Или самый асимметричный треугольник



Скачать 35.73 Kb.
Дата03.07.2014
Размер35.73 Kb.
ТипДокументы
Три задачи для студентов,

Или самый асимметричный треугольник



Зададимся вопросом найти самый неправильный треугольник, т.е. такой треугольник, у которого длины сторон непохожи друг на друга. Предлагается разбить треугольник на шесть частей с помощью одного из трех построений (см.рис.1):

  1. Проводятся три медианы

  2. Проводятся три биссектрисы

  3. Проводятся три высоты.


Если треугольник равнобедренный, т.е. достаточно правилен, то в силу симметрии площадь заштрихованной части равна площади не заштрихованной. Мерой неправильности или асимметричности назовем, таким образом, разность этих площадей, отнесенную к общей площади треугольника.
Итак, какие значения может принимать мера асимметричности треугольника?

Медианная мера


Воспользуемся теоремой: «Медианы ∆ пересекаются в одной точке, и точкой пересечения делятся в отношении 1:2». Пусть BB1=b, AA1=a. Тогда в ∆BOA1 BO=2b/3, OA1=a/3, а в заштрихованном ∆AOB1 OB1=b, AO=2a/3. Кроме того, BOA1=AOB1= как вертикальные углы. Вспомним выражение для площади треугольника через синус угла и тогда получим:



Разность площадей равна нулю, и по аналогии рассуждая для остальных треугольников, получим, что: каков бы ни был исходный ∆ABC, его мера асимметричности равна нулю. Итак, медианный способ бессмысленен. Возможен иной, более короткий путь для получения разности площадей: достаточно от SABB1 отнять SCBB1 и сложить с другими попарными разностями. Далее следует сослаться на то, что треугольники с равными основаниями и общей высотой равновелики.

Ответ: 0.
Биссектриссная мера

По сравнению с предыдущим способом все неожиданно сложнее. Здесь уместно вспомнить три обстоятельства:

  • Точка пересечения биссектрисс треугольника является центром вписанной окружности

  • Биссектриса делит сторону треугольника в отношении, соответствующем длинам двух других сторон

  • Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на длину высоты, к ней опущенной.


Пусть для определенности c≥b≥a – длины сторон (в порядке возрастания), r– радиус вписанной окружности, S1- площадь заштрихованной части, S=S1+S2– площадь исходного треугольника, F=(S1-S2)/(S1+S2)– мера асимметричности. Тогда:

gif" name="object2" align=absmiddle width=591 height=39>

Далее получим:



Заметим, что, например, . Тогда выражение для F весьма упростится:



Нетрудно подсчитать, что для «египетского» треугольника (a=3,b=4,c=5) F=1/252. Заменой переменных α≡b+c, β≡a+c, γ≡b+a «улучшим» знаменатели:



Очевидно также, что α≥β≥γ. Должно выполняться неравенство треугольника в виде (a+b)≥c (остальные неравенства удовлетворены автоматически), или: α+β≤3γ. Поскольку все рассуждения ведутся для подобных треугольников, можно положить γ=1. Итак, поставим задачу на условный экстремум:



Вначале определим, достигается ли экстремум внутри области:


Но решение системы α=1,β=1 (иных решений нет) лежит на границе. Следовательно, внутри области определения экстремума нет, и если он и есть, то только на линии α+β=3. При α=β или α=1=γ, или β=1=γ треугольник равнобедренный, и F=0. Пусть α=3/2+δ, β=3/2-δ и притом 0≤δ≤1/2. Тогда:



Решая данное биквадратное уравнение, положив ε=δ2-9/4, учтя границы изменения δ, получим искомое: . Соответственно . Наконец выпишем стороны треугольника (легко получить, что c=(α+β-γ)/2):



Неожиданностью является то, что наиболее асимметричным треугольником является вырожденный треугольник, но не любой, а только тот, длины которого относятся примерно как 5:4:1.

Ответ: |F|<.
Высотная мера




Для случая трех высот ответ дает рис.4.: |F|≤1. В прямоугольном треугольнике точкой пересечения высот является вершина прямого угла, она же есть и основание перпендикуляра, опущенного на сторону. Из шести треугольников четыре редуцированы до точки нулевой площади. Если один из катетов мал, то S1≈S, F≈1. Очевидно, что рассмотрение тупоугольного треугольника сводится к дополнительному построению остроугольного треугольника. Если, однако ,нормировать меру асимметричности площадью исходного треугольника, а не суммой площадей частей, то даже |F|<∞. Предельному случаю соответствует угол, близкий к 1800, и малая длина одной из прилежащих к нему сторон.
Вывод меры асимметричности для произвольного остроугольного треугольника, поскольку я не знаю каких-либо вспомогательных утверждений о точке пересечения высот, оказался слишком громоздким. Приведу краткие результаты: пусть a,b- две стороны треугольника, γ- угол между ними; определим μ=(b2-a2)/(ab); тогда мера асимметричности F задается следующим выражением:


Надеюсь, я не ошибся в выкладках.

Альтернативный путь кажется более изящным, но также приводит к громоздкому выражению. Обозначим углы при точке пересечения высот за α,β,γ (α+β+γ=π); сами же углы треугольника связаны с ними простыми соотношениями вроде A=π-(β+γ)=α. Далее находим через косинусы катеты и гипотенузы всех шести треугольников, взяв один из них за единицу. С точностью до коэффициента:



Наконец,



Опять же, если я не ошибся в выкладках.

Похожие:

Или самый асимметричный треугольник iconИсследование Вместо предисловия Ранее я уже касался этой темы в эссе "Самый асимметричный треугольник"

Или самый асимметричный треугольник iconОбозначения: s осн площадь основания, s бок
Треугольная (в основании произвольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник)
Или самый асимметричный треугольник iconОстроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые...
Или самый асимметричный треугольник iconТреугольник Условие
...
Или самый асимметричный треугольник iconРешение. По условию: Тогда
...
Или самый асимметричный треугольник iconРассказать о перпендикуляре и наклонной. Существует ли треугольник со сторонами 5,5,5 или 3,5,4 или 2,10,7 и почему?
Дать определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Или самый асимметричный треугольник iconУрока. Первые три занятия посвящены темам «Треугольник», «Четырехугольник»
Первые три занятия посвящены темам «Треугольник», «Четырехугольник», «Окружность», четвертое занятие составляют задачи по всему курсу,...
Или самый асимметричный треугольник iconПроектные задания: 1 раздел: Треугольник. Основные понятия и элементы. Проблемный вопрос
С помощью линейки и транспортира постройте треугольник по двум заданным углам и определите его вид
Или самый асимметричный треугольник icon1. Треугольник Равнобедренный треугольник
Мати] Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Най­ти площадь...
Или самый асимметричный треугольник iconУрок самый последний. Прошу прощения забыл сказать… Эпиграф. Последний. Или самый последний. Видел я архив обжоры
Я тут вас уговаривал сделать жжёнку, а как, не рассказал. Ну что ж, виноват-исправлюсь
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org