Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве



Скачать 50.65 Kb.
Дата08.10.2012
Размер50.65 Kb.
ТипЛекция



2116.doc 08.10.12, М.

Лекция № 1 (06.09.11)

Глава 1. Векторная алгебра

§ 1.1. Векторы на плоскости и в пространстве

1.1.1. Определения направленного отрезка и вектора

Определение 1. Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек (на плоскости или в трёхмерном пространстве).

Если даны две точки A и B (рассматриваемые именно в этом порядке), то соответ­ствующий направленный отрезок будем обозначать (A, B). Отрезок (в обычном смысле), соединяющий точки A и B, будем обозначать AB. Я не исключаю случая, когда A = B (т. е. можно рассматривать направленный отрезок вида (A, A)). В этом случае отрезок AB пре­вращается в точку. Упорядоченность пары означает, что направленные отрезки (A, B) и (B, A) считаются различными, если AB.




Определение 2. В направленном отрезке (A, B) точка A называется началом, а точка Bконцом.

В направленном отрезке (A, A) начало совпадает с концом.

Определение 3. Направленный отрезок, начало которого совпадает с концом, на­зывается нулевым направленным отрезком.

Определение 4. Если AB, то (единственную) прямую, проходящую через точки A и B, будем называть несущей прямой (направленного отрезка (A, B)).

В случае A = B несущая прямая не определена однозначно.

Определение 5. Два направленных отрезка (A, B) и (C, D) называются эквивалент­ными (обозначение: (A, B)  (C, D)), если

1. Их несущие прямые параллельны или совпадают.

2. Длины соответствующих отрезков равны (|AB| = |CD|).

3. Данные направленные отрезки сонаправленны.

Если хотя бы один из направленных отрезков нулевой, то надо опустить первый и третий пункты (можно считать, что они в этом случае всегда выполняются).

Для любителей математической строгости приведу другой вариант определения эквивалентности направленных отрезков, вполне равносильный первому1. Он не содержит интуитивного и трудно аксиоматизируемого понятия сонаправленности.
Введём такое обозначение: если даны две точки A и B, то середину отрезка, соединяющего точки A и B, будем обозначать med AB (если точки A и B совпадают, то med AB = A)2.

Определение 6. Два направленных отрезка (A, B) и (C, D) называются эквивалент­ными, если med AD = med BC.

Упражнение. Докажите эквивалентность (равносильность) этих двух определений.

Определение 7. Множество всех направленных отрезков, эквивалентных какому-нибудь одному, называется вектором.

Ясно, что все направленные отрезки из этого множества можно получить из дан­ного с помощью сдвига, или параллельного переноса.

Векторы будем обозначать латинскими курсивными буквами со стрелками, напри­мер, . В печатных текстах принято другое обозначение − латинскими курсивными бук­вами, выделяемыми полужирным шрифтом (иногда тоже стрелками без выделения), на­пример, a. (Я буду здесь так же выделять обозначение вектора полужирным шрифтом.) Если же надо обозначить вектор, соответствующий направленному отрезку (A, B) (т. е. множество всех направленных отрезков, ему эквивалентных), то пользуются другим обо­значением: .

Предложение. Нулевой направленный отрезок эквивалентен другому направлен­ному отрезку тогда и только тогда, когда второй отрезок также нулевой.

Доказательство. Это очевидное следствие любого из двух определений.

Определение 8. Множество всех направленных отрезков, эквивалентных какому-нибудь (а следовательно, и любому) нулевому, называется нулевым вектором и обознача­ется 0.

1.1.2. Основные операции над векторами

Так мы будем называть операции сложения векторов, взятия противоположного вектора, умножения вектора на скаляр и вычитания.

Сначала определим операцию сложения двух направленных отрезков. Эта опера­ция не всегда определена. Она определена тогда и только тогда, когда конец первого от­резка совпадает с началом второго.

Определение 1. Суммою двух направленных отрезков (при выполнении вышепри­ведённого условия) называется направленный отрезок, начало которого совпадает с нача­лом первого данного отрезка, а конец − с концом второго.

Запишем это определение в виде формулы. Пусть даны два направленных отрезка: (A, B) и (C, D). Как сказано выше, их сумма существует в том и только том случае, когда B = C. Пусть это условие выполнено; тогда второй отрезок есть (B, D). Определение 1 можно теперь записать так:

(A, B) + (B, D) = (A, D).

Это правило сложения можно назвать правилом треугольника. Я его называю также правилом сокращения внутренних букв: всякий раз, когда у нас встречается выра­жение вида (A, B) + (B, D) (внутренние буквы совпадают), я могу заменить его на (A, D), т. е. внутренние буквы как бы сокращаются, остаются только внешние. Этим правилом можно пользоваться чисто формально, не обращаясь каждый раз к чертежу.

Теперь мы хотим определить сумму двух векторов. Вначале договоримся о неко­торой терминологии. Если дан вектор a, т. е. множество эквивалентных между собой на­правленных отрезков, и (A, B) − один из них, то мы будем говорить, что (A, B) есть один из представителей вектора a. Далее, представитель всегда можно выбрать так, чтобы его на­чало совпадало с любой наперёд заданной точкой. (В такой ситуации мы будем говорить, что мы прикладываем данный вектор к этой точке.) Точнее говоря, мы имеем

Предложение 1. Пусть дан вектор a и точка A (на плоскости или в пространстве). Тогда существует, и притом единственная, такая точка B, что направленный отрезок (A, B) является представителем вектора a (другими словами, = a).

Итак, пусть даны два произвольных вектора a и b (на плоскости или в простран­стве). Возьмём произвольный представитель вектора a, например, (A, B). Приложим век­тор b к точке B, т. е. найдём такой представитель (B, C) вектора b, что его начало совпа­дает с точкой B. Сложим теперь направленные отрезки (A, B) и (B, C), т. е. перейдём к от­резку (A, C), а от него к соответствующему вектору.

Определение 2. Вектор, полученный в результате вышеописанной процедуры, на­зывается суммою двух данных векторов a и b и обозначается a + b.

Заметим, что в отличие от суммы двух направленных отрезков сумма двух векто­ров, как это видно из описанной процедуры, всегда существует.

Возникает, однако, другой вопрос: однозначно ли определяется описанный выше вектор (сумма)? Если я возьму другой представитель первого вектора, то не получится ли у меня в конце другой вектор в качестве суммы? Оказывается, нет, получится другой на­правленный отрезок, но он будет соответствовать тому же самому вектору. В этом смысле наше определение 2 является, как говорят, корректным. Его корректность эквивалентна, очевидна, следующему утверждению.

Предложение 2. Если (A, B)  (A, B), а (B, C)  (B, C), то соответствующие суммы направленных отрезков (A, C) и (A, C) также будут эквивалентны.

Это предложение мы оставим без доказательства.

Заметим, что для сложения векторов также справедливо правило сокращения внут­ренних букв, а именно:

+=.

Это непосредственное следствие определения и корректности суммы векторов, а также правила сокращения внутренних букв для направленных отрезков.

Предложение 3. Для любого вектора a имеет место равенство a + 0 = a.

Доказательство. Пусть (A, B) − произвольный представитель вектора a, а в каче­стве представителя нулевого вектора возьмём (B, B). Тогда

a + 0 = +== a, QED3.

Рассмотрим теперь два свойства только что введённой операции сложения:

1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

2) a + b = b + a (коммутативность).

1 Я почерпнул его в учебнике П. С. Моденова «Аналитическая геометрия».

2 От латинского слова mediocritas ‛середина’.

3 Quod erat demonstrandum (лат.) ‛что и требовалось доказать’.


Похожие:

Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве icon4. Векторная алгебра
В математике рассматриваются только свободные векторы. Они имеют 2-е характеристики: длину и направление
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconПрограмма по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная алгебра
...
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconВопросы к коллоквиуму 1 курс химический факультет
Векторы в пространстве. Модуль вектора. Коллинеарные векторы, компланарные векторы
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconМетодические рекомендации для совместного изучения уравнения прямой линии на плоскости и прямой линии и плоскости в пространстве. Спк, 2009год
Методические рекомендации предназначены для самостоятельной подготовки и ликвидации пробелов в знаниях учащихся по теме «Управление...
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconОбзор глав, изучаемых по классам с указанием новаций, облегчающих усвоение, экономящих силы и время Курс математики Глава Векторы на плоскости
Важнейшие теоремы планиметрии. Декартовые координаты в пространстве. Понятие вектора. Сложение векторов. Произведение вектора на...
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconПрограмма государственного экзамена для специальности 010200 «Прикладная математика и информатика» Липецк 2005
Векторная алгебра. Аффинные координаты. Формулы преобразования координат. Прямые и плоскости
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconЛекция 5 по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
В предыдущих лекциях мы изучали прямые линии и плоскости, они задаются уравнениями первой степени: ax + by + cz + d = Сегодня мы...
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве iconЛинейное пространство
Векторы на плоскости или в пространстве. Напомним определение и действия с обычными векторами. Вектором является прямолинейный отрезок...
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве icon«Метод координат в пространстве»
Какой угол образуют единичные векторы и, если известно, что векторы + 2 и 5 4 взаимно перпендикулярны?
Лекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра § Векторы на плоскости и в пространстве icon"Перпендикулярность прямых и плоскостей. Векторы в пространстве"
Введём на плоскости декартовы координаты xОу. Преобразование некоторой фигуры F, при котором произвольная ее точка а (Х;у) переходит...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org