Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4]



Скачать 183.68 Kb.
страница1/2
Дата02.07.2013
Размер183.68 Kb.
ТипЛабораторная работа
  1   2

Решение нелинейных уравнений, стр.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ



Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4].

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) результаты вычислительного эксперимента; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал (если необходимо);

6) тексты программ.

Варианты заданий к задачам 2.1-2.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.A.

Фрагмент решения задачи 2.1 дан в ПРИЛОЖЕНИИ 2.B.

Задача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для решения задачи использовать метод бисекции. Найти корни с помощью встроенной функции fzero пакета MATLAB.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.

2. Используя пакет MATLAB, локализовать корни f(x)=0 графически.

3. Используя программу half (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.B), найти корни уравнения f(x)=0 с точностью с помощью метода бисекции.

4. Используя встроенную функции fzero пакета MATLAB, найти корни уравнения f(x)=0 с точностью .

5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.

Задача 2.2. Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью , двумя способами.

  1. Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [a, b].

  2. Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).

Сравнить число итераций в п. a), b).

Задача 2.3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью , используя метод простой итерации. К виду x=(x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.


a) Преобразовать уравнение к виду x=x-f(x), где =2/(M+m), , а x принадлежит отрезку локализации [a, b].

b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.

Использовать критерий окончания итерационного процесса вида , где в п. a) q=(M-m)/(M+m), в п. b) .

Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).

Задача 2.4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью , используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

Задача 2.5. Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a,b], с точностью , используя модификацию* метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5. По числу итераций определить кратность корня.

Задача 2.6. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

Задача 2.7. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих**. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

Задача 2.8. Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью , используя метод Ньютона.

УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.

Задача 2.9. a) Локализовать корни уравнения f(x)=0. Уточнить их с точностью , используя метод Ньютона. Для поиска кратного корня и определения его кратности следует использовать модификацию метода Ньютона для случая кратного корня с m=1,2,3. При любых ли начальных приближениях такой метод сходится?

b) Рассмотреть уравнение f(x)+=0, где . Найти корень кратности 1, используя метод Ньютона. Применить для нахождения кратного корня соответствующую модификацию* метода Ньютона. Удается ли найти кратный корень? Если нет, то использовать метод Ньютона с комплексными начальными приближениями. Сохранился ли кратный корень? Объяснить результаты.

Задача 2.10. Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений функции y=f(x) с шагом h=0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с точностью ). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.


ПРИЛОЖЕНИЕ 2.A.

Схема вариантов к лабораторной работе

N

Выполняемые задачи







1

2.1.1, 2.2.1, 2.10.1

7

2.1.7, 2.2.2, 2.10.3

2

2.1.2, 2.3.1, 2.9.1

8

2.1.8, 2.3.2, 2.9.3

3

2.1.3, 2.4.1, 2.8.1

9

2.1.9, 2.4.2, 2.8.3

4

2.1.4, 2.5.1, 2.10.2

10

2.1.10, 2.5.2, 2.10.4

5

2.1.5, 2.6.1, 2.9.2

11

2.1.11, 2.6.2, 2.9.4

6

2.1.6, 2.7.1, 2.8.2

12

2.1.12, 2.7.2, 2.8.4


ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Таблица к задаче 2.1

N

f(x)

g(x)

[a, b]

2.1.1







2.1.2







2.1.3







2.1.4







2.1.5







2.1.6







2.1.7.





[5,25]

2.1.8





[0.1,10]

2.1.9





[0.1,2]

2.1.10







2.1.11







2.1.12








Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3


N

f(x)

Найти корень

N

f(x)

2.2.1



отрицательный

2.3.1



2.2.2



положительный

2.3.2



2.2.3



положительный

2.3.3



2.2.4



наибольший по

модулю


2.3.4



2.2.5



все корни

2.3.5




Таблица к задаче 2.4

N

f(x)

[a, b]

2.4.1



[0.8,1.2]

2.4.2



[0.3,0.7]

2.4.3



[0.5,1]

2.4.4



[0,1]

2.4.5



[0,0.7]



Таблица к задаче 2.5

f(x)

N











2.5.1

4.545004

-3.055105

-18.06895

4.002429

4.722482

2.5.2

-2.656764

-3.406111

10.89372

-1.752935

-3.423612

2.5.3

-4.556062

2.93309

9.274868

-10.32081

0.422098

2.5.4

7.809249

16.28542

-2.771356

-27.95304

-11.33921

2.5.5

-13.0072

60.24546

-122.0716

105.6798

-30.19201



Таблица к задаче 2.6 Таблица к задаче 2.7

N

f(x)

Метод*

N

f(x)

2.6.1



упрощенный метод

Ньютона

2.7.1



2.6.2



метод ложного

положения

2.7.2



2.6.3



метод простой

итерации

2.7.3



2.6.4



метод

секущих

2.7.4



2.6.5



метод Стеффенсена

2.7.5




Таблица к задаче 2.8 Таблица к задаче 2.9

N

f(x)

N

f(x)

2.8.1



2.9.1



2.8.2



2.9.2



2.8.3



2.9.3



2.8.4



2.9.4



2.8.5



2.9.5




Таблица к задаче 2.10

N

F(x,y)

2.10.1

, ,

2.10.2

, ,

2.10.3

, ,

2.10.4

, ,

2.10.5

, ,



ПРИЛОЖЕНИЕ 2. В

Фрагмент решения задачи 2.1.0

=0, [a,b]=[0, ]

Аналитическое решение задачи:

, =1.31811607652818, =1.738244406014586

Численное решение задачи: Локализация корней для численного решения задачи:
f=inline('(cos(x))^2-(1/12)*cos(x)-(1/24)');% задание функции

format long;%формат вывода чисел

figure;%строим график для локализации корней на заданном промежутке

fplot(f,[0 pi]);

grid on;


Рисунок 1
Из графика функции представленного на рис.1 находим отрезки локализации: [1;1.5] и [1.5;2].
Метод бисекции
function [root,count, varargout] = half(fname, left, right, varargin)

% файл-функция находит корень уравнения f(x)=0

% методом половинного деления

% Использование

% root = half(fname, left, right, epsilon)

% fname - имя файл-функции, вычисляющей f(x)

% left, right - левая и правая границы отрезка, на

% котором находится корень

% epsilon - точность вычислений, если не задана, то

% по умолчанию 1.0e-03

% [root, Fun] = half(fname, left, right, epsilon)

% Fun = f(root)

% Если число входных аргументов равно четырем, то последний

% аргумент содержит точность вычислений, а если трем, то точность

% устанавливается по умолчанию 1.0e-03

switch nargin

case(4)

epsilon = varargin{1};

case(3)

epsilon = 1.0e-03;

otherwise

error('Может быть три или четыре входных аргумента')

end

% Проверка значений функции на границах отрезка

if feval(fname, left)*feval(fname, right) > 0

error('Одинаковые знаки функции на границах отрезка')

end

% Деление отрезка пополам

i=0;

while (right - left) > epsilon

i=i+1;%счетчик итераций

center = (right + left)/2; % вычисление середины отрезка

% проверка на равенство f(x) нулю в середине отрезка

if feval(fname, center) == 0

break % найден точный корень, дальше делить нет смысла

end

% Выбор нужной половины отрезка, на границах которой

% f(x) принимает значения разных знаков

if feval(fname, left)*feval(fname, center) < 0

right = center;

else

left = center;

end

end

% Приближенное значение корня равно координате любой границы

% последнего полученного отрезка

root = center;

count=i;

if nargout == 3

varargout{1} = feval(fname, root);

end

ПЕРВЫЙ КОРЕНЬ
[root1,iter1,froot1]=half(f,1,1.5, 1.0000e-010)
root1 =
1.31811607169220

iter1 =
33

froot1 =
-1.588901926696806e-011

Встроенная функция пакета MATLAB:

[MLroot1,fMLroot1]=fzero(f,[1 1.5])
MLroot1 =
1.31811607165282

fMLroot1 =
6.938893903907228e-018

Значение корня отличается от найденного с помощью функции half, переопределим параметр для задания погрешности: TolX=1e-10
Значение корня с заданной точностью 1.31811607165211
ВТОРОЙ КОРЕНЬ
[root2,iter2,froot2]=half(f,1.5,2,1.0000e-010)

root2 =
1.73824440600583

iter2 =
33

froot2 =
-3.595922171140131e-012
Значение корня с заданной точностью 1.73824440600583, число итераций 33.

[MLroot2,fMLroot2]=fzero(f,[1.5 2],optimset('TolX',1e-10))
MLroot2 =
1.73824440598006

fMLroot2 =
-1.418609674175286e-011

Значения корней в пределах заданной точности совпадают.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.C

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть необходимо решить уравнение
f(x)=0. (1)
Первым этапом в решении задачи отыскания корней нелинейного уравнения является локализация корней. Отрезок [a, b], содержащий только один корень уравнения (1), называется отрезком локализации корня. Для локализации корней широко применяют построение таблиц и графиков. Основанием для применения указанных способов служит хорошо известный факт математического анализа: если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка существует точка, в которой данная функция равняется нулю.

Если в произвольной точке х можно вычислить не только значение f , но и ее производную f ' , эффективным методом вычисления корня является метод Ньютона. При этом рассчитывается последовательность xi, сходящаяся к х0 :


Этот алгоритм обычно используется в стандартных программах компьютеров для вычисления квадратных корней чисел.

В качестве начальной точки в зависимости от свойств функции берется или левая точка х0=a (если f(a) f //(a)>0) или правая х0=b (если f(b) f//(b)>0)
Применение метода Ньютона к вычислению значений функции.

Пусть требуется найти значение заданной функции φ в заданной точке a. Считая a произвольной точкой области D(φ) или какой-либо её подобласти, функциональное соответствие

x=φ(a)

зададим неявно уравнением

F(a,x)=0 (2)

Таким, чтобы: 1) оно было локально эквивиалентным (в окрестности точки a) данному; 2) функция F была дифференцируема по второму аргументу; 3) функции F и F' были легко вычислимы.

При каждом фиксированном a уравнение (2) можно считать уравнением типа (1) и получать приближенно его корень – требуемое значение x=φ(a) – методом Ньютона. Для уравнения (2) формула принимает вид

, i=0,1,2,... , а x0 – задаваемое начальное приближение к x=φ(a).

Пример. , . Введем , и находим , тогда , где i=0,1,2,... , а x0 >0 – задается.

Метод секущих позволяет использовать быструю сходимость метода Ньютона, не вычисляя явно значение производной. Заменяя значение производной ее приближенной разностной формулой

получим рекуррентную формулу

В качестве начальных значений х0 и х1 используются любые приближенные значения корня х0 . Вычисление завершается, когда изменение х между двумя итерациями станет меньше, чем погрешность, требуемая для искомого корня.
Метод бисекции (деления отрезка пополам).
Пусть требуется с заданной точностью  > 0 найти корень уравнения (1). Отрезок локализации будем считать заданным. Предположим, что функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, т.е.
f(a)f(b)<0.

  1   2

Похожие:

Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconРешение нелинейных уравнений методом простых итераций. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconКонтрольная работа по теме: «Решение квадратных уравнений» 8 класс «Б» Контрольная работа по теме: «Решение квадратных уравнений»
Найдите два положительного числа, одно из которых на 2 больше другого, а их произведение равно 168
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconЛабораторная работа №1 Москва, 2007 Содержание Теоретический материал 3
Дерево решений – это граф, представляющий правила в иерархической последовательной структуре, где каждому объекту соответствует единственный...
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconРеферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными»
Тема моего реферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. (Историческая...
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconУрок разноуровневого повторения по теме: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
Тема урока выбрана в связи с тем, что задания по данной теме встречаются в краевых диагностических работах и на егэ и до 50% учащихся...
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconЛабораторная работа №4 Тема: Преобразование в пространстве
Цель: Выучить теоретический материал. Научиться выполнять преобразования в пространстве
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconРешение нелинейных уравнений и систем уравнений. Методы простой итерации и Ньютона
Пусть задана функция f(x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения
Лабораторная работа. Решение нелинейных уравнений теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 4] iconУроки по теме "Решение дробных рациональных уравнений"
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org