Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники»



Скачать 88.32 Kb.
Дата08.10.2012
Размер88.32 Kb.
ТипКонкурс


Гимназическая научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку».

МАОУ «Гимназия №1» города Брянска

Конкурсная работа по математике

«Правильные многоугольники»

Выполнили:

учащиеся 9а класса

Кутузова Вероника

Москалева Алина

Руководитель работы:

учитель математики

Цивинская Любовь Владимировна

Брянск 2012

2

Содержание

Цели и задачи работы………………...………………………….стр. 3

Объект исследования…………..……………………...……....... стр. 4-7

Методы исследования…………………………………..……….стр. 8-10

Полученные результаты и их новизна……………………….....стр. 11

Актуальность……………………………………………………..стр. 12

Литература……………………………………………………......стр. 13

3

Цель и задачи работы.

При решении задач, связанных с правильными многоугольниками, мы часто сталкивались с громоздкими, тяжелыми для запоминания и, следовательно, сложными для использования формулами. Мы поставили перед собой цель упростить решение данных задач, составив компьютерную программу, в которой можно было бы, вводя значения, данные в задаче, находить всё неизвестное.

4

Объект исследования.

Правильный многоугольник.

Пра́вильный многоуго́льникэто выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его углы равны и все стороны равны.


На рисунке 1 представлены правильные треугольник, шестиугольник и четырехугольник.



Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Правильные многоугольники всегда выпуклые, но существуют и самопересекающиеся замкнутые ломаные, имеющие равные звенья и углы. Фигуры такого вида называются правильными звездчатыми многоугольниками или полиграммами, по аналогии с пентаграммой - правильной пятиконечной звездой (изображена внутри правильного пятиугольника на рис.2).

5

История.

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века.
Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m - 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2 — числа 3 и 5, а k1,k2 принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать более общо, из этого

6

следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно , где k0 — целое неотрицательное число, принимают значения 0 или 1, а pj — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

7

Применение.

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.



Виды паркета, состоящие из правильных многоугольников.

8

Методы исследования.

Мы выводили формулы для выражения каждого элемента правильного многоугольника. Для этого нам понадобилось вспомнить ранее пройденный материал, где была доказана теорема о том, что сумма углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2), исходя из того, что все углы правильного n-угольника равны, получаем, что каждый угол правильного n-угольника равен:


Пусть А1, A2, ... ,An - правильный многоугольник с центром О. Для получения формул, связывающих сторону n-угольника с радиусами вписанной и описанной окружности; формул площади и периметра n-угольника, мы рассмотрели треугольник А1ОA2, где О А1 – радиус описанной окружности, АA2 – сторона n-угольника, ОН ( ОН ┴ АА1 ) – радиус вписанной окружности. Вычислив угол ОА1Н, мы получили 90° - .

Следовательно, = sin ( 90° - ),

= cos

Отсюда выводим формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности:





9

А1Н =



























10











Полученные данные мы преобразовали в удобные и достаточно лёгкие формулы для нахождения элементов правильных треугольников, четырехугольников и шестиугольников. Эти формулы представлены в таблице.

n

a (R)

a (r)

R (a)

R (r)

r (a)

r (R)

P (a)

S (a)

S (R)

S (r)

3





















4





















6





















11

Полученные результаты и их новизна.

В результате нашей работы мы получили таблицу с конечными формулами для более быстрого и лёгкого вычисления параметров многоугольника. Недостатком данной таблицы является то, что она рассчитана только для многоугольников со сторонами 3, 4 и 6, а в задаче могут присутствовать и многоугольники с другим числом сторон. Поэтому мы решили разработать программу, с помощью которой можно было бы вычислять элементы и других многоугольниках, то есть универсальную.

12

Актуальность.

Результаты нашей работы полезны не только для учащихся, но и для преподавателей, так как разработанная нами компьютерная программа позволяет легко и быстро решать задачи, связанные с правильными многоугольниками, составлять новые задачи и значительно облегчает проверку решенных задач.

13

Литература.

  1. Геометрия 9 класс, Л.С Атанасян, М. «Просвещение» 1992

2. Дополнительные вопросы по математике Е.Н Турецкий ,

М. «Просвещение» 2000

3. http:/images.yandex.ru



Похожие:

Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconТесты для учеников 12 2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники» 14
Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники» 4
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» icon20. Правильные многогранники и их симметрия
По аналогии с правильными плоскими фигурами многоугольниками в пространстве определяют правильные многогранники: многогранник называется...
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconСамостоятельная работа Правильные многоугольники
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внутренних углов равен а 150о; б 144о?
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconПравильные многоугольники
Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно...
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» icon«Конструирование и исследование многоугольников (работа в тетради для исследований)»
Исследование №2 «Многоугольники». Конструируем многоугольники из тико-деталей, считаем количество углов и сторон, называем многоугольники...
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconВписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники
Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис. 54 ). Описанным около круга называется...
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconСеминар по теме: «правильные многоугольники»
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconПравильные многоугольники
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний угол в два раза меньше внутреннего?
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconУрок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности
Конкурсная работа по математике «Правильные многоугольники» iconРазработка урока Правильные многоугольники (9-й класс)
Оборудование: чертёжные принадлежности; мультимедийный проектор,карточки с заданиями, оформление доски: чертежи к задачам, тематические...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org