Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective



Скачать 201.29 Kb.
Дата08.10.2012
Размер201.29 Kb.
ТипРеферат


Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений

Горячева Анастасия Евгеньевна

РЕФЕРАТ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Перевод статьи Mathematics and artperspective by J. J. O'Connor and E. F. Robertson

Проверила (Косилова Е.В.)

Москва 2007

Перспектива в математике и искусстве.

Содержание


  • Введение

  • Перевод

  • Ссылки

Введение


John J O'Connor и Edmund F Robertson, авторы оригинала этой статьи, занимаются созданием www-архива материалов по истории математики. В рассматриваемом историческом обзоре исследуется развитие теории перспективы как с точки зрения искусства (живописи, графики, скульптуры), так и с точки зрения математики в 14-20-х веках в Европе. Именно в эпоху Возрождения (14-16 века) теория перспективы начинает революционно развиваться, активно разрабатывается геометрическая теория перспективы. Конечно, до 14 века приходилось придумывать способы изображения пространственных объектов на двумерной поверхности (на стене, на холсте, на боковой поверхности вазы и проч.). Но не сохранилось документальных свидетельств того времени, содержащих какие-либо рассуждения о теории перспективы. Таким образом, нет возможности анализировать деятельность художников и ученых Средневековья и Античности с позиций истории математики. Интересен взгляд Раушенбаха на изменение способов представления пространства на плоскости. Вообще, труды Раушенбаха можно привести в качестве примера исследовательских работ по истории теории перспективы, в частности, книгу Геометрия картины и зрительное восприятие. Учитывая стремление Раушенбаха не заниматься "темой, если над ней работает больше десяти ученых в мире", можно предположить, что аналогичных исследований (по крайней мере, сделанных до 1975 года) не существует.

Нет однозначного ответа на вопрос, какое изображение более наглядно. Например, развертка куба несет больше информации, чем тот же куб, нарисованный в правильной линейной перспективе. Ответ должен зависеть от целей, которые ставит перед собой художник. Скажем, htm">дети любят рисовать, используя обратную перспективу, их еще не "воспитали" в духе правильной перспективы, центральной проекции и прочего. Об использовании и роли обратной перспективы хорошо сказано в работах Флоренского Обратная перспектива (1919 год) и Раушенбаха Пространственные построения в древнерусской живописи (1975 год), в сети доступен текст Четырехмерное пространство (1997 год) ,

Решение прикладных задач, связанных с правильной передачей пространства на плоскости, способствовало развитию теории подобия и проективной геометрии.

Перспектива в математике и искусстве


В этой статье речь пойдет о взаимодействии математики и искусства в западной культуре. Взаимодействие математики и искусства в других культурах — это тема для отдельной статьи. Прежде, чем мы начнем разговор об истории перспективы в западном искусстве, мы должны упомянуть вклад Аль Хайсама (Ibn al-Haytham, Alhazen). Около 1000 г. н.э. он первым верно объяснил процесс зрительного восприятия, показав, что в глаз попадает свет, отраженный от объекта. Аль Хайсам разработал полноценную теорию зрения, названную в средние века перспективой (perspectiva). И хотя он сам не применял свои идеи в живописи, позже художники Ренеcсанса существенно пользовались оптикой Аль Хайсама.

Наверняка ожидается, что исследование развития идей, связанных c использованием перспективы, начнётся с античных времён, в частности, с древних греков, которые использовали некоторые представления о перспективе в своей архитектуре и в создании сценических декораций. Тем не менее, xотя древнегреческие художники и могли создавать в своих работах иллюзию пространтсва, нет подтверждений тому, что они понимали точные математические законы, по которым строится правильное изображение. Поэтому мы решили начать эту статью с продвижений в понимании перспективы, совершившихся в течение эпохи Возрождения. Для начала сформулируем задачу: как можно изобразить трехмерный мир на двумерном холсте? Есть два взгляда на эту проблему, а именно, как можно использовать математику для получения реалистичных изображений, и, во-вторых, какие идеи повлияли на развитие геометрии.

В 13-м столетии Джотто (Giotto) изображал пейзажи, в которых умело передавал ощущение глубины, следуя определенным правилам. Линии, начинающиеся выше уровня глаз, он опускал, по мере того как они уходили вдаль от наблюдателя. Линии, начинающиеся ниже уровня глаз - поднимал. И подобные же линии, начинающиеся справа или слева, он приводил в центр. Хотя и не в точной математической формулировке, Джотто чётко проработал, как изображать глубину пространства. И, просматривая его картины в хронологическом порядке, можно увидеть, как его идеи развивались. Некоторые из последних его работ дают возможность предположить, что к концу своей жизни он смог тесно приблизиться к понимаю линейной перспективы.

Первая точная формулировка закона линейной перспективы приписывается Брунеллески (Brunelleschi, доп.). Он замечателен тем, что около 1413 года сделал открытие, догадавшись, что на плоскости, отличной от плоскости холста, все параллельные линии должны стремиться к единственной точке схода (vanishing point). Также он разбирался в том, что такое масштаб: верно вычислял отношение между действительной длиной объекта и его длиной на картине в зависимости от расстояния до плоскости холста. Используя эти математические принципы для построения правильной перспективы, он нарисовал на деревянных панелях два вида Флоренции (Florence). Одна из панелей находилась в восьмиугольном баптистерии Св. Иоанна (baptistery of St John), другая — в Палаццо Веккьо (Palazzo dei Signori == Palazzo Vecchio). Чтобы подчеркнуть точность своего рисунка, на панели, находившейся в баптистерии, он просверлил небольшое отверстие в точке схода. Зрителя просили смотреть через это отверстие на зеркало, отражавшее панель. Таким образом, Брунеллески точно контролировал положение зрителя, что гарантировало правильность [восприятия] геометрии [картины]. Эти перспективные картины Брунеллески были утеряны, однако фреска Мазаччо (Masaccio) Святая Троица (Holy Trinity) того же периода всё еще существует, и на ней используются математические принципы Брунеллески.

Как же пришел Брунеллески к пониманию геометрии, лежащей в основе перспективы? Конечно, он знал геометрические принципы и методы исследований, и разумно предположить, что, поскольку такие инструменты привлекали Брунеллески, он мог с их помощью исследовать здания. Он делал чертежи античных построек Рима, прежде чем пришёл к пониманию перспективы, и это должно было сыграть важную роль.

 

И хотя ясно, что Брунеллески понимал вышеописанные математические законы, связанные с точкой схода, он не записал ни одного объяснения того, как работают законы перспективы. Первым это сделал Альберти (Leone Battista Alberti, доп.) в своем исследовании "О рисовании" (On Painting). На самом деле Альберти написал два трактата, первый был написан в 1435 году на латинском и озаглавлен De Pictura, второй труд, посвященный Брунеллески, написан на итальянском. Этот труд был создан следом за латинским и озаглавлен Della pittura. Разумеется, эти сочинения не просто перевод одной и той же работы на два языка. Всё-таки эти книги Альберти предназначены для разных аудиторий. Латинская книга специализирована в большей степени и адресована ученым, в то время как итальянская версия нацелена на широкую аудиторию.

De pictura состоит из трех частей, в первой из них даётся математическое описание перспективы, без неё, по мнению Альберти, невозможно ясно понимать рисование. Альберти пишет:
... совершенно математическая по своей природе, она [перспектива] рождает изящное и благородное искусство.

На самом деле он даёт определение изображения, и из него видно, насколько основополагающим для Альберти является понятие перспективы:
картина — это сечение конуса видимости на данном расстоянии с фиксированным источником и о определенной позицией света, изображенное художественными средствами с помощью линий и цветов на данной поверхности.

Альберти даёт справку о началах геометрии и законах оптики. Затем он определяет систему треугольников между глазом и рассматриваемым объектом, которые образуют зрительную пирамиду, упомянутую выше. Он строго описывает идею пропорциональности, с помощью которой можно определить видимый на картине размер объекта в зависимости от его истинного размера и расстояния до наблюдателя.

Один из наиболее известных примеров, используемых Альберти в его тексте, — это изображение пола, покрытого квадратными плитками. Для простоты в качестве центральной точки, как её называл Альберти (сейчас такую точку называют точкой схода), берётся центр квадратной картины.
На нашей схеме центральная точка — это V. Предполагается, что одна из сторон каждой квадратной плитки параллельна нижнему краю картины. Оставшиеся стороны плиток, в действительности перпендикулярные первым сторонам, на картине будут изображены сходящимися к центральной точке V. Все диагонали квадратов будут стремиться к точке Z, лежащей на прямой, проходящей через точку V параллельно нижнему краю картины. Длина VZ определяет правильное расстояние для просмотра — расстояние от картины, на котором должен располагаться наблюдатель, чтобы в результате правильно увидеть перспективу. Альберти предпочитает не давать математических доказательств, тем не менее об этом пишет:
Мы достаточно поговорили о пирамиде, треугольнике и пересечении. Обычно я объясняю эти вещи друзьям вместе с определенными утомительными геометрическими доказательствами, которые в этом комментарии, как мне кажется, для краткости лучше опустить

Дополнительно: конструкция Альберти, более детально разобранная.

Картины этого периода, на которых присутствует пол, выложенный квадратными плитками, называются pavimento-картинами (pavimento (итал.) — пол). В годы, последовавшие за выходом книги Альберти, оказавшей огромное влияние на живопись, появляется множество примеров таких картин.

Конечно, наличие pavimento обеспечивает некоторого рода декартову систему координат. Альберти показывает, как, используя решетку, получить правильный вид окружности в перспективе. Поместите окружность на квадратную решетку и отметьте точки, где решетка пересекает окружность. Постройте решетку в перспективе, как описано выше, и восстановите окружность по отмеченным точкам на проекции решетки. Окружность проектируется в эллипс. Однако, прежде чем будет осознана важность проектирования конических сечений, пройдет много времени.

Дополнительно: сферы все равно проектируются в круг — фрагмент картины Рафаэля Афинская школа.

Далее следует упомянуть о Лоренцо Гиберти (Lorenzo Ghiberti), родившемся в Пелаго (Pelago), Италия, около 1378 года. Он прославился как скульптор, и его известнейшая работа — это бронзовые двери на восточной стороне баптистерия во Флоренции (Battistero di San Giovanni). Он изготовил два комплекта дверей, но прежде чем он подготовил второй экземпляр, он познакомился с новыми идеями в перспективе, изложенными Альберти. Двери состоят из десяти панелей, каждая из которых, как пишет Гиберти, показывает
... архитектурные параметры в отношении, определяемом глазом, и они реальны настолько, что ... близкие фигуры изображены крупнее, а те, что расположены далеко — мельче. Так, как есть на самом деле.

Также Гиберти замечателен своим трёхтомным трактатом Комментарии (I Commentari), написанным около 1447 года. Работа содержит историю искусства античных времен, историю художников 13 века, автобиографию и компиляцию средневековых текстов по теории зрения, подобных работам Аль-Хайсама. Важно, как мы отмечали в начале статьи, что Аль-Хайсам и другие изучали оптику и зрение безотносительно живописи, в то время как Гиберти показал значимость начальных понятий оптики для искусства.

Самой математической из всех работ по перспективе, написанных художниками итальянского Возрождения в середине 15-го столетия была работа Пьеро (Piero della Francesca). В некотором смысле это не удивительно: будучи одним из ведущих художников эпохи, он также был выдающимся математиком, написавшим несколько неплохих математических текстов. В Trattato d'abaco, написанном, вероятно, около 1450, Пьеро включает материал по арифметике и алгебре и большой раздел по геометрии, что было очень необычно для подобных текстов того времени. Кроме того трактат содержит новые математические результаты, что также очень необычно в книге, написанной в стиле обучающего текста (хотя во введении Пьеро говорит, что он написал книгу по просьбе своего руководителя и друзей, а не как школьную книгу). Есть ли в ней связь с перспективой? Да, Пьеро иллюстрирует текст диаграммами твердых тел, нарисованными в перспективе.

Продолжая тему правильных тел, упомянем более поздний текст Пьеро Коротко о пяти правильных телах (Libellus de Quinque Corporibus Regularibus). Однако в этой статье для нас больший интерес представляет его трехтомный трактат О перспективе в живописи (De Prospectiva Pingendi), как считают одни, написанный в середине 1450-х, по мнению других — в 1460-х. Его книга начинается с описания живописи :
Живопись состоит из трех основных частей, называемых рисунок, пропорция и окрашивание. Рисунок понимается как совокупность очертаний и контуров, содержащихся в вещи. Пропорцией называют эти очертания и контуры, расположенные на своих местах с сохранением относительных размеров. Под окрашиванием имеется в виду придание вещам цветов, светлых или темных, в соответствии с тем, как освещение меняет их. Из трех частей я собираюсь рассматривать только пропорцию, называемую перспективой, затронув частично рисунок, поскольку без него перспектива не может быть задействована; окрашивание будет оставлено в стороне, обсудим ту часть, в которой на языке линий, углов и пропорций можно будет говорить о точках, линиях, поверхностях и телах.

Первое знакомство с текстом показывает, что в намерениях Пьеро сосредоточиться на математических началах. Возможно, точнее всего будет сказать, что он изучает геометрию зрения, что позднее проясняет:
Первое — это вид, то, что сообщает глаз; второе — это форма видимой вещи; третье — это расстояние до видимой вещи; четвертое — это линии, ведущие от границ объекта к глазу [наблюдателя]; пятое — это сечение, разделяющее пространство между глазом и видимой вещью, на котором намереваются запечатлеть объект.

Пьеро начинает с провозглашения теорем в духе Евклида (Euclid), но, в отличие от Эвклида, он также даёт численные примеры для их иллюстрации. Затем он переходит к теоремам, относящимся к перспективе плоских фигур. Во втором из трех томов [своего труда] Пьеро изучает, как рисовать призмы в перспективе. Менее интересные с математической точки зрения по сравнению с первым томом, примеры, которые он выбирает для демонстрации, чрезвычайно важны для него, поскольку они часто появляются в его собственных картинах. Третий том связан с более замысловатыми объектами, такими как человеческая голова, украшение верхней части колонны и другими "более сложными формами". Для них Пьеро применяет метод, содержащий огромное число утомительных вычислений. Автор использует две линейки, одну для определения ширины, другую — для определения высоты. Фактически он использует координатную систему и вычисляет правильные с точки зрения перспективы позиции набора точек "сложной фигуры", по которым может быть восстановлено верное положение в перспективе всей фигуры.

На работы Пьеро существенно опирается в своих публикациях Лука Пачоли (Luca Pacioli, доп.). Фактически третья книга Пачоли Divina proportione — это итальянский перевод работы Пьеро Short book on the five regular solids. Иллюстрации в работе Пачоли сделаны Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci, доп.) и включают несколько прекрасных рисунков правильных твердых тел в перспективе. В работах Леонардо можно найти отголоски строгой теории перспективы, изложенной Альберти и Пьеро. Леонардо пишет:
... Перспектива — это мысленная демонстрация, с помощью которой на опыте можно убедиться, что образы всех вещей передаются в глаз по образующим конуса [видимости]. Одинаковые по размеру тела формируют конусы с большими или меньшими углами в зависимости от расстояний между ними [и глазом наблюдателя]. Под образующими конуса [видимости] я подразумеваю те прямые линии, которые, будучи выпущенными из точек внешнего контура тела, сходятся на некотором расстоянии в общей для всех точке.

Он разработал математические формулы для подсчета отношения между расстоянием от глаза до объекта и размером объекта на секущей плоскости, совпадающей с холстом, на котором рисуется картина:
Если вы расположите секущую плоскость в метре от глаза, то первый объект, расположенный в четырех метрах от глаза, уменьшится на сечении на три четверти своей высоты; а если он в восьми метрах от глаза, то его высота уменьшится на семь восьмых; и если он удален на 16 метров, то высота уменьшится на пятнадцать шестнадцатых и т.д. Если расстояние удваивается, то уменьшение удваивается также.

Пытаясь воспроизвести реальность так, как ее видит глаз, Леонардо изучал не только геометрию перспективы, но также и основы оптики глаза. Существенное продвижение в своих размышлениях о перспективе Леонардо сделал около 1490-го года. Он одним из первых начал заниматься обратной задачей перспективы: для данного рисунка, изображенного по правилам перспективы, вычислить положение глаз, из которого можно увидеть правильную перспективу. В итоге он пришел к тому, что картина, написанная по строгим законам линейной перспективы, выглядит правильно, только если рассматривать её из одного конкретного положения. Брунеллески хорошо осознавал это, когда устраивал показ так, что перспективу наблюдали через отверстие. Тем не менее картины, изображенные, скажем, на стене, ни у кого не получится рассмотреть из правильного положения. И действительно, невозможно для множества полотен поместить глаз в нужную точку, например, потому, что эта точка находится высоко над головами.

Леонардо различал два вида перспективы: искусственную перспективу — способ, при котором художник проектирует на плоскость, видную наблюдателю под углом, и естественную перспективу, при которой относительные размеры объектов воспроизводятся в строгой зависимости от их удаленности. В естественной перспективе, как безошибочно утверждал Леонардо, объекты будут одного размера, если расположены на окружности, в центре которой находится наблюдатель. Кроме этого Леонардо рассматривал смешанную перспективу, где естественная перспектива сочетается с перспективой, полученной при рассматривании под углом. Вероятно, Леонардо полнее других деятелей, упомянутых в этой статье, соединил в себе математику искусство.

До этого момента речь шла главным образом о постижении перспективы итальянскими художниками и математиками, обучавшимися лично один у другого. Как бы то ни было, в Германии около 1500 года за разработку этой темы взялся Дюрер (Albrecht Dürer, доп.). Но сначала он овладел некоторыми знаниями, путешествуя по Италии, где он обучался на личном опыте таких математиков как Пачоли. Дюрер опубликовал в 1525 Наставления по измерениям циркулем и угольником (Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit), четвертый том которых содержит его теорию теней и перспективы. С точки зрения геометрии его теория подобна теории Пьеро, но он сделал важное добавление, подчеркивающее важность света и тени при изображении правильной перспективы. Отличным примером проявления этого эффекта является набросок геометрических фигур, сделанный Дюрером в 1524.

Другим вкладом Дюрера в развитие теории перспективы является приведенное в трактате 1525-го года описание разнообразных механических приспособлений, которые могут быть использованы для рисования образов объектов в правильной перспективе.

Обсудим достижения в изучении перспективы, совершенные на протяжении следующих 200 лет. Сначала упомянем Коммандина (Federico Commandino), опубликовавшего в 1558 году Комментарии к планисфере Птолемея (Commentarius in planisphaerium Ptolemaei, Ptolemy). В этой работе он проанализировал стереографическую проекцию небесной сферы, сделанную Птолемеем. Но важность этой работы в том, что в ней расширено изучение темы перспективы, которая до этого времени рассматривалась преимущественно с точки зрения живописи. Коммандин был заинтересован в использовании перспективы главным образом при изготовлении театральных декораций. Причина этого — увлечение античными текстами. Поэтому, в отличие от более ранних трудов, он писал скорее для математиков, чем для художников.

Венцель Ямницер (Wentzel Jamnitzer) написал в 1568 году прекрасную книгу про Платоновы тела, названную Perspectiva corporum regularium. Эта книга не предназначена для обучения живописи, но, тем не менее, содержит множество иллюстраций, великолепно прорисованных в перспективе. Понятен его замысел:
Всё избыточное будет опущено в противовес старомодным способам обучения, ни одной линии или точки не будет нарисовано без нужды.

Даниэль Барбаро (Daniele Barbaro) в своём труде Применение перспективы (La Practica della perspectiva), изданном в 1569, через год после трактата Ямницера, сокрушается, что художники перестали использовать перспективу. Конечно, это было преувеличением, он имел в виду, что художники не изображали архитектурные сцены. Барбаро интересовался применением перспективы преимущественно в сценических декорациях, потому что он опубликовал в 1556 итальянский перевод труда Витрувия (Vitruvius) Об архитектуре (On architecture), и эта работа пробудила интерес в Барбаро. Судя по его трактату 1569 года, он тщательно изучил работы Пьеро и Дюрера, и методы построения перспективы, описанные Барбаро, являются вариациями их методов.

Игнацио Данти (Egnatio Danti, доп.), подобно многим другим, упомянутым нами в этой статье, был как превосходным математиком, так и превосходным художником. Его предисловие к Двум правилам практической перспективы (Le due regole della prospettiva pratica) Джакомо Бароцци да Виньола (Giacomo Barozzi da Vignola) было опубликовано в 1583, за три года до его смерти. В своем введении к этой работе Данти написал краткую историю перспективы:
... не известно ни одной книги или рукописного документа, дошедшего до нас от деятелей древности, хотя и бесспорно их величие, убедительно показанное в описаниях театральных декораций, сделанных ими, пользовавшихся популярностью как в Афинах, среди греков, так и в Риме, среди латинян. В наши времена, среди отметившихся в этой области искусства, самым первым, и при том писавшим лучшим образом и в лучшей форме, был мэтр Пьеро делла Франческа (Pietro della Francesca dal Borgo Sansepolcro). До нас дошли три его рукописные книги, превосходнейшим образом иллюстрированные. И если кто-то захочет убедиться в их великолепии, пусть он взглянет на работы Барбаро, описавшего значительную их часть в своей книге О перспективе

Данти написал не только введение к работе Виньолы, но и значительно расширил содержание самой работы, добавив обоснования математических фактов там, где Виньола просто формулировал правило, которое необходмо применить.

Ещё один исследователь, о котором мы скажем несколько слов, — это Джованни Батиста Бенедети (Giovanni Battista Benedetti), ученик Тартальи (Tartaglia, доп.). Он создал в 1585 году работу, озаглавленную Книга, содержащая разнообразные примеры из математики и физики (A book containing various studies of mathematics and physics), в которой можно найти труд по арифметике, несколько коротких работ и писем на научные темы, и в том числе короткий труд по перспективе Разумное использование перспективы (De rationibus operationum perspectivae). В этом труде по перспективе Бенедети занимался не только правилами для художников, работающих в двух измерениях, но и трехмерными обоснованиями этих правил.

Выше мы говорили о Командине, и следующая личность, вклад которой в развитие теории перспективы мы хотели бы отметить, — это ученик Командина, Гвидо Убальди-дель-Монте (Guidobaldo del Monte, доп.). В шести его книгах по персепективе (Perspectivae libri sex, 1600) есть теоремы, вывод которых содержит многократные ссылки на Начала Эвклида. Важнейшим результатом работы дель Монте является доказательство того факта, что для набора параллельных прямых, пересекающих плоскость картины, верно, что все прямые набора будут стремиться в одну точку схода. Этот труд представляет из себя один из важнейших шагов вперед в понимании геометрии перспективы, и это стало одним из важнейших достижений, инициировавших развитие проективной геометрии.

В 1636 Дезарг (Gérard Desargues, доп.) опубликовал короткий труд Перспектива (La perspective), в котором было только 12 страниц. В этом трактате, состоявшем из единственного примера с решением, Дезарг излагает метод построения изображения в перспективе без использования точек, лежащих за границей картины. Метод описывает, как на плоскости картины изображать линии, пересекающиеся точке, а также линии, параллельные друг другу. В последнем параграфе своей работы Дезарг рассмотрел задачу нахождения образа конического сечения в перспективе.

Тремя годами позднее, в 1639, Дезарг написал трактат по проективной геометрии Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса с плоскостью (Brouillon project d'une atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan). В нём прослеживается влияние его более ранней работы, однако сам Дезарг никак не объясняет происхождение изложенных соображений. Первая часть его трактата связана со свойствами прямых, пересекающихся в точке и рядами точек, лежащих на этих прямых. Во второй части исследуются свойства коник в терминах рядов точек, лежащих на прямых. Современный термин точка на бесконечности появляется впервые в этом трактате, а также вводится понятие пучок прямых, хотя такое название не используется. В этом труде Дезарг показывает, что он окончательно понял связь между кониками и перспективой; в действительности, он принимает как очевидный тот факт, что любая коника может быть спроецирована в любую другую. Хотя конус видимости рассматривался более ранними авторами, но ими не принимались во внимание важность этого понятия и то, что изучение коник может быть унифицировано таким образом.

Это может показаться удивительным, но в годы, последовавшие за выходом новаторской работы Дезарга, тема не начала активно развиваться. Этого не произошло отчасти из-за того, что математики не сумели распознать силу в том, что было предложено. С другой стороны алгебраический подход к геометрии, предложенный Декартом примерно в то же время (1637), мог уменьшить интерес к проективным методам Дезарга. Первым действительно продвинувшим идеи Дезарга был Де ля Гир (Philippe de la Hire, доп.). В 1673 году, еще не открыв для себя Brouillon project Дезарга, он написал работу по коникам. В 1679 году он сделал копию книги Дезарга, где написал:
В июле 1679 года я впервые прочитал эту небольшую книгу Дезарга и сделал ее копию, чтобы лучше в ней разобраться. Более шести лет назад я опубликовал свою первую работу по коническим сечениям. И я не сомневаюсь, что если бы знал что-нибудь про этот труд [Дезарга], я никогда бы не нашёл метод, который сам использовал, мне бы просто не пришло в голову, что можно придумать более простую процедуру, которая бы при этом так широко применялась.

In fact la Hire had treated conics from a projective point of view in his 1673 treatise New method of geometry for sections of conics and cylindrical surfaces and there he had introduced the cross ratio of four points before meeting Desargues' approach. In 1685 la Hire published Conic sections which is a projective approach to conics which combines the best of the ideas from his earlier work and also those of Desargues.

На самом деле Де ля Гир рассмотрел коники c проективной точки зрения уже в своём трактате 1673 года Новый геометрический метод сечения коник и цилиндрических поверхностей (Nouvelle Méthode en Géométrie pour les sections des superficies coniques et cylindriques). И в нём же, ещё до знакомства с исследованием Дезарга, он ввёл двойное отношение для четырех точек. В 1685 году Де ля Гир опубликовал Конические сечения (Sectiones conicæ in novem libros distributæ) — проективный подход к коникам труд, соединяющий в себе лучшие идеи из его предыдущих работ, а также идеи Дезарга.

Прежде чем завершить нашу статью обсуждением работы Брука Тейлора (Brook Taylor, доп.), упомянем труд, оказавший на нее влияние. Это Трактат о перспективе (A treatise on perspective, demonstrative and practical), написанный в 1712 Хэмфри Диттоном (Humphry Ditton). Книга Диттона не отличается особой новизной, однако геометрическое исследование по перспективе, приведенной в ней, изложено тщательно и аккуратно. Во многом Линейная перспектива Тейлора (Linear perspective: or a new method of representing justly all manners of objects), вышедшая на три года позже, в 1715, подобна по своему качеству работе Диттона. Замечательной чертой тейлоровской работы является то, что он сформулировал свойства инцидентности в виде аксиом, и он стал первым, кто так сделал.

В 1719 Тейлор опубликовал значительно измененное второе издание Новых принципов линейной перспективы (New principles of linear perspective, several pages from page 73 to ...). Работа дает первое общее понятие точки схода. Подход Тейлора к предмету строго математический. И, несмотря на то, что он сам был замечательным художником-любителем, он не сделал никаких уступок художникам, которым следовало бы открыть для себя идеи фундаментальной важности. В то же время понимание этой в высшей степени лаконичной работы очень трудоемко даже для математика, и, поскольку принципы лежащие в основе этой работы волнуют Тейлора гораздо больше, чем приложения теории, он переписывает текст более ясным языком. Словосочетание линейная перспектива придумано Тейлором именно в этой работе. Точка сходя прямой, пересекающей плоскость картины, определяется как точка пересечения прямой, выпущенной из глаза в направлении первой прямой (параллельно ей), и плоскости картины. Как было показано выше, термин точка схода был придуман задолго до Тейлора, но он был одним из первых, кто подчеркнул важность с точки зрения математики понятий точка схода и прямая схода. Основная теорема тейлоровской теории состоит в том, что проекция прямой, непараллельной плоскости картины, проходит через точку пересечения с плоскостью и свою точку схода.

Также интересна обратная задача — найти точку, из которой картина видна так, как задумывал художник. Как мы видели, Тейлор не первым взялся за решение этой проблемы, одним из первых к ней обратился Леонардо, примерно на 250 лет раньше, однако Тейлор значительно продвинул теорию подобных перспективных задач. Можно считать, что эта работа также существенно продвинула теорию описательной и проективной геометрии, как и те теории, что развили Гаспар Монж (Monge, доп.), Мишель Шаль (Chasles, доп.) и Жан Виктор Понселé (Poncelet, доп.).

Закончим примерами художников, которые ради забавы намеренно неправильно использовали перспективу. Во-первых, это известный английский художник Уильям Хогарт (William Hogarth) (1697-1764), чья работа Perspective absurdities украшает обложку книги Кирби (J J Kirby) Dr Brook Taylor's method of perspective made easy in both theory and practice (1754). Во-вторых, это Морис Эшер (Maurits Escher, доп.), прославившийся созданием картин с использованием трюков с перспективой. Две самые известные его работы: Waterfall и
[All M C Escher works © 2001 Cordon Art — Baarn — Holland. All rights reserved. Used by permission.] Up and down.

Ссылки


Список литературы оригинальной статьи: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/References/Art.html (29 books/articles)
Авторы статьи: John J O'Connor и Edmund F Robertson, JOC/EFR January 2003
Оригинал статьи: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Art.html

Ссылка на перевод: http://person.mexmat.net/~goriacheva/phy/Art_rus.htm

Введение

  • http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/~john

  • http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/%7Eedmund

  • http://www.pravbeseda.ru/library/index.php?page=book&id=632

  • http://raushenbach.gorodok.net/

  • http://www.auditorium.ru/books/376/

  • http://www.danilova.ru/storage/book_makar_03_08.htm

  • http://www.magister.msk.ru/library/philos/florensk/floren07.htm

  • http://www.pravbeseda.ru/library/index.php?page=book&id=642

Перевод статьи



Похожие:

Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconВопросы по истории математики
Предмет истории математики. Задачи изучения истории математики. Общее понятие об истории науки. Её роль в жизни общества. Задачи...
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconРеферат (перевод) по философии на тему Философия математики Л. Витгенштейна Петюшко А. А., аспирант 1 г о. кафедры
Лфт, получая свое формирование в средний период, и развиваются в поздний, добавляя ко всему прочему важный критерий математического...
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconПрактический семинар междисциплинарные исследования в науке и образовании
В 2009 г международное издательство “World Scientific” опубликовало книгу: A. P. Stakhov. The Mathematics of Harmony. From Euclid...
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconМатематика гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки
В 2009 г международное издательство “World Scientific” опубликовало книгу: A. P. Stakhov. The Mathematics of Harmony. From Euclid...
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconТематика рефератов по истории математики к кандидатскому экзамену общенаучной дисциплине История и философия науки
Периодизация истории математики А. Н. Колмогорова с позиций математики конца XX в
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconКраткий очерк истории математики 5-е издание, исправленное перевод с немецкого И. Б. Погребысского москва «наука» главная редакция
Охватывает историю математики до 1799 г. Во многих местах она устарела, особенно в разделах об античной математике, во многих частностях...
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconЛитература по истории математики: Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М., 1990. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconС., Токарева Т. А. Адольф павлович юшкевич (1906–1993) и формирование сообщества историков математики в СССР
Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики: Международ науч конференция: 6-я Всероссийская...
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconУчебный курс по wiznet W5100 Перевод статьи Фреда Иди (Fred Eady) "iEthernet Bootcamp"
Перевод статьи Фреда Иди (Fred Eady) “iEthernet Bootcamp”, circuit cellar, Issue 208 November 2007
Реферат по истории математики перевод статьи Mathematics and art perspective iconВ сборниках рассматриваются вопросы современной истории европейских и азиатских стран, а также отечественная культура и искусство
Сборник содержит статьи, посвященные истории европейских государств, их жизни и быту в начале XIX века, а также статьи по древней...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org