1. линейное векторное пространство



Дата03.07.2013
Размер32.7 Kb.
ТипДокументы

1. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО



Def.Множество называется линейным векторным пространством (ЛВП) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция сложения двух векторов (элементов множества) и операция умножения элемента множества на число (элемент поля) , удовлетворяющие следующим правилам:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. .
Свойства линейного пространства:

1) нулевой элемент в множестве определен однозначно,

2) для любого элемента обратный элемент определен однозначно,

3) ,

4) ,

5) если , то либо , либо .

Свойства легко доказываются исходя из определения, к примеру, пятое свойство:

пусть , тогда .
Примеры линейных пространств:

1) множество, состоящее из одного элемента gif" name="object22" align=absmiddle width=51 height=20> является линейным пространством над любым полем,

2) множество векторов на прямой, на плоскости, в пространстве,

3) наборы из чисел , где сложение и умножение определяется покомпонетно,

4) множество - множество многочленов степени не выше с коэффициентами из поля от переменной ,

5) множество функций , определенных на некотором произвольном множестве , со значениям в множестве ,

6) множество решений однородной системы уравнений,

7) является линейным пространством над полем ,

8) является линейным пространством над полем,
Def. Пусть дано линейное пространство . Линейной формой (линейным функционалом) называется отображение , обладающее свойствами:

1. ,

2. .

9) множество линейных форм называется сопряжённывм (двойственным) линейным пространством к .
Def. Пусть дано линейное пространство , его подмножество называется подпространством, если оно замкнуто относительно операции, сложения и умножения на число, определенных в пространстве , т.е., если выполнены следующие свойства:

1. ,

2. .
Лемма. Подпространство линейного пространства само является линейным пространством над тем же полем и с теми же операциями, что и .

Доказательство. Все условия в определении линейного пространства будут выполнены, т.к. все элементы являются элементами , а для элементов они выполнены по условию. #

Примеры подпространств. Пусть пространство - это множество векторов на плоскости, тогда следующие множества будут подпространствами:

1) ,

2) множество всех векторов, коллинеарных некоторому заданному вектору,

3) само пространство .
Def. Пусть дано линейное пространство и некоторые вектора из этого пространства. Их линейной комбинацией называется выражение вида , где - это некоторые числа из поля .
Def. Линейной оболочкой некоторой системы векторов (конечного числа) некоторого линейного пространства называется множество векторов, являющихся их линейной комбинацией, т.е. множество .

Def. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа не все равные нулю, такие, что , в противном случае система векторов называется линейно независимой.
Лемма. Если система векторов линейно зависима, то один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Пусть , причем существует , тогда имеем , поделив на , получим, что суть линейная комбинация остальных векторов. #
Лемма. Если система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима, то является линейной комбинацией векторов .

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущей леммы, с тем лишь замечанием, что если , то ненулевой коэффициент находится среди первых векторов, но тогда они линейно зависимы, что противоречит условию. #

Похожие:

1. линейное векторное пространство iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
1. линейное векторное пространство iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
1. линейное векторное пространство iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
1. линейное векторное пространство iconЛинейное (векторное) пространство над полем P
Пусть дано поле P. непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены...
1. линейное векторное пространство icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
1. линейное векторное пространство iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
1. линейное векторное пространство iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
1. линейное векторное пространство iconЛинейная алгебра и геометрия доц. В. М. Мануйлов
Линейное пространство. Определение, примеры. Линейная оболочка. Аффинное пространство
1. линейное векторное пространство iconДифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве
Пусть трехмерное точечное пространство, геометрическое векторное пространство. Множества будем называть промежутком и обозначать....
1. линейное векторное пространство iconО возможности моделирования сигналов и устройств средствами логики
Именно следствием этого является то, что классическое моделирование сигналов использует симметричные конструкции основных понятий...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org