Учебный курс «разностные модели отбора»



Скачать 93.52 Kb.
Дата20.08.2013
Размер93.52 Kb.
ТипУчебный курс

УЧЕБНЫЙ КУРС «РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ОТБОРА»




О.А.Кузенков, Д.В.Капитанов


Теория разностных уравнений имеет большое значение в создании и разработке современных информационных технологий. Эти уравнения являются основным инструментом численного моделирования самых разнообразных процессов, происходящих в природе, технике и обществе, в том числе, они служат для описания разнообразных информационных процессов. В государственном общеобразовательном стандарте высшего профессионального образования по направлению «Информационные технологии» федеральный компонент учебного плана предусматривает курс «Дифференциальные и разностные уравнения». Отчасти теория разностных уравнений рассматривается также в курсах «Вычислительная математика», «Основы дискретной математики», «Физика» и некоторых других. Но ясно, что указанные курсы не дают всех необходимых знаний, которые должен получить бакалавр информационных технологий в этой области.

Среди систем разностных уравнений можно выделить системы, решения которых принадлежит стандартному симплексу – подмножеству конечномерного евклидова пространства, состоящему из векторов с неотрицательными координатами, сумма которых равна единице. Системы, обладающие этим свойством, называются системами на стандартном симплексе. Системы на стандартном симплексе имеют большое значение в теории вероятностей, теории оптимизации. Центральное значение при изучении систем на стандартном симплексе имеют предельные характеристики компонент решения, в частности вопрос о том, стремится ли одна из компонент решения к единице при неограниченном продолжении процесса. В этом последнем случае процессы называются процессами отбора. К процессам отбора относятся любые процессы сортировки, процессы распознавания образов, выбора стратегии поведения, адаптации, обучения и т.п. В частности, они играют огромное значение при разработке экспертных систем, что делает знание этой теории актуальным при подготовке бакалавров информационных технологий.

С целью расширения знаний студентов в данной области на факультете ВМиК ННГУ был разработан специальный курс «Разностные модели отбора» в рамках специализации «Оптимизация и оптимальное управление» по кафедре численного и функционального анализа.

Материал данного курса хорошо согласуется с учебным планом подготовки бакалавров по направлению «Информационные технологии», а также специалистов по прикладной математике и информатике. Он опирается на знание основных курсов: «Математический анализ», «Геометрия и алгебра», «Основы программирования», «Дифференциальные и разностные уравнения», «Теория вероятностей и математическая статистика». Знания, приобретенные при изучении этого курса, могут быть эффективно использованы при дальнейшем изучении общих курсов «Исследование операций», «Вычислительная математика» и других.


Для поддержки курса создан учебно-методический комплекс, который включает:

• программу курса,

• конспект электронных лекций,

• практические вопросы для самоконтроля,

В рамках комплекса также ведется разработка учебного пособия.

Данный комплекс органично входит неотъемлемой составной частью в более общий комплекс «Математическое моделирование процессов отбора», разработанного для студентов 3-го курса, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Информационные технологии», связанный с одним из направлений научной деятельности кафедры численного и функционального анализа факультета ВМиК ННГУ. В рамках комплекса создан сайт открытого доступа, находящийся в Интернете по адресу http://www.uic.unn.ru/~kuoa7/.

Программа курса состоит из введения и следующих основных разделов:

• системы на стандартном симплексе;

критерии отбора,

• оптимизация и отбор,

• алгоритмы адаптации,

• процессы обучения и распознавания образов как частные случаи процессов отбора.

Во введении ставятся цели и задачи курса, а также обсуждается его актуальность.

В первом разделе даются определения разностного урав­нения и системы разностных уравнений. Рассматриваются некоторые методы решения линейных систем разностных уравнений. Исследуется вопрос инва­риантности положительного октанта относительно разност­ного преобразования. Доказывается теорема о необходимых и достаточных условиях инвариантности положительного октанта. Вводится определение стандартного симплекса в ко­нечномерном пространстве и изучаются его свойства. Ис­следуется вопрос инвариантности стандартного симплекса относительно разностного преобразования, ответ на который формулируется в виде критерия. Приводятся примеры систем на стандартном симплексе. Доказываются две теоремы о представлении правой части системы разностных уравнений на стандартном симплексе. Приводится доказательство теоремы о выражении решения системы через решение вспомогательной однородной системы разностных уравнений.

Во втором разделе вводится понятие отбора в системе разностных уравнений на стандартном симплексе. Рассматривается строгий и нестрогий отбор. Доказываются необходимые и достаточные условия отбора. Выводится логарифмический критерий строгого отбора, и приводятся его следствия. Вводится определение устойчивости состояния равновесия в вершине симплекса, устойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости. Исследуется связь устойчивости и отбора. Приводятся разностный аналог теоремы Ляпунова об устойчивости и теоремы об устойчивости по линейному приближению. Изучается связь понятий отбора в дифференциальных и разностных системах. Вводится определение системы близкой к системе отбора. Доказываются достаточные условия близости к системе отбора и приводятся примеры.

В третьем разделе ставится задача оптимального управления системой разностных уравнений на стандартном симплексе. Рассматриваются ограничения в виде равенств и неравенств. Приводятся методы решения таких систем. Исследуется дискретный принцип максимума как аналог принципа Понтрягина для непрерывных систем. Излагается дискретный принцип максимума для систем, обладающих определенной выпуклой структурой. Приводится принцип Беллмана. Доказываются необходимые условия оптимальности для систем на стандартном симплексе. Исследуются задачи оптимального управления при неограниченном времени управления. Рассматривается применение процессов отбора для исследования задач оптимального управления. Приводится решение ряда примеров.

В четвертом разделе изучаются процессы адаптации. Рассматриваются задачи безусловной минимизации средних потерь, задачи с небинарными потерями: задачи с ограниченными и неограниченными потерями. Показывается, что задачу адаптации можно рассматривать как частный случай процессов отбора в разностных уравнениях на стандартном симплексе. Рассматриваются классические алгоритмы адаптации: алгоритм Варшавского-Воронцовой, Шапиро-Нарендроя и др. Показывается, как теория отбора может быть использована для построения алгоритмов адаптации. Приводятся соответствующие алгоритмы решения задач безусловной минимизации средних потерь и доказательство их сходимости с вероятностью единица на основании теорем об отборе. Проводится сравнение по скорости сходимости построенных алгоритмов с классическими алгоритмами адаптации. Демонстрируется эффективность предложенных алгоритмов и их превосходство над классическими в целом ряде случаев.

В заключительном, пятом разделе вводится понятие конченого автомата, изучается его предельное состояние, исследуется сходимость к определенному стационарному состоянию на основании теорем об отборе. Рассматриваются цепи Маркова и разностные уравнения, описывающие цепи Маркова. Доказывается сходимость процесса к определенному стационарному состоянию на основании теорем об отборе. Изучаются процессы обучения конечных автоматов как частный случай процессов отбора. Рассматриваются процессы распознавания образов как частный случай процессов отбора. Изучаются некоторые алгоритмы распознавания образов.

Вводится понятие экспертной системы. Рассматривается математическая основа для построения экспертных систем. Объясняется роль процессов отбора в математических основах экспертных систем. Приводятся примеры экспертных систем: медицинская диагностика, автомобильная диагностика и др.

При реализации специального курса в рамках учебного плана подготовки бакалавров по направлениям «Информационные технологии» и «Прикладная математика и информатика» студентам третьего курса факультета ВМиК ННГУ, специализирующимся по кафедре численного и функционального анализа была предоставлена возможность выбора его из четырех специальных курсов. Каждый студент должен был выбрать не менее двух курсов. В таблице 1 приведена статистика относительного выбора специальных курсов.

Таблица 1.

Статистика относительного выбора спецкурсов



Специальный курс

2008-2009 уч. г.

2009-2010 уч. г.

ПМИ

ИТ

ПМИ

ИТ

1

Качественно-численные методы исследования динамических систем

3

1

3

0

2

Управление колебаниями динамических систем

10

9

9

4

3

Многомерные динамические системы

0

0

2

4

4

Математическое моделирование процессов отбора

10

9

9

4

Общее количество студентов 3 курса кафедры ЧиФА

13

10

9

4


Опыт преподавания показал высокую заинтересованность студентов в материале данного курса, а также положительное значение в повышении уровня квалификации.

Список литературы


  1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления. М.: Наука, 1975.

  2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: изд-во ин. лит-ры, 1960.

  3. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

  4. Большаков А.В., Кузенков О.А., Зорин В.А. Метод адаптации для задач с безусловной минимизацией средних потерь // Вестник ННГУ. № 6, 2007. С. 147-152.

  5. Варшавский В.И. Воронцова И.П. О поведении стохастических автоматов с переменной структурой // Автоматика и телемеханика 1963. Т. 23. №3. С. 353-360.

  6. Джозеф Джарратано, Гари Райли Экспертные системы: принципы разработки и программирование: Пер. с англ. — М. : Издательский дом «Вильямс», 2006. — 1152 с.

  7. Кузенков О.А., Капитанов Д.В. Разностные уравнения на единичном симплексе // Вестник ННГУ. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. Вып 1(30). С. 63-69.

  8. Кузенков О.А., Капитанов Д.В. Системы разностных уравнений на единичном симплексе // МКО Сб. научных трудов. Том. 2.// Под ред. Г.Ю. Ризниченко. – М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2006. С. 39-50.

  9. Кузенков О. А., Рябова Е.А. Математическое моделирование процессов отбора: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 324 с.

  10. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Однородные разностные уравнения // Уч.пос. Горький. 1975.

  11. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения.// Уч.пос. Горький. 1980.

  12. Мироновский Л.А. Моделирование разностных уравнений. Уч. Пос.//СПбГУАП. СПб., 2004.

  13. Назин А.В., Позняк А.С. Адаптивные линейные последовательные машины // Автоматика и телемеханика. 1975. № 12. С. 70-75.

  14. Питер Джексон Введение в экспертные системы = Introduction to Expert Systems. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2001. — С. 624.

  15. Романко В.К. Разностные уравнения. Изд-во Бином. Лаборатория знаний. 2006.

  16. Цыпкин Я.З., Назин А.В., Позняк А.С. Адаптивные конечные системы // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. – М.: ВИНИТИ, 1986. т. 19.

Похожие:

Учебный курс «разностные модели отбора» iconН. И. Лобачевского Факультет: вмк специальность: Прикладная математика и информатика 1 курс Лектор: Перов А. А. Записал: студент гр. Введение I. Учебный курс
Учебный курс истории отечества, содержание, функции, методология, принципы изучения
Учебный курс «разностные модели отбора» iconБанк экзаменационных вопросов по курсу «Методы математической физики»
Метод конечных разностей. Конечно-разностные сетки и шаблоны. Конечно-разностные представления функций и производных
Учебный курс «разностные модели отбора» iconПрограмма наименование дисциплины Линейная алгебра
Эконометрика, Математический анализ, Микроэкономика, Макроэкономика, Дифференциальные и разностные уравнения, Дискретные математические...
Учебный курс «разностные модели отбора» iconУчебный курс «Юный программист»
Учебный курс «Юный программист» предназначен для изучения в рамках кружковой работы в 8-10 х классах школы
Учебный курс «разностные модели отбора» iconИсторический аспект проблемы отбора кадро
Место поиска и отбора кадров в общей системе управления персонало
Учебный курс «разностные модели отбора» iconКонечно-разностные аппроксимации производных
Конечно-разностные аппроксимации производных (конечные разности) способ приближенного вычисления частных производных
Учебный курс «разностные модели отбора» iconИсследование и учебный проект, используя оборудование, модели, методы и приёмы, адекватные исследуемой проблеме
«хорошей гипотезы», эксперимент, моделирование, использование математических моделей, теоретическое обоснование, установление границ...
Учебный курс «разностные модели отбора» iconУчебный курс «Технологии программирования. Курс на базе Microsoft Solutions Framework (msf)»
Лекции 3 Визуальное моделирование при анализе и проектировании. Основы Unified Modeling Language (uml)
Учебный курс «разностные модели отбора» iconУчебный курс «Технологии программирования. Курс на базе Microsoft Solutions Framework (msf)»
Охватывает определенную дисциплину или модель msf
Учебный курс «разностные модели отбора» iconЭлективный курс по математике для учащихся 6 класса Математика: новые открытия. (34 часа)
Данный элективный курс проходил апробацию в 5-6 классе (2007-2008 учебный год). Так как на элективный курс было выделено в учебном...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org