Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики



Скачать 236.14 Kb.
страница1/3
Дата08.10.2012
Размер236.14 Kb.
ТипРешение
  1   2   3


27



Решение стереометрических задач

по теме «Пирамида»
Обобщение опыта работы учителя математики


Чупровой Ольги Степановны

МБОУ лицей №1 г. Комсомольска на Амуре

Задачи по стереометрии составляют основной раздел в изучении учащимися 10-11-х классов геометрии. Они способствуют развитию математического мышления школьников, пространственного представления, развитию логики и умению находить правильные решения в различных ситуациях. Научить правильно решать геометрические задачи - главная цель изучения стереометрии. А для успешного решения таких задач, необходимо иметь правильное представление о них, уметь их систематизировать, выделять главное, составлять план решения и правильно применять полученные знания на уроках геометрии при решении таких задач. Поэтому основной целью моей работы является попытка классифицировать стереометрические задачи по теме «Пирамида» в несколько блоков:

  • Пирамида с равнонаклоненными ребрами.

  • Пирамида с равнонаклоненными гранями.

  • Правильная пирамида.

  • Произвольная пирамида.

  • Пирамида, у которой боковое ребро или грань перпендикулярны основанию.

  • Задачи с применением сечений пирамиды.

  • Задачи по теме «Комбинации геометрических фигур».

  • Задачи, предлагаемые на Едином Государственном экзамене.

Кроме того, рассмотрен дополнительный теоретический материал: основные формулы, теоремы, свойства и определения, применяемые при решении стереометрических задач. В работе предлагаются решения некоторых задач, взятых из вступительных экзаменов в Вузы, из заданий Единого государственного экзамена. Предложена подборка задач по данным темам, что естественно явится большим подспорьем учителям, работающим в старших классах для проведения самостоятельных работ, дачи индивидуальных заданий, для подготовки к экзаменам.


Решение задач по теме «Пирамида».
Следует помнить, что в учебнике и других пособиях встречаются задачи на следующие типы пирамид: правильная и неправильная пирамида. Среди неправильных пирамид может выделить следующие виды;

а) пирамида с равнонаклоненными ребрами;

б) пирамида с равнонаклоненными гранями;

в) одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания;

г) одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания.

Рассматривая свойства правильной пирамиды, следует прежде всего остановиться на алгоритме построения чертежа правильной пирамиды: построив изображение основания, находим проекцию вершины пирамиды – точку пересечения медиан, затем строим изображение высоты и только на последнем этапе строим изображение боковых ребер.


Рассмотрим свойства правильной пирамиды на примере треугольной пирамиды ДАВС.


∆ АОД = ∆ ВОД = ∆ СОД по катету (ОД) и гипотенузе (АД = ВД = СД).

Из равенства этих треугольников следует, что АО = ВО = СО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника, т.е. является центром описанной окружности, с другой стороны центр описанной окружности в правильном многоугольнике является центром вписанной окружности. Поэтому при решении задач на правильную пирамиду следует использовать следующие формулы








где е – длина бокового ребра, hбок. – длина апофемы, α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания, φ – угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Для правильной пирамиды справедлива формула ;

Докажем эту формулу для треугольной пирамиды.


Кроме того, при решении задач с правильной пирамидой следует помнить о следующих свойствах:

  • Проекция высоты пирамиды на боковую грань лежит на высоте грани (апофеме пирамиды);

  • Проекция высоты на ребро основания – его середина;

  • Каждая точка высоты равноудалена от боковых ребер, вершин основания, боковых граней;

  • Угол между боковым ребром и плоскостью основания один и тот же для всех боковых ребер;

  • Угол между боковой гранью и основанием для всех боковых граней один и тот же;

  • Все углы между соседними боковыми гранями равны;

  • Все плоские углы при вершине пирамиды равны;

  • Боковые грани-равные равнобедренные треугольники;

  • Все углы, образованные боковыми ребрами и высотой пирамиды, равны.


Задача1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно а, а плоский угол при вершине α. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Решение.

Sпир = Sосн + Sбок, Sбок=½Росн h, Sосн =1/4а2√3

Рассмотрим треугольник ДСН - прямоугольный, <НСД=α/2; ДН=ДСCOSα/2=аCOSα/2; СН=а sin α/2; СВ=2 а sin α/2.

Sосн=1/4*4а2 sin2 α/2*√3=а2 sin2 α/2*√3;

Sбок=½*6 а sin α/2* аCOSα/2=3/2а2 sin α;

Sпир=а2 sin α/2(3/2COSα/2+ siп α/2*√3).
Ответ: Sпир=а2 sin α/2(3/2COSα/2+ siп α/2*√3).

Задача 2. В правильной 3-угольной пирамиде известна сторона основания и плоский угол при вершине. Найдите: а) апофему пирамиды; б)угол между боковым ребром и плоскостью основания; в)двугранный угол при основании; г)высоту пирамиды.
Решение



Пусть а- сторона основания, α- плоский угол при вершине.

а) ∆СДН- прямоугольный; <СДН= α/2; СН=а/2; ДН=а/tgα/2 (апофема).

б)угол между боковым ребром и плоскостью основания<ДСО=ψ.

ОС= ДС=а/2sinα/2; cos ψ=ОС/ДС=(а√3/3):( а/2sinα/2)=⅔√3sinα/2;

<ДСО =arcos(⅔√3sinα/2)

в) ОН= двугранный угол при основании<ДСВА=<ДНО=φ

∆ОДН- прямоугольный; cosφ=ОН/ДН=1/6а√3:(а/tgα/2)=1/6√3tgα/2; <ДСВА=arcos(1/6√3tgα/2).

г)высота пирамиды ДО=(а√12- tgα/2):(2 tgα/2).


Неправильная пирамида с равнонаклоненными ребрами обладает следующими свойствами:

  1. Проекцией вершины является центр описанной окружности вокруг основания.

  2. Все боковые ребра равны.

  3. Углы, образованные высотой пирамиды с боковыми ребрами, равны.

Эти свойства следует из равенства треугольников АОД, ВОД, СОД.

Пирамида с равнонаклоненными ребрами.

Свойства пирамиды с равнонаклоненными ребрами можно рассмотреть на примере треугольной пирамиды DABC. (рис.1)

Треугольники ADO, BDO, CDO равны по катету DO и острому углу . (). Из равенства этих треугольников вытекают следующие свойства пирамид этого класса:

  1. боковые ребра пирамиды равны,

  2. вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности,

  3. углы, образованные высотой пирамиды с боковыми ребрами, равны.

В случае треугольной пирамиды желательно с учащимися выделить следующие моменты:

    1. если в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, то проекцией вершины является середина гипотенузы и тогда радиус описанной окружности вокруг основания равен половине гипотенузы. В этом случае имеем одну грань, перпендикулярную плоскости основания: (ADB)(ABC) (рис2)

    2. если в основании пирамиды лежит тупоугольный треугольник, то высота этой пирамиды лежит во внешней области, т.к. центр описанной окружности вокруг тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. (рис. 3)


рис. 1 рис. 2 рис. 3

с) если в основании пирамиды лежит остроугольный треугольник, то высота находится во внутренней области пирамиды.

Для решения задач на пирамиду с равнонаклоненными ребрами, в основании которой лежит треугольник, полезно вспомнить формулы, содержащие радиус описанной окружности:

,

(теорема синусов),

(в случае прямоугольного треугольника).

В случае, если в основании пирамиды лежит четырехугольник и боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, следует помнить, что из всех видов параллелограмма в основании может лежать либо прямоугольник, либо квадрат, т.к. только вокруг них можно описать окружность; из всех видов трапеций в основании может лежать только равнобедренная трапеция, т.к. только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность. Если же в основании такой пирамиды лежит произвольный четырехугольник, он должен обладать свойством вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 1800.

Задача3.(ЕГЭ)Основанием треугольной пирамиды МАВС является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ=10 и катетом АС=8. Боковые ребра пирамиды образуют с высотой пирамиды равные углы в 450. Найти объем пирамиды.

Решение.

Так как углы, образованные боковыми ребрами с высотой пирамиды, равны, то можно утверждать, что треугольники МАН, МНВ, МНС равны между собой (по катету и острому углу). Следовательно, пирамида МАВС с равнонаклоненными ребрами, то есть можно применять все её свойства, а именно, учитывая, что в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, следует, что основание высоты пирамиды находится на середине гипотенузы. Т.е. АН=НС=НВ=R=5. Кроме того, полученные треугольники являются не только прямоугольными, но и равнобедренными, т.е. высота пирамиды МН=5.

Рассмотрим прямоугольный ∆АВС, лежащий в основании пирамиды. По теореме Пифагора АВ2=АС2+ ВС2, отсюда СВ=6.

Sосн=1/2АС*СВ= ½*8*6=24.

V= 1/3 Sосн*МН=1/3*24*5=40.

Ответ: 40.

Пирамида с равнонаклоненными гранями.
Определенная доля задач на пирамиду в учебнике связана с пирамидой, в которой боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания. Такую пирамиду будем коротко называть пирамидой с равнонаклонеными гранями.

Если из основания высоты, точки О, провести перпендикуляры к сторонам основания и соединить точки их пересечения с вершиной, получим линейные углы двугранных углов при основании: .

Треугольники DMO, DON, DOP равны по общему катету DO и острому углу . Из равенства треугольников следуют свойства пирамиды с равнонаклоненными гранями:

  1. все высоты боковых граней равны,

  2. вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности,

  3. углы, образованные высотой пирамиды с высотами боковых граней, равны.

При решении задач на этот тип пирамиды следует помнить формулу площади многоугольника , в случае прямоугольного треугольника полезна формула r=(a+b-c)/2. Для пирамиды с равнонаклоненными гранями справедлива формула . Её легко доказать для треугольной пирамиды.


:
В основании пирамиды с равнонаклоненными гранями может лежать любой треугольник (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный), из параллелограммов может быть только ромб (квадрат, как частный случай ромба), из всех видов трапеции в основании пирамиды второго типа может лежать произвольная трапеция, в которой суммы противоположных сторон равны.


Задача 4. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом β. Двугранные углы при основании равны α. Найти объём и полную поверхность пирамиды.
Решение.

.
По условию задачи АВСД- ромб, АВ=а, <А=β, <РДСА=<РАДС=<РБСА=<РАВС= α.

Sп=Sосн+Sбок, V=⅓ Sосн*h.

Sосн=а2sinβ, Sбок = Sосн/cos α= а2 sinβ/ cos α ,

Sп= а2sinβ+ а2 sinβ/ cos α=а2 sinβ(1+ cos α).

Иначе Sосн=½Росн*r, r=ОН=2 Sосн/ Росн=аcos β(cos α+1)/ 2cos α.

Рассмотрим ∆РОН- прямоугольный, РО= аcos βsin α(1+ cos α).

V=⅓ а2sinβ аcos βsin α(1+ cos α)= 1/6 а3sin2β sin α(1+ cos α).

ОТВЕТ: V=1/6 а3sin2β sin α(1+ cos α); Sп2 sinβ(1+ cos α).
При рассмотрении пирамид, у которых одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, особый интерес представляет четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм. С учащимися необходимо выяснить следующие моменты:


  1. если в основании лежит параллелограмм, то среди боковых граней имеется только два прямоугольных треугольника,

  2. если этот параллелограмм является прямоугольником, то все четыре боковые грани являются прямоугольными треугольниками. по теореме о трех перпендикулярах.

  3. если этот прямоугольник является квадратом, то эти боковые грани являются попарно равными прямоугольными треугольниками (; ).

Значительно реже встречаются задачи на пирамиду, у которой одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания. Особыми свойствами пирамиды этого типа не обладают, поэтому никаких алгоритмов решения для такого типа задач нет.
Задача 5.Основанием пирамиды служит прямоугольник с меньшей стороной а. Найти объем пирамиды, если две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней соответственно под углами 300 и 600.


Решение. V=⅓ Sоснh. Так как две боковые грани перпендикулярны к основанию, то высота пирамиды h=РВ (боковому ребру), т.е. РВ перпендикулярно к основанию, следовательно, линейные углы двугранных углов РСДА и РАДВ равны углам РСВ и РАВ соответственно, т.е. <РСВ=300, а <РАВ=600, т.к. сторона ДС=а (меньшая).

  1. Рассмотрим ∆РАВ- прямоугольный, тогда РВ= АВ*tg600=а√3.

  2. ∆РВС- прямоугольный, ctg300=ВС/РВ, т.е. ВС=РВ* ctg300=3а.

  3. Sосн=ВС*СД=а*3а=3а2. Тогда

  4. V=⅓2* а√3=а3√3.


Ответ: V3√3.


Задача 6.Основание пирамиды- квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания, а большее боковое ребро равно 12. Зная, что две боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 450, определить объем пирамиды.


Решение. V=⅓ Sоснh. Т.к. одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания (пусть это будет ребро РВ), то высота пирамиды h=РВ.

Пусть сторона основания равна а, тогда диагональ основания равна а√2, т.к. АВСД- квадрат.

  1. ∆ВРД- прямоугольный: РВ2=144-2а2(по теореме Пифагора).

  2. ∆ВРА- прямоугольный и равнобедренный, т.к. <РАВ=450. Тогда АВ=ВР=а; ВР2= а2

  3. Приравнивая Выражения, получим 144-2а2= а2, отсюда а=4√3, т.е. h=4√3.

  4. Sосн= а2=48. V=⅓*48*4√3=192√3/3=64√3.

Ответ: V=64√3.
  1   2   3

Похожие:

Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconРешение задач с модулем Из опыта работы учителя математики Пискаревой Р. И. г. Железногорск
Решение неравенств, содержащих знак модуля, методом введения новой переменно
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconРешение по формуле. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, имеем S= ½*2 *6 = 6
Из опыта работы учителя математики первой категории мобу сош №7 п. Прогресс Саржан Любови Михайловны
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconРешение задач на часовые пояса Из опыта работы учителя географии ноу суздальская Православная гимназия
Усвоение знаний о часовых поясах и отработка навыка практического использования полученных знаний я осуществляю предлагая учащимся...
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconКвадратные уравнения
Из опыта работы Евграшкиной Марины Васильевны, учителя математики моу «Анаевская сош»
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconИз опыта работы учителя математики Елисейкиной Валентины Ивановны
Урок-лекция. Логическое построение курса планиметрии стр
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconИз опыта работы организации исследовательской деятельности по математике учитель математики, заведующая кафедрой естественно-математических дисциплин маоу «Гуманитарный лицей»
Поэтому для меня, как учителя математики, одним из основных направлений деятельности является приобщение учащихся к исследовательской...
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики icon«Решение задач по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат»
Цель урока: обобщение, закрепление и систематизация знаний учащихся по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат»
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики icon«Эффективность подготовки к егэ» Из опыта работы учителя математики моу степановская сош Бердниковой С. Н
Все годы работы я последовательно изучала и применяла разные образовательные технологии: проблемное обучение, индивидуально-ориентированное...
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconУрок геометрии по теме" Пирамида. Правильная пирамида"
Урок геометрии по теме” Пирамида. Правильная пирамида” в 10 классе на основе кейс-метода
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconМетодические рекомендации по применению технологий контроля знаний учащихся на уроках математики в процессе обучения теме «Решение математических задач с экологическим
Задачи, как средство экологического воспитания на уроках математики в средней школе
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org