Численное решение



Скачать 57.93 Kb.
Дата11.07.2014
Размер57.93 Kb.
ТипДокументы
13.03. Как надо поступить, чтобы сильнее остудить горячий чай: сразу бросить в него сахар и затем подождать пять минут или, выждав пять минут, положить сахар и растворить его? Растворение сахара идет с поглощением тепла.
Численное решение

Эффекты которые имеют место в данной задаче и могут повлиять на ответ:



  1. испарение с поверхности жидкости

  2. теплообмен стакана с воздухом

  3. растворение сахара (растворение требует энергии, это эндотермическая реакция)

  4. конвекция воздуха вблизи горячего предмета

  5. теплообмен (калориметрический) чая с сахаром

  6. теплообмен (калориметрический) чая с ложкой, которой его размешиваем

  7. излучение горячего тела

  8. вода с сахаром имеет большую теплоемкость, чем чистая до добавления сахара

  9. при испарении уменьшается масса воды, а с ней и теплоемкость стакана

При добавлении сахара в чай, вода охлаждается за счет комнатной температуры сахара, ложки и затрат на химическую реакцию по растворению сахара. Поэтому после добавления и размешивания сахара первый стакан стал менее горячим, чем второй стакан, в который сначала ничего не клали и не размешивали.


Рассмотрим процесс охлаждения и разделим факторы понижения температуры на три группы:

  • Группа 1

    • теплоемкость сахара

    • теплоемкость ложечки

  • Группа 2

    • Химическая реакция при растворении сахара (эндотермическая)

  • Группа 3

    • Теплообмен с окружающей средой

    • Испарение жидкости

    • Излучение

Для оценки примем начальную температуру чая 90°С, а конечную около 60°С. Температура воздуха 20°С.

 

Чай

ложка

сахар

масса, г

200

25

20

теплоемкость Дж/кг°С

4200

470

425

В первый стакан сахар добавляют когда его температура 90, а во второй после 5 минут остывания (когда температура 60°С).

Тогда температура первого стакана после добавления сахара и опускания ложки в воду стала равна (90*4200*0,2+20*240*0,025+20*425*0,02)/( 4200*0,2+240*0,025+425*0,02)=88,35°С. Т.е. стакан остыл на 1,65°С.

Температура первого стакана после добавления сахара и опускания ложки в воду стала равна (60*4200*0,2+20*240*0,025+20*425*0,02)/( 4200*0,2+240*0,025+425*0,02)=59,06°С. Т.е. стакан остыл на 0,94°С.
Как видим, первая группа факторов охлаждает чай тем сильнее чем чай горячее, т.е. первая группа факторов в итоге охладит первый стакан сильнее на 1,65-094=0,7°С
Вторая группа факторов не зависит от температуры а зависит только от количества сахара. Соответственно в итоге эта группа не даст преимущества никому. Действительно, что при 90 что при 60 эта группа просто охладит на N градусов. Однако интересно оценить, а на сколько же чай остынет из-за сахара. Удельная энтальпия растворения сахара равна 70кДж/кг, т.е. 20 граммов сахара заберут 1400Дж, что охладит чай на 1,67°С.

В итоге, после добавления и размешивания сахара, первый стакан будет иметь температуру 90-1,65-1,67=86,7°С, а второй 90°С, т.е. первый на 3,3°С холоднее второго.


Затем будет фаза, когда вступают в роль факторы из группы 3.

Предположим, что скорость остывания прямо пропорциональна разнице температур чая и окружающей среды. Тогда зависимость охлаждения от времени будет экспоненциальной.





Стаканы имеют одинаковый размер, следовательно их коэффициенты теплообмена равны. Однако теплоемкость первого больше чем второго, т.к. в первый уже добавлен сахар. Число k в формуле выше это отношение коэффициента теплообмена (которые у стаканов равны) к теплоемкости, тогда коэффициент теплообмена это k*C, а значит , откуда



Второй стакан остыл с 90°С до 60°С при комнатной температуре 20°С, тогда



Соответственно получаем



Тогда температура первого будет 20+(86,7-20)*exp(-k1t)= 58,3°С


А температура во втором стакане 90-30-0,94-1,67=57,4°С

Т.е. чай в первом более горячий




 

теплоемкость Дж/кг°С

масса, г

начальная температура

теплоемкость Дж/кг°С

Чай

4200

200

90

840,00

сахар

425

20

20

8,50

ложка

470

25

20

11,75
















Теплота растворения сахара, Дж/кг

70 000










 

Стакан №1

Стакан №2

температура, °С

теплоемкость, Дж/°С

температура, °С

теплоемкость, Дж/°С

начало

90

840

90

840

насыпали сахар

89,30

848,5

90,00

840

опустили ложку

88,35

860,25

90,00

840

размешали сахар

86,72

860,25

90,00

840

убрали ложку

86,72

848,5

90,00

840

прошло 10 мин

58,34

848,5

60

840

насыпали сахар

58,34

848,5

59,60

848,50

опустили ложку

58,34

848,5

59,06

860,25

размешали сахар

58,34

848,5

57,43

860,25

убрали ложку

58,34

848,5

57,43

848,50

конец

58,34

 

57,43

 

Похожие:

Численное решение iconВ. М. Лутковский Метод молекулярной динамики, в основе которого лежит численное решение
Метод молекулярной динамики, в основе которого лежит численное решение уравнений Ньютона для взаимодействующих частиц, относится
Численное решение iconРешение задачи Коши это получение одного частного решения с начальным значением. Все методы решения этой задачи основаны на дискретизации и интерполяции, как и численное дифференцирование, которое они используют
Но для большинства уравнений такое решение невозможно, и в этих случаях применяют численные методы. Отметим, что численные методы...
Численное решение iconГеодезия, кадастр и мониторинг земель
Гравитационная томография как физическая проблема: Численное решение обратной задачи моментов 89
Численное решение iconЛабораторная работа №2 «Численное решение систем линейных уравнений методом простых итераций и методом Зейделя»
Изучить итерационные методы решения слау
Численное решение icon4 Численное интегрирование
Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т е численное интегрирование выполняется для...
Численное решение iconКонтрольные вопросы к части 6 Часть 2 (дополнительная). Численное интегрирование методами Симпсона и Гаусса 7 Метод Симпсона 7
Обязательная. Численное интегрирование методами прямоугольников и трапеций 1
Численное решение iconМ. М. Карчевский 10 мая Ауд. 803 13. 00 Галяутдинов М. А. (5 курс). Численное исследование
...
Численное решение iconЖесткие системы оду и их численное решение, или 3)
Система оду первого порядка 3 называется жесткой, если она имеет отрицательные значения частных производных и большой разброс значений...
Численное решение icon"Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"
Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеев
Численное решение iconМатематическая модель кривых затухания замедленной флуоресценции у растений
Н+ и произвольного положительного одновалентного иона (I+). Предложенная модель хорошо симулирует кривые затухания зф. При этом численное...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org