Всё о четырехугольниках или почти всё



Скачать 71.65 Kb.
Дата08.10.2012
Размер71.65 Kb.
ТипДокументы
Муниципальная общеобразовательная школа № 114


На тему:

Всё о четырехугольниках …… или почти всё.

Выполнила:

Ученица 8 класса

Патюткина Елена Анатольевна

Учитель Тюрнина Т.Ю.
Волгоград 2009г.

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).

ABCD — выпуклый четырёхугольник, A1B1C1D1 — невыпуклый
Четырехугольник - геометрическая фигура с четырьмя сторонами. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника.

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые
Четырехугольники. Четырехугольником является всякая плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми (рис. 4). Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны имеют равную длину. Ромб (рис. 4,г) – это параллелограмм, все стороны которого равны, а прямоугольник (рис. 4,д) – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали параллелограмма (рис. 4,ж) в точке пересечения делятся пополам; в прямоугольнике диагонали равны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований: A = h [(b + d)/2]. Площадь параллелограмма A = bh.
Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.
Виды четырёхугольников

  1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны

    • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые

    • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны

    • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны

  2. Трапеция — четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны

  3. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны


Свойства

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Сумма углов четырёхугольника равна .

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ().

Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны (AB + CD = BC + AD)

Свойства четырехугольников:

1. Пусть ABCE параллелограмм, тогда:
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
  b) Противолежащие стороны равны
  c) Противолежащие углы равны
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

2. Пусть ABCE прямоугольник, тогда:
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
  b) Противолежащие стороны равны
  c) Противолежащие углы равны
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
  e) Диагонали равны

3. Пусть ABCE ромб, тогда:
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
  b) Противолежащие стороны равны
  c) Противолежащие углы равны
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
  e) Диагонали перпендикулярны
  f) Все стороны равны
  g) Диагонали ромба делят его углы пополам

4. Пусть ABCE квадрат, тогда:
  a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
  b) Противолежащие стороны равны
  c) Противолежащие углы равны
  d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
  e) Диагонали равны
  f) Диагонали перпендикулярны
  g) Диагонали квадрата делят его углы пополам
  h) Все стороны равны

Свойства параллелограмма

  • противолежащие стороны равны;

  • противоположные углы равны;

  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;

  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

  1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

  2. Противоположные стороны попарно равны.

  3. Противоположные углы попарно равны.

  4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Интересным приложением свойств параллелограмма служит шарнирный пантограф (рис. 4,з), используемый для перечерчивания чертежей и других графических изображений в большем или меньшем масштабе. Пантограф представляет собой шарнирный механизм, имеющий форму параллелограмма, закрепленный в вершине А, со звеном DC, продленным до точки Р. Прямая РА пересекает звено СВ в точке Р . Звено СВ всегда параллельно звену DA, следовательно, треугольники PDA и PCP  подобны. Поэтому CP  = DAPC/PD, а эта величина постоянна, поэтому точка Р  звена СВ также лежит на прямой, соединяющей точки Р и А. Из двух рассмотренных выше подобных треугольников следует, что отношение РА/Р А также постоянно. Следовательно, в любом положении пантографа перемещение точки Р  пропорционально перемещению точки Р. Если точка Р движется по контуру какой-либо фигуры, то точка Р , в которой находится острие карандаша, повторяет без искажений этот контур в уменьшенном масштабе. Отношение масштабов оригинала и копии равно РА/Р А = PD/CD.



Трапеция.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

 На данном рисунке изображена равнобокая трапеция ABCE. Параллельные стороны, BC и AE, являются основаниями. AB и CE - равные боковые стороны.

Следующие теоремы описывают свойства равнобоких  трапеций.

В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Диагонали равнобокой трапеции равны.

Средняя линяя трапеции: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Свойства трапеции

  • ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

  • если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

  • если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

  • если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Основные формулы

  1. Произвольный выпуклый четырехугольник
    d1, d2диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d1d2 sin

  1. Параллелограмм
    a и b — смежные стороны; угол между ними; ha высота, проведенная к стороне a.

S = aha

S = ab sin

S =d1d2 sin

  1. Трапеция
    a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.






S = lh

  1. Прямоугольник

S = ab

S =d1d2 sin

  1. Ромб




S = aha

S = a2sin

S =d1d2

  1. Квадрат
    d — диагональ.

S = a2

S =d2

Похожие:

Всё о четырехугольниках или почти всё iconИсследование «Все или почти все об Афонькино »
Являясь одним из членов кружка «Следопыт» меня заинтересовала тема появления и развития с. Афонькино Казанского района. Это село,...
Всё о четырехугольниках или почти всё iconПрограмма №1 «Бременские музыканты и все, все, все» 17. 00 Детская программа №2 «Винни-Пух и все, все, все»
Прекрасная Люканида, или Война усачей и рогачей, Владислав Старевич (1912), реконструкция Николая Изволова (2011 г.) – 8 мин
Всё о четырехугольниках или почти всё iconВсе или почти все о данжах 19/29/39/49/59/69
Знак1 дает возможность позвать хаев для помощи. Надо следить чтобы были набиты мобы прежде чем группа убьет босса
Всё о четырехугольниках или почти всё iconКультурное наследие
Говоря о Тоскане можно смело утверждать, что здесь все или почти все имеет отношение к культуре. В сравнении с другими областями,...
Всё о четырехугольниках или почти всё iconФилософия Древней Греции
Собственно говоря, эти мысли не являются оригинальными. Все или почти все европейские исследователи если не преувеличивали роль и...
Всё о четырехугольниках или почти всё icon«пришел мужчина к женщине»
В первом акте между Мужчиной и Женщиной случилось все, или почти все, что вообще может случиться между мужчиной и женщиной
Всё о четырехугольниках или почти всё iconМожно ли создать язык, улучшающий понимание и взаимопонимание?
Скажите, отчего разбрелись все ученые в разные стороны и каждый говорит языком, которого другой не понимает? Отчего мы все изучили,...
Всё о четырехугольниках или почти всё iconАлексей Юрьевич Пехов Пух и все все все или Охота на Щасвирнуса Все-все-все (хулиганство) – 1
РЅСѓСЃ РЅР° которого сегодня РѕР±СЉСЏрір рµРЅР° охота. Боже! Еср рё Р±С‹ этот рассказ рірёРґРµр...
Всё о четырехугольниках или почти всё iconК. Г. Паустовский Все дети творческие личности. Одни любят петь, другие танцевать, третьи играть в шахматы. И почти все любят рисовать. Но не каждый ребенок занимается в изостудии, не все раскрывают свой творческий пот
Не все раскрывают свой творческий потенциал – этот процесс не может происходить без интенсивного накопления творческого потенциала...
Всё о четырехугольниках или почти всё iconИспользование Docbook xml в Debian Linux при помощи редактора xxe
Имейте в виду, что почти все программное обеспечение, описанное ниже, написано на Java. Кроме того, рекомендуется читать лицензии,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org