Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в



страница1/3
Дата07.07.2013
Размер0.82 Mb.
ТипМетодическое пособие
  1   2   3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теории вероятностей и оптимального управления

В.Г. Шарапов
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методическое пособие


Волгоград 2006
Рецензент:

канд. физ-мат. наук, доц. каф. информатики
и экспериментальной математики ВолГУ В.В.Попов

Шарапов, В. Г.

Линейная алгебра [Текст] : метод. пособие / В. Г. Шарапов ; ВолГУ, Каф. теории вероятностей и оптимального управления. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. - 52 с.

Методическое пособие "Линейная алгебра" предназначено для студентов физического факультета. В курсе "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" во втором семестре изучаются основы линейной алгебры.

 В.Г. Шарапов, 2006

 Издательство Волгоградского

государственного университета, 2006



Предисловие

Методическое пособие "Линейная алгебра " предназначено для студентов физического факультета. Оно является продолжением методического пособия "Аналитическая геометрия" и включает основной теоретический материал по курсу "Аналитическая геометрия и линейная алгебра", который изучается студентами физического факультета во втором семестре. В данном пособии предполагается, что в первом семестре изучены: 1) Матрицы и действия сложения матриц, умножение матриц на число, умножение матрицы на матрицу.

2) Определители квадратных матриц любого конечного порядка как ориентированный объём, их определение через перестановки и их вычисление способом элементарных преобразований столбцов (строк) и методом разложения по столбцу (строке).

3) Миноры и алгебраические дополнения.

4) Обратная матрица, её вычисление способом присоединённой матрицы и методом элементарных преобразований строк.

5) Определители транспонированной матрицы, обратной матрицы, определитель произведения матриц.

6) Пространство Rn, линейная зависимость и независимость в Rn.

7) Системы n линейных уравнений с n неизвестными, решения их методами Гаусса и Крамера и с использованием обратной матрицы.

Методическое пособие "Линейная алгебра " может быть полезно для студентов математиков.

Автор выражает благодарность В.В. Попову за ценные замечания.

1. Числовые поля

Числовым полем называется множество чисел K, снабжённое арифметическими операциями: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число, если  a, bK, a + bK, abK, aK, a/bK (b  0).


Примеры числовых полей: R  множество действительных чисел, Q  множество рациональных чисел, C  множество комплексных чисел. Множества, не являющиеся числовыми полями: N  множество натуральных чисел, Z  множество целых чисел, R\Q  множество иррациональных чисел.

В дальнейшем K означает произвольное числовое поле, K0 = K\{0}, Kmn  множество матриц с элементами из K с m строками и n столбцами.

Рассмотрим подробнее поле комплексных чисел.

Определение. Полем C комплексных чисел называется поле, которое содержит действительные числа и элемент i, такой что i2 = 1.

Комплексные числа записываются в виде a + ib, где a, bR. Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается , а b  мнимой частью и обозначается . Запись ib называется алгебраической формой комплексного числа z.

Комплексные числа удобно представлять на плоскости с прямоугольной системой координат, у которой ось Ox есть действительная ось, а ось Oy  мнимая ось.

При этом комплексное число можно рассматривать или как точку с координатами (a, b), или как вектор с координатами (a, b).

Длина вектора z(a, b) называется модулем числа z: . Угол между осью Ox и вектором z, взятый против часовой стрелки, называется аргументом числа z: (рис.1). Очевидно, что , , отсюда . Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Для комплексного числа z = a + ib число называется сопряжённым. Арифметические действия над комплексными числами производятся так же, как с действительными числами с учётом, что i2 = 1. Именно, для сложения и умножения имеем:





Заметим, что  действительное число.

Для деления получаем формулу

.

Умножение и деление комплексных чисел удобнее проводить в тригонометрической форме:



.

Из этой формулы вытекают формулы для деления и возведения в степень:

,

.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа есть решение уравнения zn = c.

Пусть |z| = s, arg z = . Тогда sn = r, n = + 2k, k Z . Отсюда (арифметическое значение корня), , т.е. (при этих значениях k получаются различные числа, а при бульших начинают повторяться).

Таким образом, мы получаем, что n-й комплексный корень из комплексного (а также действительного) числа, рассматриваемого в комплексном поле, имеет ровно n значений.

Утверждение. Сумма и произведение сопряжённых комплексных чисел есть действительные числа.

Доказательство. Если , то , .  

Имеются такие свойства арифметических действий над комплексными числами:

; ; ; .

Эти равенства доказываются непосредственной проверкой.

Утверждение. Если комплексное число получено через комплексные числа при помощи сложения, вычитания, умножения, деления, то заменяя числа сопряжёнными числами, получим число .

Доказывается математической индукцией по n.

Теорема (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами степени  1 имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Доказательство можно прочитать в [10], стр. 147  155.

Теорема. Остаток отделения многочлена f(x) на xc равен f(c).

Доказательство. .  

Следствие. Число c есть корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится на xc.

Пусть (1) с комплексными коэффициентами и 1  корень этого многочлена. Тогда , где g(x)  многочлен степени n  1. Опять по основной теореме он имеет корень 2 и . Продолжая так далее, получаем

.

Некоторые из этих корней, или все, могут совпадать.

Пусть многочлен (1) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , т.е. . Тогда  тоже корень этого уравнения, т.е. . Тогда многочлен f(x) будет делиться на

, (2) трёхчлен с действительными коэффициентами.

Имеем , где q(x)  многочлен степени n  2 с действительными коэффициентами.

В результате мы доказали теорему:

Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представим в виде произведения своего старшего коэффициента a0 и многочленов с действительными коэффициентами линейных вида x , соответствующих его действительным корням, и квадратных вида (2), соответствующих парам сопряжённых комплексных корней.

2. Группы

Группа (G,)  множество G, снабжённое операцией : GGG, , если выполняются условия:

  1. (ассоциативность);

  2. (существование нейтрального элемента);

  3. (существование обратного элемента).

Часто групповая операция  называется умножением, обозначается "", что обычно опускается. Именно, . В случае, когда операция называется умножением, нейтральный элемент называется единичным.

Примеры групп.

  1. .Здесь e = 0.

  2. . Здесь .

  3. ; ; . Здесь e = 1.

  4. Операция  умножение матриц, e = I (единичная матрица порядка n). Обратный элемент  обратная матрица A1.

  5. Операция  умножение матриц , e = I.

  6. . Операция  умножение, e = 1.

  7. Операция  умножение матриц.

Свойства групп.

Теорема. Пусть (G,)  группа.

  1. Нейтральный элемент e в группе единственный.

  2. единственный.

  3. .

  4. ; .

Доказательство. 1) Пусть e, e  нейтральные элементы. Тогда .

2) Пусть . Тогда .

4) .

3) .

Определение. Группа (G,) называется абелевой (или коммутативной), если . В этом случае часто групповая операция называется сложением и обозначается знаком "", нейтральный

элемент есть 0, а обратный элемент называется противоположным и обозначается a.

Упражнение. Определить, какие из перечисленных выше групп являются абелевыми.

Определение. Пусть (G,)  группа. Непустое подмножество называется подгруппой группы G, если: 1) и 2) .

Примеры подгрупп

  1. есть подгруппа группы .

  2. есть подгруппа .

Упражнение. Привести пример подгруппы группы .

Определение. Пусть (G,) и  группы. Отображение называется гомоморфизмом, если .

Теорема. Если  гомоморфизм групп (G,) и , то 1) ; 2) .

Доказательство. 1) . Умножим обе части на , получим .

2) . В силу единственности обратного элемента .

Примеры гомоморфизмов групп

  1. . .

  2. . .

Определение. Пусть  группы,  гомоморфизм. 1) Ядром Ker f гомоморфизма f называется множество элементов группы G, образом которых является нейтральный элемент в H: Ker f .

2) Образом гомоморфизма f называется множество элементов группы H, имеющих прообразы в группе G: , такие что .

Теорема. Если  гомоморфизм групп, то Ker f  подгруппа группы G, а подгруппа группы H.

Доказательство. 1) g1, g2  Ker ff(gi) = eH, i = 1, 2. Отсюда Ker f. Ker f.

2) . Отсюда

. h , . 

Примеры. 1) . есть равенство e0 = 1. Ker f = 0 = eG .

2) . Ker f = SL(n, K).

Изоморфизм групп

Определение. Пусть  группы. Гомоморфизм называется изоморфизмом, если он есть биекция, т.е. взаимно-однозначное отображение "на".

Первый из приведённых примеров гомоморфизмов является изоморфизмом.

Группа U(1) изоморфна группе SO(2). Изоморфизм f : U(1)  SO(2) задаётся равенством .

3. Базисный минор и ранг матрицы

Определение. Минором матрицы A порядка k называется определитель всякой подматрицы матрицы A, элементы которой лежат на пересечении некоторых k столбцов и некоторых k строк матрицы A.

Определение. Минор произвольной матрицы A называется базисным минором, если он отличен от нуля, а всякий минор бульшего порядка равен нулю. Столбцы (строки) соответствующей подматрицы называются базисными столбцами (строками).

Теорема (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы; любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных.

Доказательство. Дадим доказательство для строк. Для столбцов доказательство аналогично. Если базисные строки линейно зависимы, то одна из них есть комбинация остальных. Отнимая от этой строки эту комбинацию, что не должно изменить значение определителя, мы получаем нулевую строку, и, значит, определитель должен быть равен нулю. Противоречие доказывает первую часть теоремы.

Осталось доказать, что любая строка есть линейная комбинация базисных строк. Переставляя столбцы и строки, можно считать, что базисный минор расположен в верхнем левом углу матрицы. Добавим к нему iю строку и jй столбец:

.

Этот определитель равен нулю. Действительно, если ik или jk, то определитель имеет два равных столбца или строки и потому равен нулю. Если i > k и j > k, то этот минор бульшего порядка и по определению базисного минора равен нулю. Разложим определитель по последнему столбцу



Числа не зависят от j, M не зависит от i, и так как M  0, то полагая , получаем , что означает, что iя строка есть линейная комбинация базисных строк.  

Следствие. Определитель nго порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство. Упражнение.

Теорема. Если в nмерном линейном пространстве даны две системы векторов ; , из которых первая линейно независима и векторы которой линейно выражаются через вторую, то rs.

Доказательство. Пусть r > s. Тогда

.

Так как базисный минор имеет порядок  s, то существуют числа , не все равные нулю, что . Тогда

, что противоречит линейной независимости системы .  

Следствие 1. Всякие две эквивалентные, т.е. линейно выражающиеся друг через друга, линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов.

Следствие 2. Если две системы векторов линейно выражаются друг через друга, то они имеют равное число линейно независимых векторов.
  1   2   3

Похожие:

Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconЛ. С. Капитула латинский язык
Рецензенты: зав каф классической филологии Белорусского государственного университета, канд филол наук, доц. Г. И. Шевченко; зав...
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconСоставители: канд физ мат наук., доц
Одним из основных электрофизических параметров вещества является его удельное сопротивление
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconС. Н. Колупаева, канд физ мат наук, доцент, Л. Е. Попов, д-р физ мат наук, профессор
В работе рассмотрена дислокационная динамика кристаллографического скольжения. Показано, что дислокации при движении осуществляют...
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconВ практикуме по химической термодинамике. Предназначено для студентов 3-го курса факультета естест­венных наук Новосибирского государственного университета. Составители канд хим наук П. Н. Калинкин, канд хим наук, доц
Методическое пособие содержит описание лабораторных работ, выполняемых в практикуме по химической термодинамике
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconВопросы для подготовки к коллоквиумам по дисциплине «Экология человека» Коллоквиум №1 Основы антропологии
Антропология: Хрестоматия. Учебное пособие / Авторы-составители: канд. Биол наук, доц. Л. Б. Рыбалов, канд. Биол наук, доц. Т. Е....
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconУчебно-методическое пособие Санкт-Петербург (075. 8). Рецензент д-р экон наук, проф. Спбгпу демиденко Д. С
Николова Л. В. Инвестиции. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Учебно-методическое пособие/ Николова Л. В./ Спб.: Изд-во...
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconМетодическое пособие по курсовой работе москва 2009 Разработано М. Б. Раренко, канд филол наук Под ред. В. Н. Базылева, д-ра филол наук, доц
Категория определенности/неопределенности и способы ее выражения в современном английском языке
Методическое пособие Волгоград 2006 Рецензент: канд физ-мат наук, доц каф информатики и экспериментальной математики Волгу в iconО факторах, влияющих на репродуктивное поведение населения
Науч д-р физ мат наук, проф., зав каф системного анализа и управления Дмитриев Ю. Г
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org