Вписанные четырехугольники



Скачать 60.15 Kb.
Дата08.10.2012
Размер60.15 Kb.
ТипДокументы
Вписанные четырехугольники.

1.1.Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендекуляр MN. Докажите, что ﮮMAN=ﮮMCN.

1.2.Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перепендекуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендекуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что ﮮPAK=ﮮMAQ.

1.3.В треугольнике ABC проведены медианы AM и BL. Докажите, что если ﮮCAM=ﮮCBL, то AC=BC.

1.4.Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD -- в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

1.5.Четырехугольник ABCD вписанный; P и Q – ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDPQ – параллелограмм.

1.6.Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD – параллелограмм. Докажите, что если ﮮCBM=ﮮCDM, то ﮮACD=ﮮBCM.

1.7.Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно; K и L - середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BLC и CKD правильные.

1.8.Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

1.9.Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

1.10.Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендекулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

1.11.Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q,а диагонали в точке S. Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.

2.1. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O . Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются на стороне AD . Докажите, что AO > AB .

2.2. В треугольнике ABC на сторонах AB , BC и AC выбраны точки K , L и M соответственно так, что ﮮ BLK = ﮮ CLM = ﮮ BAC . Отрезки BM и CK пересекаются в точке P . Докажите, что четырехугольник AKPM – вписанный.

2.3. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD , BE и CF равны. Пусть P – точка пересечения диагоналей AD и CF , R – точка пересечения диагоналей BE и CF, Q – точка пересечения диагоналей AD и BE . Известно, что AP = PF , BR = CR и DQ = EQ .
Докажите, что точки A , B , C , D , E и F лежат на одной окружности.

2.4. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC вписанного четырехугольника ABCD пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых BX и CY .

2.5. AD – диаметр окружности, описанной около четырехугольника ABCD . Точка E симметрична точке A относительно середины BC . Докажите, что DE ┴ BC .

2.6. В треугольнике ABC с углом B , равным 60 o , проведена биссектриса CL . Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC . Описанная окружность треугольника ALI пересекает сторону AC в точке D . Докажите, что точки B , L , D и C лежат на одной окружности.

2.7. Дан выпуклый четырехугольник ABCD такой, что ﮮ ABC = 90 o , AC = CD и ﮮBCA = ﮮACD . Точка F – середина отрезка AD . Отрезки BF и AC пересекаются в точке L . Докажите, что BC = CL .

2.8. Дан вписанный четырехугольник ABCD такой, что ﮮ ABC + ﮮ ABD = 90o . На диагонали BD отмечена точка E такая, что BE = AD. Из нее на сторону AB опущен перпендикуляр EF . Докажите, что CD + EF < AC.

2.9. Дан остроугольный треугольник ABC . B1 , C1 – основания высот из вершин B , C соответственно. Точка D – основание перпендикуляра из B1 на AB , E – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из из точки D на сторону BC , с отрезком BB1 . Докажите, что прямая EC1 параллельна AC .

Похожие:

Вписанные четырехугольники iconРазработка урока по теме «Вписанные углы»
Дать определение вписанного угла; научить распознавать вписанные углы на чертежах; предвидеть дополнительное построение, содержащее...
Вписанные четырехугольники iconУрок геометрии по теме «Четырехугольники»
Учитель: Сегодня мы подводим итоги по теме «Четырехугольники». Посмотрим, как, вы ее усвоили, хорошо ли вы знаете свойства, определения...
Вписанные четырехугольники iconПлан урока игра «Счастливый случай» по геометрии по теме «Четырехугольники»
Оборудование: таблицы по теме: «Четырехугольники», презентация с заданиями для проведения игры (в игре участвуют две команды), тексты...
Вписанные четырехугольники iconЦентральные и вписанные углы
Организационный момент
Вписанные четырехугольники icon«Центральные и вписанные углы» (8 класс)
Дуга называется, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности
Вписанные четырехугольники icon«четырехугольники» в 5 классе
Основная цель: развитие интереса к математике, раскрытие творческих способностей
Вписанные четырехугольники iconУрок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности
Вписанные четырехугольники iconУглы, вписанные в окружность
Образовательные: повторение определения видов углов, закрепление знаний по данной теме, поиск методов решения задач
Вписанные четырехугольники iconЗачет №1 по теме «Четырехугольники»
Параллелограммом называется четырехуголь­ник, у которого противоположные стороны попарно …
Вписанные четырехугольники icon«Четырехугольники»
Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите его стороны, если они относятся как 1: 2
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org