Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления



Скачать 157.94 Kb.
Дата07.07.2013
Размер157.94 Kb.
ТипУрок
УРОК №1.

Тема

История систем счисления. Позиционные системы счисления.
Цель урока: показать учащимся происхождение и сущность существующих систем счисления. Ввести понятия: система счисления, позиционные непозиционные системы счисления, алфавит, основание, базис системы счисления. Указать на достоинства и недостатки систем счисления. Организовать изучение темы в виде самостоятельной работы учащихся.

Задачи урока:

  • образовательные: закрепление знаний учащихся по теме «Системы счисления», Ввести понятия: система счисления, позиционные непозиционные системы счисления, алфавит, основание, базис системы счисления.

  • развивающие: совершенствование умственной деятельности учащихся, развитие мышления учащихся.

  • воспитательные: сознательное усвоение материала учащимися.

Материалы и оборудование к уроку: презентация, ПО Systems, NumLock Calculator, конспект урока, карточки с практической работой, опорный конспект.

Тип урока: комбинированный урок объяснения нового материала и решения задач.

Форма проведения урока: беседа, практическая работа по решению задач, парная, индивидуальная, фронтальная формы работы.

План урока:

  1. Новый материал.

  2. Практическая работа.

  3. Домашнее задание.

Ход урока:

  1. Новый материал.

  1. История систем счисления, позиционные, непозиционные системы счисления.

Учитель: Вся информация в компьютере кодируется числами. Кодируются данные вычислительных задач, буквы алфавитов, рисунки и музыка, кодируются управляющие сигналы и вся другая информация, с которой работает компьютер.

"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами.

Система счисления – совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.

Или

Система счисления - способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
Системы счисления делятся на следующие виды:
1. единичные системы (системы бирок);

2. непозиционные (кодовые) системы;

3. позиционные системы.

Единичные системы счисления

История развития способов счета насчитывает тысячелетия.
Менялись и средства счета: пальцы, камешки, узелки, счеты, арифмометры, компьютеры.

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, сколько полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.

Объясните почему не удобна эта система?

Ученик: Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными.

Учитель: С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Непозиционные системы счисления

1. Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.
Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

2. Римская система счисления.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).
Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11, а десятичное число 99 имеет вот такое представление: XCIХ=-10+100-1+10.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

3. Алфавитные системы счисления.

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.
В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например a = 1, b = 2, g = 3 и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв (i = 10, k = 20, l = 30, m = 40 и т.д.), а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв (r = 100, s = 200, t = 300 и т.д.). Например, число 141 обозначалось rma.

Древнерусская алфавитная система счисления

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.
Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.
Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности.

Десятичная система счисления пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э.

Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Совокупность различных цифр, используемых в системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

Для записи чисел в P-ичной системе счисления требуется P различных цифр

(0,1,...,P-1), т.е для двоичной -2 цифры, 10- ой –десять цифр, 16- ричной – 16 цифр.

Алфавиты систем счисления:

10 СС

2 СС

8 СС

16 СС

0

0

0

0

1

1

1

1

2




2

2

3




3

3

4




4

4

5




5

5

6




6

6

7




7

7

8







8

9







9










A










B










C










D










E










F

Вопрос учащимся: Как изменятся числа 172,3410 и 101,112 при перенесении запятой вправо на один (два) знак? Влево на один (два) знака?

Ответ: при перенесении запятой вправо на 1 разряд десятичное число увеличивается в 10 раз, двоичное - в 2 раза, при перенесении влево на 1 знак десятичное число уменьшается в 10 раз, двоичное в 2 раза. При перенесении запятой на 2 знака вправо (влево) аналогично десятичное число увеличивается в 102 раз (уменьшается в 102 раз), соответственно двоичное число увеличивается в 22 раз (уменьшается в 22 раз).
Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по её месту в записи числа, т.е. «вес» каждого разряда.

Пример. Выпишем базисы некоторых систем счисления.

Десятичная система: …, 0,001, 0,01, 1, 10, 102, 103, 104, ..., 10n, ...

Двоичная система: …,1/4, 1/2, 1, 2, 22, 23, 24, ..., 2n, ...

Восьмеричная система: …1/64, 1/8, 1, 8, 82, 83, 84, ..., 8n, ...

Базисы приведенных систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8.

Договоримся называть такие системы счисления традиционными. В более общем виде для традиционных позиционных систем счисления базис можно записать в виде:

, P-3 , P-2 , P-1 , 1 , P, P2 , PЗ ,…,Pn , …

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основание системы счисления.

Позиционные системы счисления с основанием Р будем называть Р-ичными.

Зная базис Р-ичной системы счисления, мы можем сказать, сколько «весит» единица каждого разряда в позиционной системе.

Наряду с широко известными {традиционными) системами счисления, базис которых образуют члены геометрических прогрессий, а значения цифр есть натуральные числа, существуют системы счисления, базисы которых построены на иных принципах. Такие системы счисления будем называть нетрадиционными.

Нетрадиционными, являются такие позиционные системы как факториальная, фибоначчиева, уравновешенная и другие.

Пример базисов нетрадиционных систем:

  1. Факториальная система: 1!, 2!, 3!, 4!, …, (n-1)!, n!, …(основана на определении факториала)

  2. Фибоначчиева система: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …(каждое следующее число равно сумме предыдущих двух).


Системы счисления в компьютерах

Учитель: Ввод информации в компьютер с клавиатуры и вывод на экран и принтер производится в привычной для нас десятичной системе. В настоящее время компьютеры работают с информацией, представленной в двоичной системе, имеющей перед другими системами большие преимущества. Двоичная система – основная для представления чисел, адресов ячеек, команд. Кроме двоичной и десятичной систем при работе компьютера используются восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления.

Восьмеричная система счисления используется в основном для представления команд в машинно-ориентированных языках программирования.

Шестнадцатеричная – для компактного (более обозримого) чем двоичное представления содержимого памяти.

Использовать для хранения и передачи 10-ную систему счисления не удобно, так как при хранении и передаче информации каждую цифру необходимо представлять некоторой физической величиной – например, амплитудой напряжения тока, направлением намагниченности магнитного материала и т. п. В условиях помех, чем больше число градаций этих физических величин (для 10 – ной системы оно равно десяти), тем больше вероятность переходов от одной градации к другой и появления ошибок. Это приводит к уменьшению надежности хранения и передачи информации. Возможность появления таких ошибок минимальна при использовании двоичной системы.

Применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, т. к. для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния.

  • для реализации двоичной системы счисления нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

  • при кодировании информации в двоичной системе наиболее просто технологически реализуются электронные схемы, выполняющие операции над числами (транзистор открыт или закрыт, импульс тока есть или нет, участок поверхности магнитного диска намагничен или размагничен).

  • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

  • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

  • двоичная арифметика намного проще десятичной.


Недостатки двоичной системы счисления:

  1. Необходимость и трудоемкость перевода чисел из 10-ной СС при вводе информации и при выводе результатов.

  2. Неэкономичность записи чисел, двоичная система требует больше разрядов, чем запись того же числа в других системах. (Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление).

А теперь подробнее познакомьтесь с системами счисления.

3. Практическая работа «Ознакомление с различными системами счисления».


  1. Запустить программу Системы счисления c CD-ROM.

  2. Ввести команду [Системы-Единичная].

  3. В появившемся диалоговом окне Единичная система ознакомиться с содержанием текстовых окон История системы и Сущность системы, а в окне Калькулятор набрать какое-либо число.

  4. Ввести команду [Системы-Древнеегипетская].

  5. В появившемся диалоговом окне Древнеегипетская система ознакомиться с содержанием текстовых окон История системы и Сущность системы, а в окне Калькулятор набрать число, например, 3252.

  6. Запустить программу NumLock Calculator.

  7. Ввести команду [Формат результата-Римский].

  8. В окне ввода данных ввести число, например, 99, и нажать клавишу со знаком «=». Появится результат, число, записанное в римской системе счисления.

После выполнения практической работы учащиеся получают задание:

Заполнить до конца таблицу, которую начали заполнять в начале урока (цифры алфавита должны отличаться по цвету от чисел ниже).

Использовать при заполнении таблицы не арифметику, а понятие старшего разряда. Например, в системе счисления с основанием 10 единицами разрядов служат последовательные степени числа 10, иначе говоря, 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда, т.е. за 9 следует число 10 – минимальное двузначное число.

10 СС

2 СС

8 СС

16 СС

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F


Подведем итоги, ответив на вопросы:

Вопросы:

  1. Почему, как вы думаете, для кодирования информации в компьютере используется двоичная система счисления? (простота кодирования и арифметических действий над числами, устройство ПК легко понимает сигналы, находящиеся в двух состояниях, есть сигнал -1, нет сигнала -0).

  2. Как вы думаете, есть ли недостаток двоичного кодирования? (Да, очень большая длина кода?)

  3. Как вы думаете, с какой целью в компьютере используются 8-ричная и 16-ричная система счисления? (для уменьшения длины кода, это экономит память компьютера).


4. Домашнее задание:

1. Выучить конспект.

2. Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина "Математические основы информатики". Элективный курс: учебное пособие. Задания 2-4, 7 параграф 1.1

3. Доп. задание:

Пример. Текст «Поезд 71 прибывает на 2 путь 1 платформы в 7 часов 30 минут», выдаваемый в виде «бегущей строки» на электронном справочном табло вокзала, содержит 60 символов. Каждый из этих символов — и буква, и знак препинания, и пробел, и цифра — кодируется с помощью таблицы кодировки.

Попробуйте ответить на следующие вопросы.



  1. Почему для кодирования чисел в ЭВМ используются спе­циальные методы, а не таблицы кодировки (вам, конечно же, понятна разница между цифрой и числом)!

  2. Почему в общем случае при кодировании чисел нельзя считать кодом числа последовательность кодов его цифр?



Литература:


  1. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. /Под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера: Том 1. – Лаборатория Базовых Знаний, 1999. – 304 с.: ил.

  2. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / Н.Д. Угринович, Л.Л. Босова, Н.И. Михайлова. – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. 400 с.: ил.

  3. Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина "Математические основы информатики". Элективный курс: учебное пособие - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

  4. Шауцукова Л.З. Информатика: Учебн. пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2003.9 - с. 82-85.

Похожие:

Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconСистемы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления
Цель: познакомить с историей возникновения и развития систем счисления, указать на основные недостатки и преимущества непозиционных...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconБилет №6 Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись чисел в позиционных системах счисления. Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Числа записываются с использованием особых знаковых систем
Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Все системы счисления делятся...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconФайловая оболочка far. Работа с файлами и каталогами
Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Смешанные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления icon2 Позиционные системы счисления
Система счисления — это совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемая для однозначной записи чисел. Все системы счисления...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления icon«Системы счисления»
Определение цифр. Определение системы счисления. Определение развёрнутой формы числа. Виды систем счислений (позиционные и непозиционные)....
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconУрок информатики по теме "Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Перевод чисел в десятичную систему счисления"
Изложение нового материала. Составление учащимися краткого конспекта нового материала
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconСистемы счисления
Цель: Познакомить учащихся с понятием систем счисления, развитием систем счисления от буквенных до позиционных, дать понятие основания...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconСистемы счисления
Перевод конечных p-ичных дробей. Двоичная система счисления. Дополнительный код. Переходы из систем счисления с основанием 2n в двоичную...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconУрок по теме «Арифметические основы эвм»
Познакомить учащихся с понятием системы счисления, развитием систем счисления от буквенных до позиционных, дать понятие алфавита...
Урок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления iconСистемы счисления Система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр)
В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее положения в числе
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org