Геометрия четырехугольники



Скачать 98.81 Kb.
Дата08.10.2012
Размер98.81 Kb.
ТипДокументы

геометрия четырехугольники

В выпуклом четырехугольнике проведены диагонали и . Оказалось, что периметры треугольников и равны. Докажите, что прямоугольник.

Доказательство.

1) и , следовательно:



Сложив равенства почленно, получим .

2) Аналогично, . Следовательно, - параллелограмм.

3) , т.к. .

.

В параллелограмме равны диагонали, следовательно - прямоугольник.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
На сторонах параллелограмма во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники , , и . Докажите, что - параллелограмм.

Доказательство.

Треугольники и равны (по двум сторонам и углу между ними), значит, . Аналогично, gif" name="object26" align=absmiddle width=95 height=21>, следовательно, параллелограмм, что и требовалось доказать.

Отдельно следует рассмотреть случай, когда острый угол параллелограмма равен 600.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

На диагонали квадрата взяты точки и так, что прямая пересекает сторону в точке , прямая пересекает сторону в точке и . Найдите длину диагонали квадрата, если , .(Московская олимпиада)

Ответ. 10.

Решение.

И
з условия следует равенство треугольников и (, , ), откуда . Кроме того, и . Поэтому треугольники и равны. Значит, , следовательно .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дан выпуклый четырехугольник. На его сторонах отмечены точки (по одной на каждой стороне). Отмеченные точки последовательно соединены отрезками, в результате чего четырехугольник разбился на квадрат и четыре равнобедренных треугольника, причем основаниями треугольников служат стороны квадрата. Докажите, что исходный четырехугольник является ромбом.

Доказательство.

Пусть ABCD – заданный четырехугольник.
Пусть тогда

и , значит треугольники KAN и MCL

равны, то есть AK=AN=CL=CM. Аналогично, BK=BL=CD=AD.

Тогда AB=BC=CD=AD, значит ABCD – ромб.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что биссектрисы любых двух соседних углов четырехугольника пересекаются в точке, равноудаленной от вершин, из которых они проведены. Докажите, что ABCD – прямоугольник.

Доказательство.

Пусть биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О. Так как АО = ВО, то углы АВО и ВАО равны, следовательно, равны углы А и В. Аналогично, . Поскольку сумма углов четырехугольника равна 3600, то , значит ABCD – прямоугольник.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. На каждой прямой по обе стороны от точки О отметили еще по одной точке. Известно, что любой треугольник среди вершин которого есть точка О и отмеченные точки является равнобедренным. Докажите, что отмеченные точки – вершины квадрата.

Доказательство.

Пусть А, В, С и D – отмеченные точки. Рассмотрим треугольник АОВ. Равными сторонами в нем могут быть только стороны АО и ВО, иначе сумма углов треугольника АОВ больше 180 градусов. Аналогично, ВО = СО = DО. В четырехугольнике АВСD диагонали перпендикулярны и равны, значит АВСD – квадрат.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника. (Московские регаты)

Ответ. 11.

Решение.

Пусть данные стороны четырехугольника АВСD – соседние, например, АВ и ВС. Тогда, используя неравенство треугольника, получим, что диагональю длины 2 может быть только BD. Применяя неравенство треугольника (или условие того, что три точки лежат на одной прямой) для треугольников АВD и CBD, получим, что AD = BD = 2; DC = BC = 4. Значит, периметр АВСD равен 11. Если данные стороны – противолежащие, например, АB и СD то, рассуждая аналогично, приходим к такому же четырехугольнику.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Из вершины А параллелограмма АВСD проведены высоты AK и AM. Может ли оказаться так, что точка K лежит на стороне параллелограмма, а точка М – на продолжении стороны? (Московские регаты)

Ответ. Да, может. (см. рис.).



Отметим, что в любом параллелограмме, не являющемся прямоугольником, основания высот, проведенных из вершины острого угла, лежат на продолжениях сторон, а основание одной из высот, проведенных из вершины тупого угла, может попасть на продолжение стороны параллелограмма, если угол между меньшей диагональю и одной из сторон – тупой.

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В прямоугольнике АВСD точка М – середина стороны ВС, точка N – середина стороны СD, Р – точка пересечения отрезков и ВN. Докажите, что МАN = ВРМ. (Московские регаты)

Доказательство.

Первый способ. Пусть К – середина стороны АВ. Тогда, так как BK || ND и BK = ND, то KBND – параллелограмм. Следовательно, KD || BN, то есть, ВРМ = KDM.

Соединим точку М c точками N и K. Так как KDM = NAM (по трем сторонам), то KDM = MAN. Следовательно, ВРМ =MAN, что и требовалось доказать.
Второй способ. Так как AM = MD и BC || AD, то MAD = MDA =DMC. Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников ВСN и ADN следует, что NBM = NAD.

По теореме о внешнем угле для ВМР: BPM = DMCNBM = MADNAD = =MAN, что и требовалось доказать.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Внутри четырехугольника ABCD взята точка О, равноудаленная от его вершин. Оказалось, что отрезки, соединяющие току О с вершинами четырехугольника, являются биссектрисами его углов. Докажите, что ABCD – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как АО=ВО, то углы АВО и ВАО равны, следовательно, равны углы А и В. Аналогично, . Поскольку сумма углов четырехугольника равна 3600, то , значит ABCD – прямоугольник. А поскольку треугольники AOB, BOC, COD и AOD равны между собой, то AB = BC = CD = AD, следовательно, ABCD – квадрат.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Дан прямоугольник . На стороне взята точка , а на стороне взята точка так, что . Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и - в точке . Докажите, что треугольники и равны.

(
Московская олимпиада)

Доказательство.

Из следует , а из . Значит, и .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дан выпуклый четырехугольник . Точки , , и – середины сторон , , и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке . Отрезки и пересекаются в точке . Известно, что – параллелограмм. Докажите, что – параллелограмм.

Доказательство.

Р
ассмотрим треугольники и :

(противоположные стороны параллелограмма),

(медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1),

( прямые, образующие один угол, параллельны прямым, образующим другой угол).

Треугольники и равны, значит или . Аналогично можно доказать, что . Тогда в четырехугольнике имеется две пары равных противоположных сторон, следовательно, – параллелограмм, что и требовалось доказать.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

На сторонах выпуклого четырехугольника , как на диаметрах, построены окружности. Окружность, построенная на стороне , касается окружности, построенной на стороне в точке . В этой же точке касаются друг друга окружности, построенные на сторонах и . Докажите, что - ромб.

Доказательство.

Пусть и - середины сторон , , и соответственно, а, следовательно, и центры окружностей. Поскольку окружности, построенные на сторонах и , имеют общую касательную, то точки , и лежат на одной прямой. Аналогично, точки , и лежат на одной прямой. С другой стороны, - параллелограмм, поэтому и , т.е. - параллелограмм. Но тогда точка - точка пересечения диагоналей параллелограмма , а т.к. эти диагонали перпендикулярны, то - ромб, что и требовалось доказать
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Из вершины параллелограмма опущены высоты на прямые и (основания высот – точки и соответственно). Докажите, что если , то - ромб. (Поляков Е., Устинов А.В.)

Доказательство.

Р
ассмотрим случай, когда и лежат на сторонах и . (Случай, когда эти точки лежат вне сторон, на прямых и , рассматривается аналогично).

Проведем , получим точки и (как точки пересечения с и ). Рассмотрим трапецию . Точка - середина , точка - точка пересечения боковых сторон трапеции. Следовательно, - середина .

Далее, , , следовательно, .

В треугольнике : , т.е. , значит - ромб.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дана трапеция (). Через середину боковой стороны проведена прямая, параллельная основаниям. Биссектриса угла пересекает эту прямую в точке . Докажите, что - биссектриса угла .(Московская олимпиада)

Доказательство.

Т.к. , то - равнобедренный (). - середина (по теореме Фалеса), значит - медиана , которая одновременно является и биссектрисой. Следовательно, - биссектриса угла .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Точки и - середины сторон и квадрата . Отрезки и пересекаются в точке . Что больше: площадь треугольника или площадь четырехугольника ?(Московская олимпиада)

Ответ. Площадь треугольника больше.

Р
ешение.


Пусть - площадь квадрата. Тогда площадь каждого из треугольников , , равна , поэтому площадь треугольника равна . Но треугольник - часть треугольника , поэтому его площадь меньше , а это означает, что площадь треугольника больше . С другой стороны, площадь четырехугольника меньше , так как он составляет часть треугольника .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Квадрат разрезали на два прямоугольника. Известно, что отношение периметров этих прямоугольников – целое число. Докажите, что прямоугольники равны.

Доказательство.

Пусть a – сторона квадрата и длина каждого из прямоугольников, b – ширина одного прямоугольника, с – ширина другого прямоугольника (bc). Тогда имеем:

, где - целое положительное число.

Заменяя a на b + с, после преобразований получаем:

,

откуда следует, что k 2.

  1. k=2. Тогда 3c = 0, что невозможно.

  2. =1. Тогда с = b, что и требовалось доказать.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Дан выпуклый четырехугольник . Точки , , и – середины сторон , , и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке . Отрезки и пересекаются в точке . Известно, что – параллелограмм. Докажите, что точки , , и лежат на одной прямой.(Устинов А.В.)

Д
оказательство.

Проведем диагональ . Пусть – середина . Тогда – медиана треугольника , а так как медианы треугольника пересекаются в одной точке, то точки , и лежат на одной прямой. Аналогично, точки , и лежат на одной прямой. Но точки , и также лежат на одной прямой, поскольку диагональ параллелограмма и диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что точки , , и лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В параллелограмме диагонали и пересекаются в точке . Через точки и проведены прямые, параллельные диагоналям, которые пересекаются в точке . Прямая пересекает сторону в точке . Найдите длину , если =12см.

(Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои 5-11 классы: Книга для учителя. Авторский коллектив: Блинков А.Д., Семенов А.В. и др.)

Ответ. =6см.

Р
ешение.


- параллелограмм, - точка пересечения диагоналей, следовательно, . Из равенства треугольников и : , . По признаку параллелограмма: - параллелограмм. Получили: и , следовательно, см.

Похожие:

Геометрия четырехугольники iconУрок геометрии по теме «Четырехугольники»
Учитель: Сегодня мы подводим итоги по теме «Четырехугольники». Посмотрим, как, вы ее усвоили, хорошо ли вы знаете свойства, определения...
Геометрия четырехугольники iconПлан урока игра «Счастливый случай» по геометрии по теме «Четырехугольники»
Оборудование: таблицы по теме: «Четырехугольники», презентация с заданиями для проведения игры (в игре участвуют две команды), тексты...
Геометрия четырехугольники icon«Что такое геометрия?»
Нила. Им была нужна геометрия в строительных целях, когда религия заставила их строить могилы для умерших — пи­рамиды. Само слово...
Геометрия четырехугольники iconРабота в графическом редакторе Paint Геометрия в Paint
...
Геометрия четырехугольники iconНекоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология

Геометрия четырехугольники iconДвойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности 01. 01. 04 геометрия и топология

Геометрия четырехугольники iconДифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология

Геометрия четырехугольники iconШихаб геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий 01. 01. 04 геометрия и топология

Геометрия четырехугольники iconГеометрия и окружающий мир Содержание курса 1 Первый модуль: Геометрия вокруг нас

Геометрия четырехугольники iconБесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий
Трудно назвать в какой-либо другой части геометрии теоремы, которые проще всего доказать используя методы и идеи теории групп, а...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org