Вопросы для повторения



Скачать 412.8 Kb.
страница2/5
Дата03.07.2014
Размер412.8 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5
§ 5. Формула полной вероятности
Если исходы опыта (гипотезы): Г1, Г2,… , Гn образуют полную группу попарно независимых событий, то вероятность появления события А находится по формуле полной вероятности .
Пример 5.1. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение. Событие А — попадание при одном выстреле. Гипотезы — стреляющий выбрал первое ружье(Г1), второе — (Г2) и т.д. Так как ружье выбирается на удачу, их пять штук, Р(Гi) = (i = 1, 2, …5). Р(A1) = 0,5 (вероятность попадания, если выбрано первое ружье); Р(A2) = 0,6 и т. д.

Р(А) = .

Пример 5.2. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25%, второй — 30% и третий — 45% деталей, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 1% нестандартных деталей, второй — 2%; третий — 3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали.

Решение. Событие А — деталь, поступившая на сборку, нестандартная. Пусть Г1 – деталь с первого автомата, Р(Г1) = 0,25 (т.к. их 25%), аналогично, Р(Г2) = 0,30; Р(Г3) = 0,45.

Р(A1) = 0,01 (вероятность быть детали нестандартной, если она изготовлена на первом автомате). Р(A2) = 0,02; Р(A3) = 0,03;

Р(А) = .

Задачи №8 в индивидуальных заданиях могут быть решены по формуле полной вероятности.


§ 6. Формула Бейеса (теорема гипотез)
Вероятность Р(Гk /A) гипотезы Гk после того, как имело место событие А, определяется формулой ,

где Р(А) = .

Пример 6.1. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту.
Упрощенная схема контроля признает пригодной хорошую продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение. Событие А — изделие прошло упрощенный контроль, Г1 – изделие удовлетворяет стандарту, Г2 – изделие бракованное.

Р(Г1) = 0,96; Р(Г2) = 0,04; Р(A1) = 0,98; Р(A2) = 0,05.

Р(A) = Р(Г1) Р(A1) + Р(Г2) Р(A2) = 0,96  0,98 + 0,04  0,05 = 0,9428.

Р(Г1/A) – изделие удовлетворяет стандарту, если оно прошло упрощенный контроль. По формуле Бейеса

= 0,9979.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант 1.

  1. События: А — из 4-х проверяемых электролампочек все дефектные, В — все доброкачественные. Что означают события А + В, А · В, , ?

  2. На шести карточках написаны буквы А, М, К, С, В, О. Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА ?

  3. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами, и что, пришедший первым ждет другого в течении 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение часа может произойти в любой момент времени, а моменты прихода независимы.

  4. Цифровой замок имеет на общей оси четыре диска. Каждый диск разделен на шесть секторов, отмеченных цифрами. Замок можно открыть, если цифры на дисках совпадают с теми, что были набраны при закрывании замка, то есть с «секретом» замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию 4-х цифр?

  5. В кошельке лежат три монеты достоинством по 10 копеек и 7 монет пятикопеечных. Наудачу вынимаются две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты будут одного достоинства ?

  6. В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто 2 черных и один белый шар ?

  7. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет ровно два изделия высшего сорта.

  8. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4; для второго — 0,5 и для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех стрелков по мишени в ней будет ровно одна пробоина.

  9. С первого автомата поступает на сборку 80%, со второго — 20% таких же деталей. На первом станке брак составляет 1%, на втором — 3%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором автомате.


Вариант 2.

  1. Событие А — хотя бы одно из 3-х изделий бракованное, В — бракованных изделий среди них не менее 2-х. Что означают события А + В, А · В, , ?

  2. Из колоды в 36 карт вынимаются наугад 2 карты. Найти вероятность того, что вынуты туз и одна десятка.

  3. Два действительных числа х и у выбирают наугад независимо друг от друга так, что сумма их квадратов меньше 64. Какова вероятность того, что сумма положительных х и у окажется меньше восьми ?

  4. Найти вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число делится на два или на три.

  5. В партии из 10 изделий 4 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 изделий ровно два окажутся бракованными.

  6. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одном залпе из всех орудий.

  7. В урне 30 шаров, из них 5 черных и остальные белые. Вынимаются один за другим три шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто два белых и один черный шар?

  8. Радиолампа может принадлежать к одной из 3-х партий с вероятностями p1 = 0,25; p2 = 0,5; p3 = 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов равны для этих партий соответственно 0,1 — для первой, 0,2 — для второй, 0,4 — для третьей. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

  9. На склад поступает продукция с 2-х фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 60%, а второй — 40%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.


Вариант 3.


  1. Имеются два круга, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами r1 и r2 (r1< r2). В круг радиуса r2 брошена точка. Событие А – попадание точки в круг радиуса r1. Событие В – попадание точки в круг радиуса r2. Что означают события А + В, А · В, , ?

  2. На каждой из десяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: Т, С, Н, М, И, К, О, Л, У, П. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на семи вынутых по одной и расположенных в «одну линию» карточках можно прочесть слово СПУТНИК.

  3. Два действительных числа х и у выбирают наугад независимо друг от друга так, что | x|, | y| . Найти вероятность того, что эти числа окажутся неотрицательными.

  4. В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1, и 10 деталей, изготовленных заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что второй будет извлечена деталь, изготовленная заводом №1.

  5. Круговая мишень состоит из 3-х зон. Вероятность попадания в первую зону — 0,12; во вторую — 0,23; в третью — 0,3. Найти вероятность промаха.

  6. Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 15. Чему равна вероятность того, что в первые два дня августа не будет ни одного дождливого дня ?

  7. Четыре стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,45; для второго — 0,5; для третьего — 0,6; для четвертого — 0,7. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех четырех стрелков по мишени будет хотя бы одна пробоина.

  8. На двух автоматах изготавливаются одинаковые детали. Производительность первого автомата в 2 раза больше, чем второго. Вероятность изготовления детали высшего качества на первом автомате — 0,95, а на втором — 0,97. Детали с обоих автоматов поступают вместе на склад. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.

  9. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго — 20%. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка изготовлена первым цехом, если она оказалась без дефектов.



Вариант 4.


  1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А — выбранное число делится на 5; Событие В — это число оканчивается нулем. Что означают события А + В, А · В, , ?

  2. Абонент забыл 3 последние цифры номера телефона и потому набирает наугад. Какова вероятность того, что он верно наберет нужный ему номер (забытые цифры различны) ?

  3. В квадрат с вершинами в точках О(0, 0), А(0, 1), В(1, 1), С(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты х и у будут удовлетворять неравенству у < 2х ?

  4. В ОТК фабрики модельной обуви просматривается 200 пар, из них 60% пар фасона «А» и 40% пар фасона «В». Определить вероятность того, что первые две просмотренные пары — разных фасонов. Выборка бесповторная.

  5. Изготовление детали состоит из двух технологических операций. При первой операции получается 2% брака, при второй — 6% брака. Операции независимы. Найти вероятность того, что после этих двух операций деталь будет годной.

  6. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых 5 билетов хотя бы один выигрышный.

  7. Два охотника одновременно стреляют в цель. Вероятность попадания у первого охотника — 0,2, у второго — 0,6. Каждый сделал по 2 выстрела. Какова вероятность того, что а) имеется два попадания в цель; б) не менее двух попаданий ?

  8. Стрельба производится по мишеням типа А, В, С, число которых соответственно относятся, как 5: 3: 2. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В — 0,1; типа С — 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно в мишень какого типа он будет сделан.

  9. На склад поступает продукция с 3-х фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, а второй — 40% и третьей — 40%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй — 2% и для третьей — 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.


Вариант 5.


  1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А — выбранное число делится на 2; Событие В — выбранное число делится на 3. Что означают события А + В, А · В, , ?

  2. В лотерее 1000 билетов, из них половина выигрышных. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные.

  3. Электрический провод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 метров от пункта А, если расстояние между пунктами равно 2 км ?

  4. В студии телевидения 3 телекамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

  5. Возле остановки «Космос» останавливаются автобусы маршрутов №№ 16, 15, 11, 21, 9. Для рабочего попутным являются маршруты № 15 и № 21. Найти вероятность того, что к остановке первым подойдет автобус маршрута попутного для рабочего, если известно, что на линиях по маршрутам №№ 16, 15, 11, 21, 9 курсирует в этот день соответственно 15, 10, 8, 5, 12 автобусов.

  6. Вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,15; 9 очков — 0,2; 8 очков — 0,3; 7 очков- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок выбьет более 7 очков.

  7. На десяти одинаковых карточках написаны буквы, составляющие слово «математика». Карточки тщательно перемешивают и вынимают 4, раскладывая их в ряд одну за другой. Какова вероятность, что появится слово «мама» ?

  8. У сборщика имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, 4 — изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна равна 0,7, а для завода № 2 — 0,9. Наудачу извлечена деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь стандартна.

  9. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.


Вариант 6.


  1. Как должны быть расположены относительно друг друга события
1   2   3   4   5

Похожие:

Вопросы для повторения icon26 Вопросы и задачи для повторения и самопроверки

Вопросы для повторения iconПрограмма по культурологии Вопросы для повторения

Вопросы для повторения iconI. Вопросы и задания для повторения
Урок 50. Установление господства Рима во всем Средиземноморье во ii-м веке до н э
Вопросы для повторения iconВопросы для повторения
Какое различие между «делением» понятия и «мысленным рас­членением» предмета? (Приведите пример расчленения.)
Вопросы для повторения iconВыводы 48 Вопросы для повторения к 1 и 2 главам 49
Под ред академика Международной Академии Информатизации, доктора экономических наук, профессора Ильенковой С. Д
Вопросы для повторения iconУрок 51. Рабство в Древнем Риме. I. Вопросы и задания для повторения: Соотнесите даты и события Битва у Тразименского озера
А. 217 г до н э. Б. 202 г до н э. В. 168 г до н э. Г. 216 г до н э. Д. 146 г до н э
Вопросы для повторения iconУрок 18. Финикийские море­плаватели Вопросы для повторения: Какой город Двуречья становится главным?
Что мы узнали о вавилонском обществе из находки, обнару­женной французскими археологами в начале XX века?
Вопросы для повторения iconПрограмма дистанционных курсов «Методы решения физических задач»
Программа предназначена для повторения школьного курса физики и включает в себя три цикла повторения. На первом из них обучающиеся...
Вопросы для повторения iconУрок 25. Первый властелин единого Китая Вопросы для повторения: Определите словесно с помощью корты местоположение Китая
Докажите, что в Китае были все необходимые условия для за­нятия земледелием? Какие трудности приходилось преодолевать китай­цам в...
Вопросы для повторения iconВопросы для повторения по курсу "Тепломассообмен"
Классификация и основное содержание задач конвективного теплообмена. Связь молекулярного и конвективного переноса тепла в движущейся...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org