Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5



страница1/6
Дата03.07.2014
Размер0.72 Mb.
ТипГлава
  1   2   3   4   5   6



Оглавление


1

Глава 1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5

§1. Понятие функции нескольких переменных 5

1. Пространство и множества в пространстве 5


Глава 1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных

§1. Понятие функции нескольких переменных



1. Пространство и множества в пространстве


Определение 1

Пространством называется множество групп из “n” действительных чисел. Такое множество групп из “n” чисел отождествляют с множеством точек . При этом числа называют координатами точек М, а число “n” определяет размерность пространства .

В частности:

= R одномерное пространство множества точек М (х);

– двухмерное пространство множества точек М (х;у);

– трёхмерное пространство множества точек М (x;y;z).

Определение 2

Множеством D (или областью) в пространстве называют любую часть пространства .

Определение 3

δ-окрестностью точки называют множество точек gif" align=absmiddle hspace=8>, для которых выполняется неравенство:, т. е. любой круг с радиусом, равным δ, и с центром в точке . Причём, если δ-окрестность точки проколотая (т.е. не включается), то её аналитическая запись : .

Аналогично, если точка , то её δ-окрестность –

множество точек , для которых выполняется неравенство: , т. е. любой шар с радиусом, равным δ, и с центром в точке . И проколотая δ-окрестность точки :

Определение 4

Точка называется внутренней точкой области , если

найдётся такая δ-окрестность точки , все точки которой принадлежат области D.

Определение 5

Точка называется граничной точкой области , если в любой δ-окрестности точки есть точки, принадлежащие D и не принадлежащие D.

Определение 6

Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Определение 7

Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Определение 8

Множество D называется односвязным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей D.

  1. Определение функции нескольких переменных

Определение 9

Если для множества по некоторому правилу функция f в

каждой точке соответствует единственное число , то говорят, что на множество D определена функция . Причём, область D – это область определения функции,а область E – это область изменения этой функции (или область её значений).

Замечание 1. Во многих прикладных задачах термин функция заменяется термином скалярное поле ,

т. е. точке соответствует скаляр (число) .

Замечание 2. Изобразить графически функцию “n” переменных возможно только для n=2. Это будет некоторая поверхность в трёхмерном пространстве.

  1. Линии и поверхности уровня

Определение 10

Линией уровня для функции называется множество точек, при которых функция принимает одно и то же значение, т. е.:

Определение 11

Поверхностью уровня для функции называется множество точек , при которых функция принимает одно и то же значение, т.е.

Пример 1. Для функции линиями уровня будут окружности .

Пример 2. Для функции поверхностями уровня будут сферы .

Замечание 1. По аналогии можно определить поверхности уровня для

функций любого числа переменных.

Замечание 2. В ряде случаев можно получить представление о характере изменения функции по линиям или поверхностям уровня.

  1. Предел функции в точке

Определение 12

Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется число такое, что для любой точки , находящейся в проколотой -окрестности точки , выполняется неравенство: . Этот факт записывается так: .

Для функции двух переменных это определение можно сформулировать следующим образом:

Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдётся число такое, что для любой точки , находящейся в проколотой -окрестности точки , выполняется неравенство: . Этот факт записывается так:

Замечание 3. и в окрестности точки может происходить в различных направлениях. При этом предел функции существует, если в различных направлениях предел один и тот же. В противном случае говорят, что функция в точке предел не имеет.

Пример 3. Вычислить предел:



Пример 4. Вычислить предел:



т. е. предел функции зависит от направления стремления (х;у) к (0;0) следовательно предел не существует.

Замечание 4. Аналогично с определениями, данными для функции одной переменной, можно дать определения для пределов: и

  1. Непрерывность функции. Точки разрыва

Определение 13

Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции в точке равен значению функции в точке :

Определение 14

Функция называется непрерывной в некоторой области , если она непрерывна в каждой точке этой области .

Определение 15

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Пример 5. Исследовать функцию на непрерывность:

Решение. D(z) :

В области определения D(z) функция z непрерывна, так как является элементарной функцией. В точке (0;0) функция не определена, следовательно, эта точка разрыва функции.

Пример 6. Исследовать функцию на непрерывность:

Решение. D(z) :

Так как функция z элементарная то в области определения D(z) она является непрерывной. Но при условии функция не определена, следовательно, есть линия разрыва этой функции (окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 2).

Замечание. Теоремы о конечных пределах и свойства непрерывных функций на замкнутых областях, сформулированные ранее для функции одной переменной, обобщаются на случай функции нескольких переменных.

  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconДифференциальное исчисление функции многих переменных 3 § Понятие функции двух переменных 4
В науке и на практике обычно оказывается, что независимых переменных бывает несколько, и для определения значения функции необходимо...
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconДифференциальное исчисление функции нескольких переменных
В науке и на практике обычно оказывается, что независимых переменных бывает несколько, и для определения значения функции необходимо...
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconСписок вопросов к теоретической части экзамена по математике гр. 1/30, 31, 32, 33 семестр 2 учебный год 2011/2012 Модуль Функции нескольких переменных /6 часов
Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Частное и полное приращение функции....
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconПрограмма вступительного экзамена по специальности для поступающих в магистратуру по специальности
Функции многих переменных. Предел функции многих переменных. Формула Тейлора для функции многих переменных. Локальные экстремум функции...
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconФункции нескольких переменных
Реальные явления и процессы, как правило, зависят от нескольких переменных. Поэтому необходимо расширить известное понятие функциональной...
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconПамятка для студентов групп 5пгс-61, 5тгв-61, 5иит-61, 5Э-61, 5тм-61, 5пиэ-61 по изучению дисциплины Математика (семестр 3)
Дифференцирование функций нескольких переменных. Замена переменных и якобианы. Разложение функции нескольких переменных в ряд Тейлора....
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине Понятие множества. Операции над множествами и их свойства
Фурье. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных....
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconФункции нескольких переменных § Функции нескольких переменных. Основные понятия
Определение. Пусть ℝ. Функция, заданная на множестве и имеющая областью значений множество ℝ, называется функцией переменных
Дифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5 iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org