Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики



Скачать 236.14 Kb.
страница2/3
Дата08.10.2012
Размер236.14 Kb.
ТипРешение
1   2   3

Комбинация пирамиды с шаром.
Рассмотрим ситуацию, когда шар описан вокруг пирамиды. Центр описанного шара равноудален от всех вершин пирамиды. В плоскости основания пирамиды имеется одна точка, равноудаленное от вершины многоугольника, это центр описанной окружности. Тогда все точки пространства равноудаленные от вершины многоугольника, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр описанной окружности. Если пирамида правильная, то центр описанного шара лежит на ее высоте. В пирамиде с равнонаклоненными ребрами центр описанного шара лежит также на высоте. Пользуясь свойством точек, равноудаленных от вершины пирамиды можно сделать вывод, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар; если же шар описан вокруг четырехугольной неправильной пирамиды, то в основании может лежать прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция, либо произвольный четырехугольник, у которого сумма противоположных углов составляет 1800.
Теорема. Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу.

Сфера называется описанной около многогранника (а многогранник вписанный в сферу), если все его вершины лежат на сфере.

Центр описанной сферы - точка, равноудаленная от всех вершин многогранника.

Пусть S-вершина треугольной пирамиды SABC, М-центр окружности, описанной около треугольника АВС, ℓ-прямая, перпендикулярная плоскости основания АВС и проходящая через точку М. Тогда каждая точка прямой ℓ равноудалена от точек А, В и С.



Если К- середина какого-нибудь ребра пирамиды (например SВ), то плоскость ά, проходящая через точку К и перпендикулярная ВS, пересекает прямую ℓ в точке О, равноудаленной от всех вершин пирамиды. Эта точка и есть центр описанной сферы.


Рассмотрим методы решения задач на шар, описанный вокруг пирамиды.

Задача7. Найти радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром а.


Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды лежит на высоте, т.е. причем М - центр описанной окружности вокруг правильного треугольника АВС, следовательно , где m – медиана треугольника АВС.

I. способ решения.


  1. Рассмотрим ∆ АОМ – прямоугольный: . По теореме Пифагора имеем . .


. (1)

  1. Из треугольника AMD найдем высоту h:

.

  1. Подставив в равенство (1), получим:

.

Ответ:

II. способ решения.

Радиус описанного шара можно найти из треугольника АОD, воспользовавшись теоремой косинусов.



(из ). .

По теореме косинусов имеем:





.
III. способ решения.

Радиус описанной сферы можно найти по теореме синусов, с этой целью необходимо найти такой треугольник, в котором искомый радиус является радиусом описанной окружности. В нашей задаче придется построить для точки А точку, симметричную относительно точки М. Эту точку обозначим


- равнобедренный, т.к. - радиус описанной окружности. Тогда по теореме синусов имеем: . .







Работая с треугольником , радиус описанной окружности можно найти из формул площади треугольника: или .

IV. способ решения.

Для нахождения радиуса описанной окружности можно воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Продолжим высоту DM до пересечения со средой, . Треугольник AND является прямоугольным, т.к. вписанный угол DAN опирается на диаметр, AM – перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла на гипотенузу, следовательно (2). Обозначим MN = x, тогда DM + MN = 2R;

H + x = 2R. Воспользуемся равенством (2) и выразим MN:

; ; .
Ответ: .


Задача 8.Расстояние от центра О шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4√2. Найти:

  1. высоту пирамиды;

  2. расстояние от точки О до боковой грани пирамиды;

  3. радиус вписанного в пирамиду шара.


Решение.



Пусть АВСD- основание пирамиды, S- её вершина, К и Е- середины соответственно DC и АС, О1- центр вписанного в пирамиду шара, r- его радиус, М и N- основания перпендикуляров, опущенных из точки О на SK и SC, P принадлежит SK и О1Р┴ SK, SЕ=h. Тогда ОМ= ОЕ= r, ОS= ОС= 12, ОN= =4√2, SN= NC, SN= √OS2- ON2= √144- 32= 4√7, SC=8√7.

Обозначим
Тогда

cos β=SN:SO=√7:3, sin β=√2:3.

H= SE=SC*cos β=56/3, ЕС=SC sinβ= 8√14/3.

ЕК= ЕС/√2=8√7/3, tg α=EK/SE=1/√7.

сos α=√7/8, sin α=√2/4.

Расстояние от точки О до боковой грани пирамиды равно ОМ, где ОМ= SО sin α= 3√2.

Из ∆ SОМ находим r/( h- r)= sin α, откуда r=h sin α:( 1+ sin α)=8/3(2√2-1).

Ответ: 1) 56/3; 2) 3√2; 3) 8/3(2√2-1).

Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, радиус которой r=3V/Sп(*), где V-объём пирамиды, Sп - площадь полной поверхности пирамиды.

Доказательство.

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней. Это означает, что расстояние от центра сферы до каждой грани многогранника равно радиусу сферы.

Пусть S- вершина треугольной пирамиды SАВС. Докажем, что найдется луч ℓ, все точки которого равноудалены от граней трехгранного угла с вершиной S.

Назовем биссектором двугранного угла полуплоскость, разделяющую его на два двугранного угла равной величины. Биссектор есть множество точек двугранного угла, равноудаленных от плоскостей его граней.

Построим биссекторы двугранных углов с ребрами SА и SВ. Они пересекаются по лучу ℓ с вершиной S, каждая точка которого равноудалена от все трех граней трехгранного угла с вершиной S.

Проведем далее биссектор α двугранного угла при каком-нибудь ребре основания (например при ребре АВ). Этот биссектор пересечет луч ℓ в точке О, равноудаленной от всех граней пирамиды. Это и есть центр вписанной в пирамиду сферы.

Заметим, что в n-угольную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда можно вписать сферу в многогранный угол при вершине пирамиды, то есть в том и только в том случае, когда биссекторы двугранных углов при всех ребрах, сходящихся в вершине пирамиды, пересекаются по одному лучу.

Докажем формулу (*). Пусть О- центр сферы, вписанной в пирамиду. Соединим точку О со всеми вершинами пирамиды, пирамида разобьется на четыре пирамиды. Высота каждой из этих пирамид, проведенная из их общей вершины О, равна r- радиус вписанной сферы. Если S1, S2 , S3 и S4- площади граней пирамиды, V- объем пирамиды SАВС, то

V=1/3 S1 r+1/3 S2 r+1/3 S3 r+1/3 S4 r= 1/3 Sn r,

где Sn- площадь полной поверхности пирамиды, отсюда следует формула r=3V/Sп.

Эта формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу.

Задача 9. (ЕГЭ) В правильный тетраэдр МАВС с ребром 24 вписан шар. В трехгранный угол с вершиной М вписан второй шар, который касается первого шара. Найдите объем второго шара.



Решение. Так как тетраэдр правильный, то Sт=4Sосн, где Sосн= =а2√3/4=242√3/4=144√3.

Sт=4*144√3=576√3.

Рассмотрим ∆АВС, АН=R3=а/√3=24/√3.

Из ∆АМН находим по теореме Пифагора МН=8√6.

Для нахождения радиуса вписанного шара используем формулу

rш=3Vт/Sт ; для этого найдем объем пирамиды Vт=1/3 Sосн*МН=1/3*144√3*8√6=1152√2,

отсюда rш=2√6. ОН=rш; МО=6√6; ОО1=r1+ r, где r1-радиус шара, вписанного в трехгранный угол, т.е. ОО1=r1+ 2√6; О1К= r1; МО1= МО- ОО1=4√6- r1.

МО1К подобен ∆МОД (по двум углам), тогда можно составить пропорцию О1К:ОД=МО1:МО, отсюда r1=√6.

Тогда объем шара, вписанного в трехгранный угол, находится по формуле:

V= 4/3π r13=4/3 π6√6=8 π√6.
Ответ: V=8 π√6.
Задача10.В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно в, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен α. Найти объем пирамиды.
Решение.Vп=⅓ Sосн*h, где Sосн=АВ2, т.к. пирамида правильная, h=РН (высота пирамиды). Проведем апофему пирамиды РК, тогда угол РКН будет равен двугранному углу при основании пирамиды РСДА и равен α. (рис.2)

Проведем отрезок ОЕ перпендикулярный РК, треугольники РОЕ и РНК будут подобными по двум углам, следовательно, <РОЕ= α.

  1. ∆РОЕ- прямоугольный, тогда ОЕ= в cosα; РЕ= в sinα, но ОЕ=R=ОН -радиус вписанного шара, следовательно, РН= в+ в cosα= в(1+ cosα)=2в cos2 α/2.

  2. ∆РНК- прямоугольный: НК=РН*ctg α= 2в cos2 α/2* ctg α. Отсюда сторона квадрата АВСД равна 4в cos2 α/2* ctg α= 2в cos α* ctg α/2.

  3. Sосн=4 в2 cos2 α* ctg2 α/2

  4. Vп=⅓*4 в2 cos2 α* ctg2 α/2*2в cos2 α/2= 4/3 в3 sinα cos2 α ctg3 α/2.


Ответ: Vп=4/3 в3 sinα cos2 α ctg3 α/2.




( рис.2)


Задачи с использованием сечений пирамиды
Для того, чтобы использовать сечения пирамиды при решении задач, необходимо вначале учащихся научить строить такие сечения. При этом необходимо помнить следующие утверждения:

  • Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки данного многогранника.

  • Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением данного многогранника.

  • Если стороны многоугольника, являющегося сечением, расположены в параллельных гранях многогранника, то они параллельны между собой.

  • Вершины сечения лежат либо на ребрах многогранника, либо в его вершинах.

  • Сечением тетраэдра могут быть четырехугольники и треугольники, так как тетраэдр имеет четыре грани.



Докажем следующее утверждение:
Если на боковых ребрах ДА, ДВ и ДС треугольной пирамиды ДАВС расположены точки А1, В1 и С1 так, что

ДА1:ДА=а, ДВ1:ДВ=в, ДС1:ДС=с,

И если V и V1- объемы пирамид ДАВС и ДА1В1С1 соответственно, то

V1: V=авс.



Доказательство.

Выберем в качестве оснований рассматриваемых пирамид грани, лежащие в плоскости АВД. Если S и S1- площади треугольников АВД и А1В1Д, h и h1 - высоты пирамид СДАВ и С1ДА1В1, опущенные из вершин С и С1, <АДВ=β, то

S=1/2 ДА*ДВsin β, S1=1/2 ДА1*ДВ1sin β; h1: h=ДС1:ДС=с, V=1/3Sh, V1=1/3 S1h1,

Отсюда следует, что

V1: V=ДА1*ДВ1*h1/ ДА*ДВ*h=авс.

1   2   3

Похожие:

Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconРешение задач с модулем Из опыта работы учителя математики Пискаревой Р. И. г. Железногорск
Решение неравенств, содержащих знак модуля, методом введения новой переменно
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconРешение по формуле. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, имеем S= ½*2 *6 = 6
Из опыта работы учителя математики первой категории мобу сош №7 п. Прогресс Саржан Любови Михайловны
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconРешение задач на часовые пояса Из опыта работы учителя географии ноу суздальская Православная гимназия
Усвоение знаний о часовых поясах и отработка навыка практического использования полученных знаний я осуществляю предлагая учащимся...
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconКвадратные уравнения
Из опыта работы Евграшкиной Марины Васильевны, учителя математики моу «Анаевская сош»
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconИз опыта работы учителя математики Елисейкиной Валентины Ивановны
Урок-лекция. Логическое построение курса планиметрии стр
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconИз опыта работы организации исследовательской деятельности по математике учитель математики, заведующая кафедрой естественно-математических дисциплин маоу «Гуманитарный лицей»
Поэтому для меня, как учителя математики, одним из основных направлений деятельности является приобщение учащихся к исследовательской...
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики icon«Решение задач по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат»
Цель урока: обобщение, закрепление и систематизация знаний учащихся по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат»
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики icon«Эффективность подготовки к егэ» Из опыта работы учителя математики моу степановская сош Бердниковой С. Н
Все годы работы я последовательно изучала и применяла разные образовательные технологии: проблемное обучение, индивидуально-ориентированное...
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconУрок геометрии по теме" Пирамида. Правильная пирамида"
Урок геометрии по теме” Пирамида. Правильная пирамида” в 10 классе на основе кейс-метода
Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики iconМетодические рекомендации по применению технологий контроля знаний учащихся на уроках математики в процессе обучения теме «Решение математических задач с экологическим
Задачи, как средство экологического воспитания на уроках математики в средней школе
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org