«Декартова система координат»



Скачать 74.05 Kb.
Дата08.10.2012
Размер74.05 Kb.
ТипДокументы

Тема: «Декартова система координат»


Одна из ярких страниц VΙΙ века связана с работами французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование алгебраических задач, ввел координатную прямую с положительными и отрицательными числами (1637 год), систему таких прямых, которые в последствии получила широкое применение в математике, физике, химии, географии, астрономии и других дисциплинах под названием «декартова» система координат

Система координат на плоскости позволяет решать задачи, связанные с положением точек на плоскости, построение графиков, геометрических фигур, нахождением расстояния между точками и т.д.

XVII в. – век создания математики, переменных величин, высшей математики. Развитие торговли и мореплавания, вызванное новыми географическими открытиями, и связанное с ним дальнейшее развитие астрономии, рост промышленности и техники способствовали зарождению новых математических идей и методов, отвечающих запросам естествознания людей.

Одним из создателей высшей математики был Рене Декарт (1596-1650), гениальный французский ученый и мыслитель XVII века. Декарт далеко не сразу нашел свое место в жизни. Дворянин по происхождению, окончив колледж в Ла – Флеше, он с головой окунается в светскую жизнь Парижа, затем бросает все ради занятий наукой. Декарт стремился и в философии и в любой другой науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Он хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому овладевшему им решить задачу. В 1637 году в Лейдене выходит четыре тома его «Философских опытов». Последний том назывался «Геометрия».

Декарт отводил математике особое место в своей системе, он считал ее принципы установления истины образцом для других наук. Свой философский метод он, прежде всего, опробовал на математике: «Время от времени я уделял несколько часов специально, но то, чтобы упражняться в приложении метода к трудным проблемам математики».

Главное достижение Декарта – построение аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Нужно отметить, что у Декарта в точном виде еще не было того, что сегодня называется декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой.

1) Нашли применение не только прямоугольная система координат, но и косоугольная, пространственная система координат.

2) Она нашла широкое применение не только в математических науках, но и в физике, химии, географии, биологии, космонавтике и др.
Впоследствии сформировался «образ» системы координат, которую назвали «декартовой».

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений.
Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов, получило решения, состоящее в аккуратном проведении алгебраических выкладок.

Алгебраическое уравнение Рене Декарт рассматривал как зависимость между X и Y , определяемую положение точек на плоскости. Так, например, корень уравнения:
x = - b/a

Можно геометрически изобразить точкой М пересечения прямой

y = ax + b c осью Ох т.е. с прямой y = o (рис. 1). Вводя второе неизвестное (y), Декарт разбивал уравнение на два, каждое, из которых представляло некоторое геометрическое место точек. Так уравнение ах +b = 0, где, а = 0, можно представить и в виде ах = - b, тогда его корень х = - b/a можно найти, как абсциссу точки М′ пересечения следующих двух прямых: y = ax, y = -b.


у у = ах + b







у = ах


м х

о
у = -b
м′

Чтобы определить координаты точки на плоскости, проведем в этой плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси – это и будет система координат. Точку их пересечения берут за начало отсчета осей Ох и Оу и называют началом координат О.

Направление осей выбирают так чтобы положительная полуось Ох при повороте на + 90۫ совмещалась с положительной полуосью Оу. Единичные отрезки на осях чаще выбирают одинаковыми и наносят шкалы. Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат.

Для определения координат некоторой точки М опускают из нее перпендикуляры на оси. Основания перпендикуляров на осях являются проекциями точки М или ее координатами.
Y

М у

X

x o

Каждой точке на плоскости ставится соответствие упорядоченная пара чисел х, у, которая называется прямоугольными декартовыми координатами точки М. Справедливо обратное: каждой паре чисел х,у можно поставить в соответствие точку плоскости.

Оси координат делят плоскость на четыре части – координатные углы.

у
ІІ І

х

о

ІІІ ІV


Задачи, решаемые в системе координат.

В системе координат решаются две задачи:

  1. Построение точек на плоскости по заданным координатам.

Заданы координаты точек:

М (-1, 3) В (1, 0)

К (3, 4) С (0, -3)

Р (-2, 1)

Нужно построить эти точки на плоскости.

у

К.

М.

Р.

В х

о

С

2. Нахождение координат точек, расположенных на плоскости.

На плоскости заданы точки Е, Т, С, Р, Н.

у
Е.

Т.

Н х

о

Р.

С.
Координаты, применяемые в математике, позволяют определить с помощью чисел положение любой точки пространства, или плоскости, или линии. Это дает возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывать их при помощи чисел.

Вот примеры такого рода шифровки:

1. Рисунок задан координатами:

«Кораблик»
у




7




5







3




-7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 х




о -1



-3


-5

-7

(-2, 0) Парус 1-ое окно 2-ое окно 3-е окно

(-3, 1) (1, 0) (-4, -1) (-2, 0) (2, 0)

(-7, 1) (1, 6) (-3, -1) (-2, -1) (2, -1)

(-4, -2) (-2, 3) (3, 0) (-1, -1) (1, -1)

(6, -2) (1, 1) (4, 0) (-1, 0) (1, 0)

(7, 1)

(3, 1)

(2, 0)

(0, 0)


2. Рисунок задан отрезками функций, изучаемых в 7 – 9 классах: линейной, квадратичной, кубической, обратной пропорциональности:

«Домик»

у = 3 у = 1

х = 7 х = 4

у = -8 у = -4

х = -7 х = -4

у = х + 10 у

у = -х + 10

у = х + 10



у = -х + 10




у = 3







у = 1

х

х = -4 о х = 4



х = -7 х = -7

у = -4

у = -8

3. Решение уравнений и координатная плоскость.
1) 6 – 2у = 8 – 3у А (6, у)

2) 15х + 3 = 10х – 12 В (х, 2)

3) –5х – 11 = - 6х – 12 С (х, -1)

4) 3а + 5 = 8а – 15 Е (а, -1)

) 5х = 30 А (х, 2)

у


В А

0 1

х

С Р

Обратим внимание на сообщение в газете, о запуске нового спутника: «Спутник вышел на орбиту, близкую к расчетной». Подумаем: как можно рассчитывать, т.е. изучать в числах, орбиту спутника – некоторую линию. Ведь для этого надо уметь переводить на язык чисел геометрические понятия и в первую очередь уметь определять положение точки в пространстве с помощью чисел.

Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Числа, с помощью которых определяется положение точки, называются координатами точки.

Хорошо известные Вам географические координаты определяют положение точки на поверхности (Земли) – каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны уже не два, а три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится. Если же известна траектория спутника, то чтобы определить положение его на этой линии, достаточно указать одно число: например, расстояние, пройденное спутником от некоторой точки. Точно также применяют метод координат для определения положения точки на линии железной дороги: указывают номер километрового столба. Этот номер – является координатой точки на железнодорожной линии.

Своеобразные координаты используют в шахматах, где положение фигуры на доске определяется с помощью буквы и числа. Вертикальные ряды обозначаются буквами латинского алфавита, горизонтальные – цифрами. Каждой клетке доски соответствует буква, указывающая вертикальный ряд. Так например, белая пешка стоит на клетке а2, черная – на с4. таким образом, а2 можно считать координатами белой пешки, с4 – координатами черной. Применение координат в шахматах позволяет играть в шахматы по переписке. Чтобы сообщить ход, нет надобности, рисовать доску и расположение фигур. Достаточно, например, сказать: «Гроссмейстер сыграл е2 – е4, и всем уже известно, как начата партия.

Метод координат важен также тем, что он позволяет применять современные вычислительные машины к решению геометрических задач, к исследованию любых геометрических объектов и соотношений.



9



Похожие:

«Декартова система координат» iconАналитическая геометрия
Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в...
«Декартова система координат» iconРене Декарт Дата рождения
Декартова система координат, Картезианский дуализм, Онтологическое доказательство бытия Божия; признан основателем Новоевропейской...
«Декартова система координат» iconПростейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве () декартов прямоугольный...
«Декартова система координат» iconДифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве
Пусть трехмерное точечное пространство, геометрическое векторное пространство. Множества будем называть промежутком и обозначать....
«Декартова система координат» iconЛекция Декартова система координат. Основные вопросы Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
Осью называется прямая, направление которой задано единичным векто-ром. Пусть даны вектор и ось ℓ (рис. 1). Опустим из точек а и...
«Декартова система координат» iconОпределение. Аффинной системой координат (коротко,аск) на плоскости называется четверка, где о – произвольная точка плоскости, базис векторного подпространства векторов, параллельных плоскости. Определение
Аффинная и декартова системы координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение окружности
«Декартова система координат» iconРешение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами
Проекция вектора на ось. Декартова система координат. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме
«Декартова система координат» iconЛекции по математической логике миэм, фэ, 2 курс, 3 семестр Осенний семестр 2009/2010 учебного года Группы к-31, 32
Дать определения декартова произведения двух множеств, декартова квадрата произ­вольного множества. Привести примеры. Записать формулы,...
«Декартова система координат» iconЛекции по математической логике миэм, фпм, 2 курс, 4 семестр Весенний семестр 2010/2011 учебного года Группы м-41−46
Дать определения декартова произведения двух множеств, декартова квадрата произ­вольного множества. Привести примеры. Записать формулы,...
«Декартова система координат» iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем
Охватывает начало координат и система устойчива. Если, то годограф Михайлова не охватывает начало координат, критерий Михайлова не...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org