Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема



Скачать 307.16 Kb.
страница1/7
Дата07.07.2013
Размер307.16 Kb.
ТипГлава
  1   2   3   4   5   6   7


Глава III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ *
§ 1. Теорема Безу и её следствия

Теорема


Остаток от деления многочлена Рn(х) на двучлен (х – а) равен значению данного многочлена при х =а.

Доказательство


Pn(x) (х – а)

· Qn–1(x)

·

·

R,

где многочлены Qn–1 (x) – частное и R – остаток, полученные при делении, должны удовлетворять тождеству

Рп (х) = (х – а) · Qn–1(х) + R .

Полученное равенство, справедливое при любых значениях х, справедливо и при х = а. При этом,

Рn (а) = (а – а) · Qn–1(х) + R .

Следовательно, R = Рn (а), ч.т.д.

Заметим, что остаток при делении на многочлен первой степени является многочленом нулевой степени, то есть числом.

Следствие 1. Если многочлен Рn(х) делится без остатка на двучлен (х – а), то число а является корнем данного многочлена.

Доказательство. Если многочлен делится без остатка на (х – а), то R = 0. С другой стороны, по теореме Безу: R = Рn(а). Тогда, из совместного рассмотрения равенств

R = 0,

R = Pn(a)

следует, что Рn (а) = 0. То есть, число а является корнем данного многочлена, ч.т.д.

* Под уравнениями высших степеней понимаются целые рациональные уравнения, степень которых больше 2.

Следствие 2. Если число а – корень многочлена Рn), то этот многочлен делится на двучлен (х – а) без остатка.

Доказательство. Если число а – корень многочлена Рn(х), то Рn(а) = 0. С другой стороны, по теореме Безу: R = Рn(а). Тогда, из совместного рассмот-рения равенств

Рn(а) = 0,

Рn(а) = R

следует, что R = 0, ч.т.д.
§ 2. Правило Горнера

Правило Горнера позволяет найти коэффициенты частного и остаток, не производя "уголком" деления данного многочлена на двучлен (х – а).

При делении многочлена Рn(х) = А0xn + А1xn–1 + ...
+ Аn–1x + Аn на двучлен (х – а) образуется частное в виде многочлена (n – 1)-й степени:

Qn–1(x) = В0хn–1 + B1xn–2 + ... + Вn–2x + Вn–1

и числовой остаток R. А, так как, результат любого деления должен удовлетворять тождеству: делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток, то будем иметь
А0хn + А1xn–1 + А2хn–2 +. . . + Аn–1x + Аn

≡ (х а)( В0хn–1 + B1xn–2 + B2xn–3 +... + Вn–2x + Вn–1) + R

Раскроем скобки и приведем подобные члены в правой части равенства

В0хn + В1хn–1 + B2xn–2 + ... + Вn–1x + R

– aВ0хn–1–aВ1хn–2– ... – aВn–2x– a Вn–1 =

= В0хn + (B1 – aВ0n–1 + (B2 – aВ1n–2 + … + (Вn–1 – aВn–2)x + (R – aBn–1).
Многочлены, представленные в канонической форме, тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях аргумента. В данном случае, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

xn B0 = A0 B0 = A0 .

xn–1 B1 – aB0 = A1 B1 = A1 + B0a,

xn–2 B2 – aB1 = A2 B2 = A2 + B1a,

· · ·

· · ·

· · ·

x Bn-1 – aBn–2 = An–1 Bn–1 = An–2+ Bn–2a,

x0 R – aBn–1 = An R = An+ Bn–1a,

Вычисление коэффициентов частного и остатка удобно производить в таблице, в верхней строке которой записываются коэффициенты делимого, расположенного по всем последовательно убывающим степеням аргумента. Слева от таблицы записывается число а.


А0

А1

А2



Аn1

An

B
а
0 = A0

A1 + B0a

A2 + B1a



An-1 + Bn2a

An + Bn1a

B0

B1

B2



Bn1

R


Средняя строка таблицы предназначена для единообразных вычислений: к числу, записанному в данном столбце сверху, прибавляется произведение числа, записанного в предыдущем столбце внизу, на число а, записанное слева от таблицы. Это правило не распространяется только на крайний левый столбец таблицы, в котором старший коэффициент делимого без изменения становится старшим коэффициентом частного. Остальные коэффициенты частного, рас-положенного по всем убывающим степеням аргумента, поочередно вычисляются

в средней строке и результаты вычислений записываются в нижнюю строку. Последнее число в нижней строке есть остаток от деления многочлена Рn(х) на двучлен (х – а). Указанное правило заполнения таблицы носит название “правило Горнера”.
  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconТеорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема
Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему де­дукции, можно, очевидно, получить новые следствия
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconЛекция №15 (Теорема 21), [6] Метод покоординатного спуска. Лекция №16 (Теорема 24), [2, 3]
Теория двойственности нелинейного программирования. Лекция №4 (Теорема 10, леммы 5, 6, следствия 1 и 2), Лекция №5 (следствие 3),...
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconУравнения высших степеней
Некоторые виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное уравнение. Иногда можно разложить левую часть уравнения...
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconТеорема Безу. Корни многочленов
Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при...
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconУрок по теме «Корни многочлена. Теорема Безу» (2 урока)
«Корни многочлена» и разобрать теоремы Безу и Виета в ходе самостоятельной работы
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н
Симплексы и триангуляция множеств. Нумерации и лемма Шпернера. Теорема Брауера. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах....
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconТригонометрические суммы и их приложения
Теорема Виноградова о среднем для малых степеней. Оценки числа решений уравнения Харди (общий случай и малые показатели)
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Петровым Н. Н
Системы типа Каратеодори. Определение. Теорема существования решения задачи Коши. Теорема единственности. Теорема о продолжимости...
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconДифференциальная геометрия и топология
Теорема о неявных функциях (формулировка), теорема об обратном отображении, теорема "об образе"
Iii. Уравнения высших степеней § Теорема Безу и её следствия Теорема iconТеорема о неявной функции. Теорема
Теорема: Пусть функция f(x, y) и непрерывны в окрестности точки; кроме того, = 0 и. Тогда такие, что
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org