Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации»



Скачать 85.58 Kb.
Дата07.07.2013
Размер85.58 Kb.
ТипДокументы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет автоматики и вычислительной техники
Кафедра автоматики и телемеханики

Работа № 1
«методы одномерной оптимизации»

Дисциплина «Методы оптимизации»

Выполнил студент гр. У-22 __________ /Лобастов В.А./ __________

(подпись) (дата)

Проверил к.т.н., доцент ___________ /Микрюкова В.И./ __________

(подпись) (дата)

Киров 2009

Цель: изучение методов одномерного поиска, а также исследование влияния параметров алгоритмов соответствующих методов на их эффективность.

Задание: найти оптимум заданной целевой функции одной переменной аналитическим способом, исследовать методы нахождения оптимума функции одной переменной (вариант № 4); исследовать влияние задаваемой точности решения и числа вычислений функции на показатели быстродействия.

  1. Аналитическое решение функции

Целевая функция: .

Интервал поиска: .









Стационарная точка А(2;2).

Необходимые условия того, что x* является точкой локального минимума дважды дифференцируемой функции f на открытом интервале (a, b):





Таким образом, необходимые условия того, что точка x* является точкой локального минимума, выполняются.

Теперь проверим достаточное условие: найдем порядок первой ненулевой производной (т.к. производные первого и второго порядка найдены и они обращаются в ноль, то начинаем поиск с производной третьего порядка): . Порядок первой ненулевой производной n=4 – четное, значит   точка локального оптимума.

Для точки выполняются необходимые и достаточные условия, поэтому данная точка является локальным минимумом.


График исходной целевой функции F(x) и ее производная P(x) представлены на рисунках 1 и 2 (красная линия – исходная функция, синяя – ее производная).



Рисунок 1 - График целевой функции и ее производной



Рисунок 2 - График целевой функции и ее производной

  1. Методы нахождения оптимума функции одной переменной

    1. Методы исключения интервалов

      1. Метод равномерного поиска

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 3 и 4 соответственно.



Рисунок 3 - Графическое решение метода равномерного поиска



Рисунок 4 - Таблица результатов

      1. Метод дихотомии

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 5 и 6 соответственно.



Рисунок 5 - Графическое решение метода дихотомии



Рисунок 6 - Таблица результатов

      1. Метод золотого сечения

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 7 и 8 соответственно.



Рисунок 7 - Графическое решение метода золотого сечения



Рисунок 8 - Таблица результатов

      1. Метод Фибоначчи

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 9 и 10 соответственно.



Рисунок 9 - Графическое решение метода Фибоначчи



Рисунок 10 - Таблица результатов

    1. Методы полиномиальной аппроксимации

      1. Метод квадратичной аппроксимации

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 11 и 12 соответственно.



Рисунок 11 - Графическое решение метода квадратичной аппроксимации



Рисунок 12 - Таблица результатов

      1. Метод Пауэлла

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 13 и 14 соответственно.



Рисунок 13 - Графическое решение метода Пауэлла



Рисунок 14 - Таблица результатов

    1. Методы с использованием производной

      1. Метод Ньютона-Рафсона

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 15 и 16 соответственно.



Рисунок 15 - Графическое решение метода Ньютона-Рафсона



Рисунок 16 - Таблица результатов

      1. Метод средней точки

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 17 и 18 соответственно.



Рисунок 17 - Графическое решение метода средней точки



Рисунок 18 - Таблица результатов

      1. Метод секущих

        Относительное уменьшение интервала (шаг) = 0,01.

        Число вычислений функций N = 10.

        Точка оптимума: .

Графическое решение метода и таблица результатов представлены на рисунках 19 и 20 соответственно.



Рисунок 19 - Графическое представление метода секущих



Рисунок 20 - Таблица результатов

Выводы: проведя оптимизацию данной целевой функции всеми вышеописанными методами, видим, что наиболее точными для определения точки оптимума оказались методы:

  1. из методов исключения интервалов – метод дихотомии и метод золотого сечения;

  2. из методов полиномиальной аппроксимации – метод Пауэлла;

  3. из методов с использованием производной – метод средней точки и метод Ньютона-Рафсона.

Полученные значения точки оптимума и значения функции в этой точке одинаковы с данными, полученными аналитически (см. п. 1), с учетом заданной точности .

  1. Исследование влияния задаваемой точности решения и числа вычислений функции на показатели быстродействия

    Влияние задаваемой точности решения на показатели быстродействия (количество вычислений N) представлено в таблице 1.

Таблица 1 - Влияние задаваемой точности решения на показатели быстродействия

    Методы оптимизации

    N

    =0,1

    =0,05

    =0,03

    =0,01

    =0,008

    Метод равномерного поиска

    19

    39

    65

    199

     

    Метод дихотомии

    5

    6

    7

    8

    8

    Метод золотого сечения

    6

    8

    9

    11

    12

    Метод Фибоначчи

     

     

     

     

     

    Метод квадратичной аппроксимации

    1

    1

    1

    1

    1

    Метод Пауэлла

    2

    2

    2

    3

    3

    Метод Ньютона-Рафсона

    6

    6

    6

    6

    6

    Метод средней точки

    9

    10

    11

    13

    13

    Метод секущих

    12

    14

    14

    16

    17

    Зависимость полученных результатов от количества вычислений N представлена в таблице 2.

Таблица 2 - Зависимость результатов от количества вычислений N

    Методы оптимизации

    N

    2

    4

    10

    20

    40

    Метод равномерного поиска

    2

    2

    2,2

    3,0256

    2,090909

    2,204426

    2

    2

    2,02439

    2,014394

    Метод дихотомии

    1,75

    3,378906

    2,125

    2,390869

    1,984375

    2,005829

    2,000488

    2,000006

     

    Метод золотого сечения

    2,145898

    2,536168

     

    2,003106

    2,000232

     

     

    Метод Фибоначчи

    2,495

    8,910936

    2,198

    3,004532

    2,005843

    2,000821

     

     



Похожие:

Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconВопросы к экзамену Постановка задач оптимизации. Классификация
Методы одномерной оптимизации без использования информации о производной: (методы пассивного поиска, дихотомии, деления пополам,...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconМетодические указания и задания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Методы оптимизации» Хабаровск Издательство тогу 2010
Методы одномерной оптимизации : методические указания и задания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Методы оптимизации»/...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconМетодЫ решения оптимизационной задачи 2 Методы одномерной минимизации 2
«Методы оптимизации» и «Теория принятия решений». Каждый метод представлен в виде отдельной функции-члена класса. Все однотипные...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconВопросы к экзамену по Методам Оптимизации. Классификация оптимизационных задач. Постановка задач оптимизации. Задачи конечномерной оптимизации. Дискретная оптимизация. Бесконечномерная оптимизация. Многокритериальные задачи
Методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных. Методы ньютоновского типа (2-го порядка). Метод Ньютона Рафсона. Метод...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconРабочая учебная программа по дисциплине «Методы оптимизации»
Изучение основ теории оптимизации и методов решения некоторых задач оптимизации аналитическими методами
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconЗадача оптимизации
Методы оптимизации используются широко и являются предметом специального раздела математики. При формализации процесса оптимизации...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconМетоды оптимизации Определения
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчётов методы оптимизации...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconМетоды оптимизации «из коробки»
Способы оптимизации сильно зависят от конкретной задачи. Свою роль в выборе способов оптимизации играют набор используемых на сайте...
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconМетоды оптимизации параметров систем автоматизации
Методы оптимизации параметров технических систем (поиска экстремума целевой функции) можно разделить на следующие классы
Работа №1 «методы одномерной оптимизации» Дисциплина «Методы оптимизации» iconСистема автоматизированного обучения и тестирования студентов по дисциплине «методы оптимизации»
Кроме того, некоторые дисциплины существенно лучше воспринимаются обучаемыми, если есть возможность визуально наблюдать результат...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org