Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее»



страница1/8
Дата08.10.2012
Размер0.62 Mb.
ТипУрок
  1   2   3   4   5   6   7   8
Квадратичная функция, ее свойства и график

(20 часов)

Уроки 1-2. Функция у=х²

«Предмет математика настолько

серьезен, что полезно не

упустить случая сделать его

немного занимательнее».

Блез Паскаль

Цель урока:

Формировать умения и навыки, носящие в современных условиях общенаучный и общеинтеллектуальный характер;

Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления направленного на выбор оптимальных решений.

научить школьников применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.

Ход урока:

1.Актуализация знаний по теме урока.

2.Исторический экскурс.

3.Построение параболы по точкам и с помощью компьютерной программы.

4.Закрепление материала. Решение задач.

5.Итог урока
1.Актуализация знаний по теме урока.

Пусть х и у – некоторые числовые множества. Функцией называется множество f упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что х Є Х, у Є У, и каждое х входит в одну и только одну пару множества, а каждое у входит по крайней мере, в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у, и пишут у = f(x)

Функция занимает одно из центральных мест в школьном курсе алгебры, она имеет многочисленные приложения в физике .Сегодня мы начнем знакомство с новым классом функций – квадратичными функциями. Для начала обратимся к истории уже известной нам фигуры – параболы, затем рассмотрим ряд квадратичных функций и прикладных задач, связанных с ними.
2.История параболы.

Сообщение ученика, сопровождаемое презентацией. Коническими сечениями много занимались математики Древней Греции. Ученик Евклида, Аполлоний Пергский, живший в 260-170 г.г. до нашей эры, в основном труде “Конические сечения” дал полное изложение их теории. Долгое время конические сечения, считавшиеся вершиной греческой геометрии – эллипсы, параболы, гиперболы – казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности (см. миниатюру Конические сечения на сайте www.etudes.ru )

Уже в XVI Никколо Тарталья предположил, что траектория, брошенного тела, “не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой”;

в XVII веке Кеплер обнаружил, что по эллипсам двигаются планеты;

Галилео Галилей (XVI-XVII в.в.) показал, что параболы возникают в совсем “земной” ситуации. Догадка Галилея была гениально простой: тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе.

Интересные свойства параболы.

(см. приложение1)

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой её директрисой.


оптичекие свойства.avi

2. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет далёкой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.


3. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.




4. Конические сечения были открыты в Древней Греции и описаны Аполлонием Пергским (ок. 260 — ок. 170 гг. до н. э.). Коническими сечениями называют эллипс, гиперболу и параболу, так как эти кривые можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении плоскостью, не проходящей через вершину конуса. При этом поверхность конуса мыслится неограниченно продолженной в обе стороны от вершины. Почти 2 тыс. лет казалось, что теория конических сечений применима только к решению чисто математических задач. Но в XVI в. математик и астроном Иоганн Кеплер, стараясь описать законы движения планет, высказал гипотезу, что траектории движения планет Солнечной системы — это эллипсы. Правда, доказать это смог не Кеплер, а Исаак Ньютон



в 1687 г. в своей книге "Математические начала натуральной философии", которая послужила основой всей современной теоретической физики. Ньютон, хорошо знавший древнюю теорию конических сечений, справился с задачей доказательства эллиптичности планетных траекторий при помощи хитроумных геометрических построений и закона всемирного тяготения.

После того как в XVII в. философ и математик Р. Декарт ввел понятие координатной плоскости, оказалось возможным записать каждую линию на плоскости уравнением, связывающим ее текущие координаты. Уравнения, задающие эллипс (в частности окружность), гиперболу и параболу, во всякой системе декартовых координат являются уравнениями второй степени. Поэтому соответствующие линии называются кривыми второго порядка.

Кривые второго порядка часто фигурируют при математическом описании законов природы. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, сечение конуса описывает движения планет? Загадка. Ответа на этот вопрос пока нет. Но ясно, что если бы теория конических сечений не была заранее разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, а это затормозило бы развитие науки.

В школе рассматривается подробнее всего одно из конических сечений — парабола”.

Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола.



5. .Если вращать параболу вокруг оси её симметрии, то получится очень интересная поверхность, называемая параболоидом вращения.

6. Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.



7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

8. Фермы, поддерживающие железнодорожный мост длиной в 120 м, имеют вид параболы, заданной уравнением у = ax²..



9. Если в пустоте кинуть камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

10. Никогда не задумывались, но с детства знакомая нам радуга, тоже имеет форму параболы.


11. Форму параболы имеют и арки мостов, и струя воды, пущенная из шланга.



Уравнение параболы с осью, параллельной одной из осей координат.

Рассмотрим функцию у = х2

Вы, конечно, строили ее график и знаете, что у этой кривой есть специальное название – парабола.

Вспомним, какими свойствами обладает данная функция:

1. Четная степень х указывает на то, что изменение знака абсциссы любой точки не ме­няет знака ее ординаты, т. е. что точки парабо­лы с ординатами, отличными от нуля, сим­метричны относительно оси ординат.

2. Парабола имеет единственную точку,

лежащую на оси симметрии, — это ее вершина, совпадающая с началом координат.

3. Все точки параболы, кроме ее вершины, расположены над осью абсцисс, причем с увеличением абсолютных значений их абсцисс они неограниченно удаляются от оси абсцисс.

Построение такой параболы можно выполнить (рис. 1) по точ­кам, координаты которых даются в следующей таблице значений:


X

0

±1

±2

±3

±4

У

0

1

4

9

16




Можно, конечно, построить график в тетради по точкам, но гораздо удобнее и быстрее можно сделать это с помощью компьютера. Запускаем программу Advanced Grapher.(или любую другую программу для построения графиков функций). Вид окна программы изображен на рис. 1.

Используем следующие знаки арифметических операций: +, –, *, /, ^ соответственно для сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень. Для записи модуля |x| используем функцию ABS(x).Рис. 1. Окно приложения Advanced Grapher

Для построения нового графика нужно нажать кнопку на панели инструментов. На экране появляется окно Добавить график (Рис. 2). В поле ввода Формула вводим заданное выражение Y(x) =x^2.
Рис. 2. Окно добавления графика

Далее выбираем цвет и толщину линии. Нажимаем кнопку ОК и график готов. 



Для построения графиков использовалась программа Advanced Grapher.

(см. сайт www.serpik.com/agrapher/index.htm)

Лабораторная работа

1. Загрузите программу построения графиков функций:

F1 – справка по работе с программой.

2. Построить график функции У=Х2 желтого цвета.

3. Построить график функции У=2Х2 зеленого цвета.

4. Построить график функции У=3Х2 – синего цвета.

5. Сделайте вывод: что должно произойти с графиком функции У=Х2 , чтобы получились графики У=2Х2 и У=3Х2.

6. Построить графики функций У=Х2 красного цвета и У=Х2 черного цвета.

7. Сделайте вывод: как из графика У=Х2 получить У=Х2 и У=Х2.

8. Построить график функции У= -4Х2 голубого цвета.

9. Сделать вывод: куда направлены ветви параболы при А>0 и при А<0.

10. Используя все построенные графики функций, сделать вывод: при каких значениях А функция принимает положительные и отрицательные значения, значение, равное нулю.

11. По графикам функций найти координаты точек, в которых значения функции равны нулю.

12. Сделать вывод: что называют нулями функции.

13. По графикам определить будет ли функция принимать одни и те же значения У при противоположных значениях Х.

14. Сделайте вывод: симметричны ли графики данных функции относительно осей координат.

15. Как записать в общем виде уравнения всех построенных графиков функций.

Способ построения параболы и ее вид следует запомнить, так как он довольно часто используется при построении графиков других функций. Свойства функции У=АХ2 вспомним с помощью алгоритма.

Алгоритм исследования свойств функции У=АХ2 :

1. Если А>0, то ветви параболы направлены вверх.

Если А<0, то ветви параболы направлены вниз.

2. Если А>1, то парабола растягивается от оси Ох вдоль оси Оу.

Если 0<А<1, то парабола сжимается к оси Ох вдоль оси Оу.

3. Функция У=АХ2 возрастает, если: А>0 и Х>=0 или А<0 и Х<=0

убывает, если: А>0 и Х<=0 или А<0 и Х>=0
упражнения

Какие из точек А( 2;1), В (-1; 1/2), С ( 1/2; 1/4), D ( 2;4) лежат на параболе у=х²? Как по отношению к точкам параболы расположены те из заданных точек, которые на ней не лежат?

2. По графикам определить знак коэффициента А функции У = АХ2?



3. Сравнить значения коэффициентов А с единицей в формулах построенных графиков функций.



4. Не выполняя построений графиков функций, определить, является ли убывающей на промежутке Х<0 функция: У = 4Х2; У = - 0,2Х2; У = - 5Х2; У = 1/3Х2.

5. Являются ли возрастающими на промежутке [-3; 3] функции: У = 0,1Х2; У = - 6Х2.

6. Пересекаются ли парабола у=х² и прямая:

а) у = 2х+8; б) у = 2х – 3; в) у = – х – 1/4; г) у = - х + 4 ?

Если пересекаются, то найдите координаты точек пересечения.

7. Решить графически уравнения:

а) х² - 2х + 1 = 0; б) х² - 2х – з =0; в) 4 х² - 12х + 8 = 0

8. При каких значениях к прямая у = кх – 6 и парабола у = х²:

а) имеют две точки пересечения

б) имеют одну точку пересечения

в) не имеют точек пересечения ?

9. При каких значениях параметра «к» парабола у = х² и прямая у = кх – 3 имеют общую точку, абсцисса которой равна:

а) х = 4; б) х = - 1; в) х = 3; г) х =√3.

Существуют ли еще и другие точки пересечения?

10. На параболе у = х² выбрана точка М(2;4) и через нее проведена секущая с угловым коэффициентом «к». Выразите через «к» абсциссу второй точки пересечения параболы и секущей. При каком значении «к» обе точки пересечения сольются, т.е. прямая будет касаться параболы?

11. Выберите самостоятельно точку, лежащую на параболе у = х² и ответьте на вопросы предыдущего задания.

12. При каком соотношении между «к» и «в» прямая у = к х + в и парабола у = х² имеют единственную точку пересечения?
Обобщение изученного.

Итог урока.

Урок 3-4. Прикладные задачи, связанные с квадратичной функцией.

Дополнительный материал (можно рассмотреть на уроке или факультативном занятии).
«Стоя на одном месте,

новых горизонтов не откроешь»

(поговорка)

Цель урока:



1.Развитие межпредметых связей.

2.Способствовать умению переноса знаний в новую ситуацию.

3.Развитие творческих способностей учащихся.

Ход урока:



1. Парабола, как огибающая.

2. Парабола, как нитка с бусинками.

3. Вышивание параболы.

4. Парабола, как след карандаша

5. Полет стрелы.

6. Задача о зеркале прожектора.

7.Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной функцией.
Другие способы получения параболы. Дополнительный материал

Учитель: Получить график квадратичной функции – параболу можно и другими способами.

Учитель: Параболу можно определить как кривую, состоящую из всех точек М плоскости, одинаково удалённых от заданной точки – фокуса параболы – и от заданной прямой – директрисы. Такое определение параболы наводит на идею создания чертёжного прибора, способного вычерчивать параболу. Прибор состоит из линейки и угольника, к одному из острых углов которого прикреплена нить, по длине равная прилегающему к этому углу катету-I. Другой конец нити закрепляется в точке плоскости – фокусе параболы, линейка прикладывается к директрисе, угольник скользит катетом-II по линейке, а карандаш (мел) удерживает нить в натянутом состоянии и прижимается к катету-I, скользя вдоль него. При движении угольника вдоль линейки карандаш (мел) вычерчивает параболу. (Учитель демонстрирует получение параболы с помощью модели, изготовленной из линейки, угольника, нити).

Учитель: Легко получить параболу с помощью обычного карманного фонарика. (Учитель демонстрирует получение кривых с помощью фонарика, экрана). Световое пятно от вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного повернём его, и пятно будет иметь форму овала. Такой овал называется эллипсом. При дальнейшем повороте фонарика эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность. Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые, которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения. Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из фонарика, является конусом.

Парабола, как огибающая.


Параболу можно рассматривать, как огибающую семейства прямых. Можно показать миниатюру «Парабола, как огибающая» (см. сайт www.etudes.ru ) Выполним следующие задания:

1.Возьмем прямоугольный лист бумаги, отметим точку А на нем и будем сгибать лист таким образом, чтобы нижний край проходил через точку А (рис.1).
рис.1
Отметим на наложенном нижнем крае точку, совпадающую с А, и. развернув лист, получим точку S, являющуюся следом точки А на нижнем крае.

Произведя много сгибаний и расправляя каждый раз лист, получим много следов S, S, S, … на нижнем крае и столько же линий сгиба m, m, m, …(рис. 2).






Рис.2

При внимательном рассмотрении листа можно разглядеть область на листе, через точки которой не проходят линии сгиба. Эта область содержит точку А и ограничена некоторой кривой, которая называется огибающее, каждая линия сгиба касается огибающей в некоторой точке. Огибающая является параболой.

2. Рассмотрим угол с вершиной О и сторонами n и m. На сторонах угла отметим две фиксированные точки N и M соответственно, равноудаленные от вершины угла О. На сторонах n и m рассмотрим соответствующие последовательности точек N, N, N, … и M, M, M, …, при чем MM = NN и точки M и N расположены по разные стороны от прямой MN
Перегибая угол по прямым MN и разгибая, получим следы сгибов. Рассмотренное семейство прямых имеет огибающую, являющуюся параболой.

Рис.4

3. Огибающая и оптическое свойство. Рассмотрим огибающую (т.е. параболу) для некоторого однопараметрического семейства линий сгиба. Пусть произвольная прямая m касается параболы в точке М, H – проекция точки М на нижний край k и S – след точки А на нижнем крае (рис. 5).

Тогда AM = HM по свойству параболы, AM = MS по свойству серединного перпендикуляра.

Длина наклонной MS равна длине перпендикуляра MH, следовательно, S совпадает с H. Поэтому отрезки AM и HM образуют с касательной равные углы, при чем HM перпендикулярно краю k.

Если в точке М установить зеркало вдоль касательной и обращенное отражающей поверхностью к параболе, то световой луч АМ после отражения в точке М пойдет вдоль луча HM. Следовательно, все лучи выходящие из фокуса А, после отражения, Рис.5

от параболического зеркала пойдут в одном и том же направлении, перпендикулярном краю k, т.е. перпендикулярно директрисе k (рис.5).

Парабола как нитка с бусинками

Начертите прямую d и на расстоянии р от нее отметьте точку F (рис. 6).



Рис. 6.

Выберите достаточно много чисел r, удовлетворяющих р неравенству

Для каждого выбранного числа r проведите параллельно прямой d прямую l, удаленную от d на расстояние r.

Опишите дугу s радиуса r с центром в точке F.

Точки пересечения построенных прямых l и соответствующих дуг s будут (как бусинки на нитку) нанизываться на параболу, поскольку они находятся на одинаковом расстоянии от фокуса F и директрисы d параболы.

Вышивание параболы

На листе плотной бумаги начертите прямую m и перпендикуляр FA к ней (рис. 7).



Рис. 7.

На прямой m, по обе стороны от точки А, выберите произвольно несколько точек М1, М2, … Мn.

Приложите прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой М1, один катет прошел через точку F и весь треугольник расположился выше прямой m.

На другом катете отметьте точку N1.

Точно так же постройте еще точки N1, N2, Nn.

Возьмите иглу с цветной ниткой, завяжите на нитке узелок, проткните с обратной стороны лист бумаги в точке М1 и соедините стежком точку М1 с точкой N1, потом точно так же — точку М2 с точкой N2, точку М3 с точкой N3, и так далее.

Вы заметили, что все нитки сгущаются (можно сказать, скапливаются) вокруг одной и той же кривой? "Увиделась" ли вам в этой кривой парабола?

Парабола как след карандаша


На листе плотной бумаги проведите прямую d, которая станет директрисой будущей параболы.

Выберите точку F (фокус параболы) вне этой прямой и воткните в нее булавку.

Чтобы вам легче было ориентироваться, обозначьте вершины используемого далее чертежного прямоугольного треугольника буквами А, В, С. Один конец нити, длина которой равна катету ВС, привяжите к булавке F, другой конец закрепите кнопкой в вершине В треугольника (рис. 8).



Рис. 8.

Теперь вам предстоит довольно непростая работа: приложите катет АС к прямой d и одной рукой передвигайте треугольник вдоль этой прямой; в другую руку возьмите карандаш и его острием М натягивайте нитку, прижимая ее к катету ВС треугольника.

Легко видеть, что отрезки MF и МС равны и, следовательно, острие М карандаша описывает параболу. Кропотливо? Да, но красиво!
Лабораторная работа. (Дополнительный материал для сильных учащихся)

1.Подготовьте набор принадлежностей для построения параболы. Для заданных фокуса и директрисы постройте соответствующую им параболу.

2.Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек на параболе до директрисы? Укажите соответствующую точку на параболе.

3.Для параболы с заданным фокусом и директрисой проведите касательную, перпендикулярную оси параболы.

4.Что будет происходить с параболой. Если фокус: а) приближается к директрисе; б) удаляется от директрисы?

5. Для параболы с заданным фокусом и директрисой проведите касательную, проходящую через данную точку: а) на параболе; б) вне параболы.

Докажите, что две касательные к параболе, проведенные из точки, принадлежащей директрисе, перпендикулярны.

7.Для заданных фокуса и директрисы параболы с помощью циркуля и линейки постройте несколько точек параболы.

8.Даны фокус параболы и две касательные. Постройте директрису этой параболы.

9. Даны фокус, касательная и на ней точка касания. Постройте директрису параболы.

10.Даны директриса и две касательные. Постройте фокус параболы.

11. Даны директриса, касательная и на ней точка касания. Постройте фокус параболы.

12.Даны две пересекающиеся прямые. Нарисуйте какую-нибудь параболу, касающуюся этих прямых. Сколько таких прямых? Какие точки плоскости могут быть фокусами этих парабол?

13.Дана парабола. Укажите способ нахождения ее фокуса и директрисы.

Показать миниатюру «Оптические свойства параболы» (см. сайт www.etudes.ru ).

Задача.


Построй те график функции у = х². Масштаб возьмите покрупней: 1=2см( 4 клетки). Отметьте на оси оу точку F (0, 1/4). Полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки М параболы. Затем приколите полоску в точке М и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс. Отметьте на полоске, на сколько она выйдет за ось абсцисс (рис. 4). Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. На сколько теперь опустился конец полоски за ось абсцисс?

Результат я могу вам сказать заранее: какую бы точку на параболе у = х² вы ни взяли, расстояние от этой точки до точки (0;1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы у = х² до точки (0;1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой у = - 1/4, параллельной оси ох.

Эта замечательная точка F (0;1/4) называется фокусом параболы у = х², а прямая

у = - 1/4- директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у всякой параболы.


Задача Полет стрелы


С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t – время полёта стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах) стрелы от поверхности земли можно найти по формуле h=-5t2+50t+20 (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным с 10 м/с2). Какой наибольшей высоты достигнет стрела? Постройте график движения стрелы по уравнению h= -5t2 +50t+20. Значение t[1;8] c шагом 1. Отметьте точку, в которой стрела достигнет наибольшей высоты.


Задача о зеркале прожектора


Знакомство с новым классом математических задач опять начнем с нескольких простых примеров. Мы уже встречали дифференциальные уравнения. Данный пример будет связан с определением формы зеркала прожектора. Соответствующую задачу сформулируем следующим образом: найти такую форму зеркала, чтобы лучи от точечного источника света после отражения в нем образовывали параллельный пучок.

Из соображений симметрии ясно, что поверхность зеркала должна быть поверхностью вращения с осью, проходящей через источник света параллельно отраженным лучам. Проведем через ось какую-нибудь плоскость и рас­смотрим сечение нашего зеркала этой плоскостью. Введем в ней систему координат х, у. Начало координат О со­вместим с источником света, а ось у направим параллельно отраженным лучам (см. рис.3). Уравнение линии пере­сечения данной плоскости с зеркалом запишется в виде у = φ (х). Наша задача заключается в том, чтобы найти функцию φ(х), определяющую форму зеркала.

Рассмотрим рис.4. Пусть М — произвольная точка искомой линии, ее координаты (х, у), NQ— касательная к линии в точке М, N — точка пересечения касательной с осью у. Луч света, выходящий из точки О, после отра­жения от зеркала в точке М должен идти параллельно оси у. Согласно закону отражения ОМN = РМQ. С другой стороны,ОNМ=РМQ, как соответственные при параллельных прямых. Таким образом, в треугольнике ОМN углы в вершинах М и N равны, т. е. этот треуголь­ник равнобедренный. В результате будем иметь:

ОN = ОМ =

Теперь рассмотрим ΔКМN и подсчитаем тангенс угла КМN, равного углу α:

tg α = KN/KM = (KO + ON)/KM.

Таким образом, tg α = (у + )/х = х/( – у). (1)

Угол α определяет наклон касательной в точке М к оси х, тангенс этого углу равен, как известно, производной у´: у´ = tg α . Подставляя это выражение в соотношение (1), получим следующее уравнение: у´ = х/( – у). (2)

Такие уравнения, связывающие независимую переменную х, искомую функ­цию у и ее производную у´, называются дифференциальны­ми уравнениями.

Примеры зависимостей, выраженных через квадратичную функцию.


1.Уравнение координаты тела, движущегося под действием постоянной силы

х = х0 + V0t +

(частные случаи этого движения х0 = 0, V0 = 0).

2. Зависимость кинетической энергии от скорости

W = ,

электрической мощности от тока N = RI2 и др.

3.В электроизмерительных приборах электромагнитной системы угол поворота стрелки пропорционален квадрату силы тока. Шкалы этих приборов называются квадратичными, они неравномерные.

4.Количество тепла, выделяемого за 1 с при прохождении тока в проводнике с постоянным сопротивлением R Ом и силой тока в 1 ампер выражается квадратичной функцией Q = 0,24 RI² (калорий). Графиком этой функции является правая ветвь параболы с вершиной в начале координат.

5.Груз, сброшенный с самолета на высоте h с начальной скоростью v0 при своем падении описывает правую ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной (0;h) : y = h -.

6.Тело, брошенное под углом к горизонту с начальной скоростью м/с (без учета сопротивления воздуха), летит по кривой, являющейся параболой: у = x·tg- .

Подбор материала к данному уроку можно поручить учащимся, посещающим факультатив и проявляющим интерес к предмету. Материал может быть представлен в форме доклада или в форме компьютерной презентации. Можно использовать также готовый математический этюд (см. сайт www.etudes.ru ).
Задача. Вдоль наклонной доски пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 0,5 м от начала пути шарик побывал дважды: через 1 и 4 с после начала движения. Считая движение равнопеременным, определить его начальную скорость и ускорение.

Решение. Здесь с и c есть абсциссы точек пересечения параболы, задаваемой формулой (где ), с прямой x = l = 0,5. Другими словами, при x = l, и есть корни квадратного уравнения , или

Используя теорему Виета, получаем:

, значит (м/с2) и (м/с2).
Итог урока

  1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconЭлективный курс «Занимательная математика»
«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным»
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconОбобщающий урок-игра по геометрии для 8 класса
Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным. Б. Паскаль
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconПредмет «математика» настолько серьёзен, что полезно не упускать возможности сделать его более занимательным
А) мыслительных операций (сравнения, абстрагирования, обобщения, конкретизации, анализа, синтеза)
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconВнеклассное мероприятие по предмету (математика 6 8 класс) «мир математики» Цели: активизировать познавательную деятельность учащихся
Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconГеометрическая прогрессия в задачах Я. И. Перельмана
Девиз урока : «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным»
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconКонспект открытого урока по математике
Девиз Предмет математики настолько серьёзен, что надо не упускать случая сделать его занимательным (Паскаль)
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconВечер «Поле математических чудес» Цели
Предмет математики настолько серьёзен, что надо не упускать случая, сделать его занимательным. Б. Паскаль
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» icon«Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая, делать его немного занимательным» паскаль фокусы, фокусы, фокусы !!! Цель
Цель: показать учащимся применение математических знаний на примере математических фокусов
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconЛабораторная работа "Степенная функция. Свойства. График"
Проанализируем, как ведет себя график функции, рассмотрим его свойства от степени
Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов) Уроки 1 Функция у=х² «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее» iconОсновные понятия и свойства функций Ключевые слова
Ключевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция, монотонная...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org