дальнейшее движение будет происходить так, что он будет от него удаляться.


Более сложный случай показан на рисунке В.3. Здесь имеются два



состояния равновесия: устойчивое и неустойчивое.
Движение шарика будет происходить к устойчивому состоянию равновесия лишь в том случае, когда начальное отклонение не вышло за некоторую границу, например, определяемую точкой неустойчивого состояния равновесия. Выйдя за эту границу, шарик будет двигаться, удаляясь от устойчивого состояния равновесия. Поэтому, как правило, рассматривается устойчивость системы в некоторой окрестности ее состояния равновесия. Это означает, что возмущения, действующие на систему, должны быть такими, чтобы траектории движения системы находились в некоторой достаточно малой окрестности состояния ее равновесия. Кроме этого приведенные примеры иллюстрируют известное положение механики: в положении равновесия всякая техническая система имеет минимум потенциальной энергии. И так как минимум потенциальной энергии всегда можно считать равным нулю, то в любой достаточно малой окрестности состояния равновесия потенциальная энергия будет положительна.

Физический смысл понятия устойчивости системы автоматического управления означает, что малые изменения входного сигнала или внешнего возмущения, начальных условий или параметров системы не приведут к значительным отклонениям от состояния равновесия.

Для того, чтобы дать математическую формулировку понятия устойчивости движения системы автоматического управления введем в рассмотрение так называемые невозмущенные состояния равновесия (например, состояние равновесия на рисунках В.1, В.2 и В.3) и возмущенные состояния равновесия системы (например, начальное положение шарика на рисунке В.1). Далее, в качестве невозмущенного состояния системы будем рассматривать не положение ее равновесия, как на рисунке В.1, а движение системы по некоторой заранее заданной траектории. При отсутствии возмущений движение системы будет происходить по заданной траектории, которая определяется согласно известным законам изменения во времени координат системы , , …, . Это движение системы будем называть невозмущенным ее движением. Так как система в реальных условиях эксплуатации находится под воздействием возмущающих факторов, ее действительное движение будет отличаться от невозмущенного движения. Действительное движение системы будем называть возмущенным движением. Возмущенное движение системы описывается изменением во времени независимых координат, которые обозначим как , , …, .

Пусть теперь в некоторый момент времени под действием внешней силы (возмущения) система занимает положение, которое характеризуется значениями независимых координат , , …, . Дальнейшее движение системы происходит в предположении, что внешние возмущения отсутствуют (свободное движение системы). При этом в каждый момент времени известны значения независимых координат системы , , …, .

Невозмущенное движение системы будет устойчивым, если начиная с некоторого момента времени будет выполняться система неравенств , где - заданные числа, .

Таким образом под устойчивостью невозмущенного движения системы будем понимать такое ее движение, при котором абсолютное значения отклонений действительных координат системы от заданных по истечении некоторого времени должны стать меньше некоторых заранее заданных положительных чисел.

1. Определение устойчивости систем по А. М. Ляпунову.
Поскольку математическими моделями систем автоматического управления являются обыкновенные дифференциальные уравнения, то аналитические исследования устойчивости динамических процессов в системе управления сводится к исследованию решений дифференциальных уравнений.

В 1892 году русский ученый А. М. Ляпунов опубликовал работу «Общая задача об устойчивости движения». В ней впервые было сформулировано строгое определение устойчивости движения. Данное А. М. Ляпуновым определение устойчивости оказалось настолько удачным и наилучшим образом, удовлетворяющим многим техническим задачам, что оно в настоящее время принято как основное.

Пусть математической моделью системы автоматического управления является система нелинейных дифференциальных уравнений - ого порядка, которая записана в нормальной форме Коши

, , (1.1)

где - переменные состояния системы управления, - известные функции переменных , , … , и такие, что система уравнений (1.1) удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.

Будем считать, что возмущающие воздействия отсутствуют и что под устойчивостью системы мы будем рассматривать как ее свойство свободного движения после начального отклонения системы, вызванного любыми причинами.

Пусть далее, в начальный момент времени известно начальное состояние системы

, . (1.2)

В принятых предположениях начальным условиям (1.2) соответствует единственное решение системы дифференциальных уравнений (1.1)

, . (1.3)

Это решение системы уравнений (1.1) можно рассматривать как некоторую траекторию в пространстве переменных состояния системы. Траектория (1.3) движения системы и подлежит исследованию на устойчивость.

Всякую траекторию движения системы управления, которая исследуется на устойчивость, будем называть невозмущенным движением системы и обозначать как , .

Здесь следует отметить, что выбор невозмущенного движения является произвольным. Это может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся. Поэтому, исследуя устойчивость системы (1.1) , вообще говоря, необходимо указать – об устойчивости какого невозмущенного движения системы , идет речь. Кроме этого следует учитывать, что невозмущенное движение системы управления является решением уравнений (1.1), которое удовлетворяет начальным условиям

, . (1.4)

Пусть теперь, заданы небольшие по абсолютной величине действительные числа , , … , . Рассмотрим движение системы уравнений (1.1) при начальных условиях

, (1.5)

Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (1.5), будем называть возмущенным движением, которое будем обозначать как . Другими словами, возмущенным движением системы называют всякое иное движение системы, которое отличается от невозмущенного.

Введем новые переменные

, (1.6)

равные разности переменных в возмущенном и невозмущенном движении системы. Переменные , называют отклонениями величин . Если все отклонения равны нулю

, , (1.7)

то возмущенное движение будет совпадать с невозмущенным движением . Это означает, что невозмущенному движению отвечают нулевые значения переменных .

Теперь можно записать уравнения возмущенного движения в отклонениях в виде

, , (1.8)

а невозмущенное движение будет , . Переменные являются координатами состояния системы (1.8).

Пусть при переменные принимают какие-либо свои начальные значения , из которых, по крайней мере, одно не равно нулю

, . (1.9)

Начальные значения отклонений (1.9) будем называть возмущениями.

Геометрически, невозмущенное движение системы - ого порядка можно представить условно в -мерном пространстве с координатными осями и добавлением еще оси времени (рис. 1.1) в виде некоторой интегральной кривой. Возмущенное движение , вызванное начальным отклонением при , изобразится другой интегральной кривой (рис. 1.1).

В отклонениях , ., то есть в пространстве координат состояния системы (1.8), эта картина возмущенного движения будет выглядеть, как показано на рисунке 1.2. При этом невозмущенное движение , изобразится прямой линией, совпадающей с осью .



Определение устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение системы , называется устойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое , зависящее от , что при начальных условиях

, , (1.10)

в дальнейшем движении будет все время

, . (1.11)

Иными словами, невозмущенное движение системы , называется устойчивым, если, задав «трубку» сколь угодно малого -мерного сечения (рис. 1.2), можно подобрать в начальный момент такую область начальных условий , зависящую от , что в дальнейшем с увеличением возмущенное движение , не выйдет из заданной трубки .

Невозмущенное движение , будет неустойчивым, если указанное условие не выполняется хотя бы для одного из .

Если при выполнении указанного выше определения имеем при , то невозмущенное движение , называется асимптотически устойчивым.

Если же при после любых больших начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом.

При определении устойчивости рассматривались интегральные кривые (рис. 1.1 и 1.2), Если же представить себе не интегральную кривую, а фазовую траекторию в - мерном пространстве с координатными осями , для системы уравнений (1.8), то в устойчивой системе согласно определению она будет иметь вид, изображенный на рис. 1.3.



Отметим некоторые особенности определения устойчивости по А. М. Ляпунову. Во-первых, предполагают, что возмущения налагаются только на начальные условия, иначе говоря, возмущенное движение происходит при тех же силах (источниках энергии), что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость рассматривают на бесконечно большом промежутке времени. В-третьих, возмущения предполагаются малыми. Несмотря на эти ограничения, определение А. М. Ляпунова устойчивости движения является эффективным и плодотворным в приложениях.

2. Функции Ляпунова.
В последующим придется иметь дело с непрерывными функциями координат состояния системы , обладающими свойством при . Такая функция называется знакоопределенной функцией если во всей рассматриваемой области окружающей начало координат, она сохраняет один и тот же знак и обращается в нуль только в точке начала координат. Например, при . Знакоопределенная функция может быть положительноопределенной или отрицательноопределенной. Если же функция сохраняет один и тот же знак, но обращается в нуль не только в начале координат, то такая функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной). Например, при обращается в нуль на прямой и . Наконец, функция будет знакопеременной, если, обращаясь в нуль в начале координат (и не только), она в рассматриваемой области не сохраняет одного и того же знака. Например, .

Согласно известному критерию Сильвестра, любая квадратичная форма координат будет знакоопределенной (положительной) тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициентов будут положительны. Например, квадратичная форма



будет положительноопределенной, так как для матрицы ее коэффициентов



имеем , и, наконец,

.

Описанные функции от координат состояния системы, обращающиеся в нуль в начале координат, играют важную роль в теоремах Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и называются функциями Ляпунова.

Пусть имеется нелинейная система, описываемая уравнениями динамики

, . (2.1)

Составим производную функции Ляпунова в силу уравнений системы

.

Используя уравнение (2.1), найдем

. (2.2)

Очевидно, что в результате тут получается тоже некоторая функция координат состояния системы

. (2.3)

Известно далее, что градиент функции есть вектор, определяемый следующими проекциями

.

Можно ввести вектор с проекциями, отвечающими уравнениям (2.1), а именно

.

Вектор будет вектором скорости изображающей точки в фазовом пространстве (рис. 2.1).

Согласно (2.2) получаем

, (2.4)

где под подразумевается совокупность всех координат состояния системы .

Итак, производная функции Ляпунова, составленная в силу уравнений системы, представляет собой скалярное произведение градиента этой функций на вектор фазовой скорости.


Вектор перпендикулярен к поверхности и направлен в сторону возрастания значения (рис.2.1). Если производная положительна, то согласно (2.4) вектор фазовой скорости составляет с острый угол, т.е. фазовая траектория пересекает поверхность в сторону увеличения значений . Если же , угол между и тупой, и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений .

К сожалению, не существует единого способа формирования функции Ляпунова для анализа конкретных систем автоматического управления. Наибольшее распространение для анализа устойчивости систем (и, в частности, широкого класса линейных систем) находят функции Ляпунова в виде квадратичных форм.

Квадратичная форма может быть представлена в виде

, , (2.5)

или в матричной форме

, (2.6)

где - симметричная матрица.

Квадратичная форма, представленная в виде (2.5) или (2.6), называется положительно определенной, отрицательно определенной, знакоположительной или знакоотрицательной, если соответственно , , или . Все остальные квадратичные формы называются знакопеременными. Укажем признаки, по которым можно проверить, какое из указанных выше свойств имеет изучаемая квадратичная форма или соответствующая ей матрица.

Квадратичная форма или соответствующая ей симметричная матрица, является положительно определенной, отрицательно определенной, знакоположительной или знакоотрицательной, неопределенной или тождественно равной нулю в том и только в том случае, если собственные значения матрицы , которые для симметричной матрицы действительны, соответственно все положительны, все отрицательны, все неположительны, имеют различные знаки или все равны нулю.

Сформулируем еще один признак определенной положительности квадратичной формы, известный как критерий Сильвестра.

Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы каждый из главных миноров

, (2.7)

матрицы был положителен.

  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Синтез алгоритмов управления линейными системами при неполной информации о векторе состояния системы
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Охватывает точки с координатами
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
В теории автоматического управления объектом исследования являются не реальные физические объекты и системы управления, а их математические...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Исследование точности дискретных линейных систем в установившемся режиме при детерминированных воздействиях
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Основы исследования систем автоматического управления методом гармонической линеаризации
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных систем автоматического
Охватывает начало координат и система устойчива. Если, то годограф Михайлова не охватывает начало координат, критерий Михайлова не...
Лекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем iconЛекции по курсу «теория автоматического управления»
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org