Кривизна и кручение кривой. Репер Френе



Скачать 49.34 Kb.
Дата08.10.2012
Размер49.34 Kb.
ТипДокументы
§4. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе.

Пусть - гладкая кривая, - натуральный параметр. Будем строить репер тесно




связанный со свойствами данной кривой.

Вектор - единичный вектор касательной в точке . На всей кривой получим вектор-функцию .

Вектор называется вектором кривизны в точке .

называется кривизной кривой в точке . На всей кривой является функцией параметра . Итак, .

Теорема. Гладкая линия является прямой или её частью тогда и только тогда, когда .

Ÿ ) Пусть - прямая или ее часть. Тогда где - единичный направляющий вектор прямой, - натуральный параметр. Найдем .

gif" name="object25" align=absmiddle width=20 height=16>) Пусть дана кривая и . Тогда . Решаем эту систему дифференциальных уравнений: где - некоторые константы. Далее, - некоторые константы, . Это параметрические уравнения прямой или ее части. Ÿ
Далее будем рассматривать кривые , у которых кривизна . Строим репер дальше. Прямая называется главной нормалью кривой в точке М. Вектор называется единичным вектором главной нормали. Тогда или .
Вектор называется единичным вектором бинормали. Это название оправдано тем, что и по определению векторного произведения векторов. Прямая называется бинормалью.

Итак, в произвольной точке М ивой мы получили правый ортонормированный репер , который называется каноническим репером в точке М или подвижным репером. Координатные плоскости этого репера называются: - соприкасающаяся плоскость, - нормальная плоскость, - спрямляющая плоскость.
Найдем соотношения между векторами подвижного репера и их производными.
Мы знаем, что . Тогда по лемме §1 вектор раскладывается только по векторам подвижного репера: . Найдем коэффициент . Продифференцируем тождество . Тогда . Подставим выражения для производных: (Здесь мы использовали, что ). Таким образом, и . Нам осталось найти . Продифференцируем тождество : .

Итак, мы получили три тождества , , . Они называются формулами .Френе. Число , определенное в каждой точке М кривой, называется кручением кривой в этой точке. При изменении точки на кривой число изменяется и мы получаем функцию .
Найдем формулы для вычисления кривизны и кручения для кривой, заданной в натуральной параметризации .

  1. Как мы видели выше .

  2. Найдем формулу для кручения . Продифференцируем первую формулу Френе . Тогда . Вычислим смешанное произведение . Откуда получаем .


Выведем формулы для вычисления кривизны и кручения кривой, заданной в произвольной параметризации. Пусть - гладкая кривая. Рассмотрим замену параметра . Тогда - параметрические уравнения кривой в натуральной параметризации. Найдем

. Откуда и .

Тогда . Нам осталось вывести формулу для вычисления кручения.

. Вычислим .
Замечание. Для данной кривой векторы задают определенные вектор-функции длины дуги кривой . Так как и , имея кривую , мы получаем определенные функции . Эти уравнения называются натуральными уравнениями кривой. Имеют место теоремы

Теорема (существования). Пусть две гладкие функции, причем функция неотрицательна и не равна тождественно нулю. Тогда существует кривая, для которой будет длиной дуги, - кривизной, - кручением.

Теорема (единственности). Натуральные уравнения определяют кривую однозначно с точностью до положения в пространстве.

Другими словами, если нам известны функции и , то путем интегрирования системы уравнений Френе, мы можем найти параметрические уравнения кривой, для которой эти функции будут, соответственно, кривизной и кручением. При этом все решения уравнений Френе, соответствующие различным значениям постоянных интегрирования, суть конгруэнтные кривые.
Пример. Рассмотрим обыкновенную винтовую линию. Она получается как траектория движения точки , равномерно вращающейся вокруг данной прямой и равномерно перемещающейся вдоль этой прямой. В качестве данной прямой возьмем ось .




Найдем закон движения точки М. Пусть в момент времени она занимает положение , Р – ортогональная проекция точки М на плоскость . Когда М вращается вокруг , точка Р равномерно вращается по окружности в плоскости . Пусть в начале движения , . Так как движение равномерное, пропорционален времени движения. Для простоты возьмем коэффициент пропорциональности равным 1. Тогда .

Так как М равномерно движется вокруг оси , ее смещение вдоль пропорционально времени , то есть .

Итак, М движется по закону .

Очевидно, это гладкая линия. Действительно, для ее координатных функций существуют непрерывные частные производные любого порядка и выполняется условие регулярности , .

Изучим свойства обыкновенной винтовой линии.

  1. Из первых двух уравнений следует, что для любой точки кривой, следовательно, кривая лежит на прямом круговом цилиндре.

  2. Найдем подвижной репер, кривизну и кручение винтовой линии.

. Найдем угол между прямолинейной образующей МР и вектором . Вычислим . Итак, винтовая линия пересекает прямолинейные образующие под постоянным углом. Найдем из первого уравнения Френе . Вычислим . Так как и - единичный вектор, из последнего равенства получим и .

Рассмотрим вектор . Откуда получаем, что главная нормаль перпендикулярна оси цилиндра.

Вычислим .

Действительно, , . Итак, кручение постоянно и его знак совпадает со знаком константы . 

Замечание. Обыкновенная винтовая линия является частным случаем достаточно широкого класса линий, которые называются кривыми Бертрана.

Определение. Гладкая кривая называется кривой Бертрана, если для нее существует другая гладкая кривая и отображение , что в каждой паре соответствующих точек и имеют общую главную нормаль.

Свойства кривых Бертрана будут подробно рассмотрены на семинаре.

Похожие:

Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconДифференциально геометрические методы
Натуральное уравнение плоской кривой. Эволюты и эвольвенты плоских кривых. Кривые в пространстве. Кривизна и кручение, формулы Френе....
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconДифференциальная геометрия
Кривые на плоскости и в пространстве: длина кривой, окружность кривизны, эволюта, кручение, формулы Френе
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconФакультет: Естественных наук
Кривые и параметризация кривых. Касательная прямая к кривой. Соприкасающая плоскость. Кривизна и кручение. Простые и регулярные поверхности....
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconКривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе icon§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности
Рассмотрим гладкую кривую на поверхности. При перемещении точки м вдоль кривой ее касательный вектор раскладывается по базисным векторам...
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconРешение. Вычислим кручение этой кривой: Находим. Очевидно,, то есть кривая плоская. 

Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconКак возникла теория групп репер – совокупность трех векторов а,b,c
Преобразованием сим-метрии параллелепипеда будем называть такое его отображение на себя, при котором репер, на котором он построен,...
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconПонятие кривой. Гладкие кривые
При изменении параметра, конец представителя вектора опишет некоторое множество точек, которое будем называть параметрически заданной...
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconКривизна башни не всегда вызывала чисто эстетический восторг
К кто-то из ученых считает, что зна­менитая на весь мир кривизна башни задумана зодчими изначально — ради демонстрации их удали и...
Кривизна и кручение кривой. Репер Френе iconМинимальная поверхность
Примерами таких поверхностей могут служить мыльные пузыри (разность давлений отлична от нуля, средняя кривизна постоянна и отлична...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org