01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена



Скачать 63.02 Kb.
Дата07.07.2013
Размер63.02 Kb.
ТипПрограмма
ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ

ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

01.01.06 - «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
1. СОДЕРЖАНИЕ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА




Тема и содержание раздела

Рекомендуемая литература

1

2

3



Пространства и формы: размерность и базис, двойственное пространство, билинейные и квадратичные формы

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1. Основы алгебры. – М.: МЦНМО, 2009.



Линейные операторы: алгебра линейных операторов, инвариантные пространства и собственные векторы, жорданова нормальная форма

Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986. – 304 с.; СПб.: «Лань», 2008.



Векторные пространства со скалярным произведением: евклидовы векторные пространства, эрмитовы векторные пространства, линейные операторы на пространствах со скалярным произведением, комплексификация и овеществление, ортогональные многочлены

Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – 5-е изд. – М.: «Добросвет»: МЦНМО, 1998. – 320 с.; М.: «Добросвет»: Изд-во «КДУ», 2006



Аффинные и евклидовы точечные пространства: аффинные пространства, евклидовы (точечные пространства), группы и геометрии, пространства с индефинитной метрикой

Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – 4-е изд. – М.: Наука, 2005. – 470 с.



Квадрики: квадратичные функции, квадрики в аффинном и евклидовом пространствах, проективные пространства, квадрики в проективном пространстве

Халмош П.Р. Конечномерные векторные пространства. – М.: Мир, 1970. – 264 с; М.−Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2002



Тензоры: начала тензорного исчисления, свёртка, симметризация и альтернирование тензоров, внешняя алгебра

Артин Э. Геометрическая алгебра. – М.: Мир, 1970. − 284 с.


2.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА



  1. Теорема о базисе конечномерного векторного пространства над полем.

  2. Закон измерения координат вектора при переходе к новому базису.

  3. Изоморфизм пространств одинаковой конечной размерности.

  4. Теорема о размерности суммы подпространств.

  5. Когда сумма подпространств является прямой?

  6. Теорема о размерности двойственного векторного пространства. Рефлексивность.

  7. Геометрическая интерпретация решений линейной однородной системы.

  8. Задание линейных отображений векторных пространств матрицами. Преобразование координат вектора.

  9. Критерий биективности линейного отображения в терминах ядра (в терминах образа).

  10. Алгебра линейных операторов. Минимальный многочлен. Критерий невырожденности оператора.

  11. Теорема о связи между матрицами линейного оператора в различных базисах.

  12. Инвариантные подпространства: общие факты; теорема об операторе проектирования.

  13. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен.

  14. Теорема о геометрической и алгебраической кратности. Свойства следа оператора.

  15. Теорема о диагонализируемости линейного оператора с простым спектром.

  16. Инвариантные подпространства комплексных и вещественных линейных операторов.

  17. Теорема о приведении комплексного линейного оператора к треугольному виду.

  18. Теорема Гамильтона-Кэли и её следствие.

  19. Формулировка теоремы о ЖНФ матрицы и её следствия (критерий диагонализируемости).

  20. Теорема о ЖНФ нильпотентной матрицы.

  21. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

  22. Единственность ЖНФ матрицы.

  23. Матрицы билинейной формы в различных базисах.

  24. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Квадратичные формы.

  25. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду.

  26. Однозначная определённость сигнатуры вещественной квадратичной формы (закон инерции).

  27. Метод Якоби приведения невырожденной симметричной билинейной формы.

  28. Положительно определённые формы и матрицы. Критерий Сильвестра.

  29. Канонический вид кососимметричной билинейной формы.

  30. Евклидовы векторные пространства. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия.

  31. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс Грама-Шмидта.

  32. Теорема об ортогональном разложении пространства.

  33. Естественный изоморфизм евклидова векторного пространства и двойственного пространства.

  34. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. Группы О(n) и SO(n).

  35. Связь между линейными операторами и билинейными формами на евклидовом векторном пространстве. Свойство самосопряжённости.

  36. Теорема о диагонализируемости самосопряжённого оператора.

  37. Приведение квадратичной формы к главным осям. Матричная формулировка.

  38. Теорема о приведении пары квадратичных форм.

  39. Теорема о каноническом виде матрицы ортогонального оператора.

  40. Теорема о представлении невырожденного оператора в виде композиции самосопряжённого и ортогонального операторов.

  41. Эрмитовы формы и пространства. Существование ортонормированного базиса.

  42. Эрмитовы и унитарные линейные операторы. Группы U(n) и SU(n).

  43. Аффинные пространства: изоморфизм; системы координат.

  44. Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений. Задание подпространств.

  45. Теорема о расстоянии от точки до плоскости в евклидовом пространстве.

  46. Метод наименьших квадратов. Понятие об аппроксимации функций. Переопределённые линейные системы.

  47. Теорема о расстоянии между плоскостями евклидова пространства.

  48. Определитель Грама и объём параллелепипеда. Понятие ориентации вещественного пространства.

  49. Разложение аффинного преобразования точечного пространства в произведении сдвига, движения с неподвижной точкой и растяжения во взаимно перпендикулярных направлениях.

  50. Определитель аффинного преобразования как коэффициент изменения ориентированного объёма.

  51. Классификация движений прямой и плоскости.

  52. Классификация движений трёхмерного евклидова пространства.

  53. Квадратичные функции на аффинном пространстве. Свойство центральности.

  54. Приведение квадратичной функции к каноническому виду.

  55. Соответствие между квадриками и квадратичными функциями.

  56. Типы квадрик.

  57. Малый и большой ранг квадрики. Свойства конусов и цилиндров.

  58. Понятие о тензорах. Тензоры валентности ≤ 2.

  59. Координаты тензора. Понятие о свёртке.

  60. Кососимметричные тензоры. Свойства операции альтернирования.

  61. Внешнее умножение и внешняя алгебра.

  62. Базис внешней алгебры.

  63. Внешнее умножение и определители.


3. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
а) основная


  1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1. Основы алгебры. – М.: МЦНМО, 2009.

  2. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986. – 304 с.; СПб.: «Лань», 2008.

  3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – 5-е изд. – М.: «Добросвет»: МЦНМО, 1998. – 320 с.; М.: «Добросвет»: Изд-во «КДУ», 2006

  4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – 4-е изд. – М.: Наука, 2005. – 470 с.

  5. Халмош П.Р. Конечномерные векторные пространства. – М.: Мир, 1970. – 264 с; М.−Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2002

  6. Артин Э. Геометрическая алгебра. – М.: Мир, 1970. − 284 с.


б) дополнительная


  1. Сборник задач по алгебре: В 2-х т. / Под ред. А.И. Кострикина. – М.: Физматлит, 2007. – Т.1: 264 с., Т.2: 168 с.

  2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. – М.: Наука, 1956. – 304 с.

  3. Фаддев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.: Наука, 1963; СПб.: «Лань», 2002. – 733.

  4. Стренг Г. Линейная алгебра и её применения. – М.: Мир, 1980. – 454 с.

  5. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.− М.: Наука, 1991.

  6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1976. – 368 с.

  7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 559 с.

  8. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 269 с.

Похожие:

01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» по физико-математическим наукам
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconВопросы вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 – математическая логика, алгебра и теория чисел
Истинностные значения формул, равносильность, равносильные преобразования формул. Представление истинностных функций формулами
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПрограмма экзамена по математике для поступления в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 Математическая логика, алгебра и теория чисел
Программа экзамена по математике для поступления в аспирантуру по специальности 01. 01. 06 – Математическая логика, алгебра и теория...
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПрограмма-минимум вак кандидатского экзамена по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел 01. 01. 06»
Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы ([3, §§5-6, 12],...
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconОписание некоторых классов тождеств алгебры m 3 (F) 01. 01. 06 математическая логика, алгебра и теория чисел

01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПчелинцев Сергей Валентинович
Строение и тождества ниль-алгебр, близких к ассоциативным, 1987, математическая логика, алгебра и теория чисел
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconРабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Составители: Верников Б. М., д ф м н., профессор кафедры алгебры и дискретной математики имкн урФУ, Коробков С. С., к ф м н., зав...
01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена iconПрограмма вступительного экзамена по специальности для поступающих в магистратуру по специальности
Логическое учение Античности. Логика Аристотеля. Учение о суждениях. Теория силлогизма. Логика стоиков, эпикурейцев и скептиков....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org